Saturday, 16 October 2021

ドラマ 科捜研の女 season21 第1話 マリコの選択

テレビ朝日 2021年10月14日(木)放送

3次元空間 ねじれの位置

京都府警科学捜査研究所を舞台として,法医研究員榊マリコを中心に,科学を駆使して凶悪犯罪を解決していくというドラマです.いつもは理科の話が多いのですが,被害者の元妻が数学の大学教員であることから,珍しく数学の話題が出てきました.

土門「水城和穂さん,ご主人の身元確認をされたのはあなたですね」
水城「その,『ご主人』て言い方,今はもうジェンダー的にアウトです」
数学とは関係ありませんが,確かに「ご主人」や「奥さん」という言葉は「ジェンダー的にアウト」だとすればどう呼んだらいいか難しいですね.この機会に少し調べてみたら,日本語ジェンダー学会の理事の方は「夫さん」「妻さん」という言い方を推奨されていました.今はまだ違和感がありますが,これが何年か後に普通の日本語として受け入れられているかも知れません.因みに,私は「カミさん」という言葉を使っていましたが,これも目上の人を表す「上様(かみさま)」が変化してできたものだそうで「アウト」.「妻」だけが適切な言葉だそうです.

水城「そもそも離婚した時点で,彼と私はねじれの位置だったんですから」
土門「ねじれの位置?」
水城「3次元空間における2本の直線の関係は3種類.同一平面上にあれば平行か,もしくは1点のみで交わる交差.同一平面にない場合はすべてねじれの位置.交わることも同じ方向に進むこともない.だから離婚したの」


ねじれの位置は,簡単にいえば立体交差です.すなわち,交わらないし平行でもない2本の直線の関係のことです.従って,3次元空間内では,「平行」か「交わる」か「ねじれの位置」か,3つのうちのいずれかしかありません.

このセリフは人間関係を比喩していますね.平行なら考えが同じ方向を向いている,交わるなら合意できる点がある,ねじれの位置ならそのどちらでもないといった感じでしょうか.

南京玉すだれ
さて,なぜ「ねじれの位置」というのでしょう.
細長くて柔らかいものをねじると,両端が逆方向に回転されることによって変形しますが,まとめた2本の棒をねじると,両方の先端がずれて立体交差状態になります.これが「ねじれの位置」と呼ばれるようになった理由だと思われます.例えば南京玉すだれ.これはねじることによって,「ねじれの位置」の棒が多数出来上がります.また,人間の腕の骨は2本あることで,ねじることができるようになっていますね.

ところで,中学1年生の練習問題でときどき目にするすっきりしない問題があります.立方体の2辺の関係を,「
平行」か「垂直」か「ねじれの位置」のいずれかで答えさせるものです.例えば右図の辺ABとFGは「ねじれの位置」が正解とされています.しかし,
2直線が交わっていないときは,それらを方向を変えずに移動させ,お互いが交わったときにできる角を,この2直線のなす角という
ので,この2辺のなす角は90°です.従って,この辺ABとFGは「ねじれの位置」かつ「垂直」ということになります.ところが,中学では「ねじれの位置」にある2直線のなす角は定義されていないので,辺ABとFGを「垂直」と答えなくてよいというわけです.中学で定義されていないというならこのような問題を出すべきではないですね.このことをしっかり認識している問題集では「垂直に交わる」と表現しています.

[参考]

日本語ジェンダー学会 改まった場における他人の配偶者の呼びかた
https://gender.jp/gender-essay/essay201003/

テレビドガッチ パートナーを呼ぶ言葉「妻・嫁・女房・奥さん・家内・カミさん」正しいのは?
https://dogatch.jp/news/tbs/tbstopics_69616/detail/

Saturday, 6 March 2021

ドラマ 天国と地獄 〜サイコな2人〜

2021年 TBS

∅ クウシュウゴウ

被害者の手のひらに∅と書かれてある連続殺人事件が起こり,一緒に階段を落ちた刑事と容疑者の魂が入れ替わり,事件の証拠品に「暗闇の清掃人∅」という漫画が見つかり,『クウシュウゴウ』を名乗る謎の人物も登場するという,少しややこしいサスペンスドラマです.

法では裁けない悪人たちを始末する闇の清掃人
コードネームは『クウシュウゴウ』
"そんな人はいないよ"という意味だ
彼は誰にも気づかれずこの世の掃除をしていく
この世にそんな人はいないよというサインだけを残し(第8話より) 

数学で集合といえば,整数全体とか東京都民とか,属するかどうかがはっきりわかるものの集まりで,属するものひとつひとつを要素または元といいます.例えば10以下の正の偶数という集合は,次の2つの表し方があります.

{2, 4, 6, 8, 10}(外延=すべての要素を書きだす方法)
{x|xは10以下の正の偶数}(内包=条件を示す方法)

『クウシュウゴウ』は「空集合」,すなわちひとつも要素を持たない集合のことで,∅ または{ }で表します.上のセリフの中の「この世にそんな人はいないよというサイン」∅ は,ノルウェー語のアルファベットのひとつであり,ギリシャ文字のΦではないので,ファイと読まず,empty setと読む方がいいでしょう.

空集合は何も中身をもたない集合なので,あまり考える対象にならないのかなと思いますが,これが注目されるのは,冪集合(べきしゅうごう)(=Power Set) すなわち部分集合の全体を考えるときです.

どんな集合も空集合と自分自身を部分集合に持ちます.このことを次のように表します(Aはある集合).$$\varnothing \subset A,\quad A\subset A$$

例えば,集合A={a, b}の部分集合の全体は,{ {  },  {a},  {b},  {a, b} }または{ ∅,   {a},  {b},  A }という「集合の集合」で,その要素の個数は$2^2=4$個になります.

また,集合A={a, b, c}の部分集合の全体は,{ ∅,  {a},  {b},  {c},  {a, b},  {b, c},  {c, a},  A }という「集合の集合」で,その要素の個数は$2^3=8$個になります. 

以上のように,部分集合の全体の集合は,その要素の個数が$2^n$すなわち2の冪になるので,冪集合と呼ばれていて,その中には必ず「クウシュウゴウ ∅」が含まれています. 

似た例として,6 (=2×3) の約数の全体は.$\lbrace1, 2, 3, 6\rbrace=\lbrace2^0\times 3^0, 2^1\times3^0, 2^0\times3^1, 2^1\times3^1\rbrace$という集合になりますが,これは2つの因数2と3をそれぞれ使わない(0乗)か使う(1乗)かの2択になり,2択するものが2種類あるので,その要素の個数は$2^2=4$個になります. 

上と同様の例を考えると,30 (=2×3×5) の約数の全体は.$\lbrace1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\rbrace$=$\lbrace2^0\times 3^0\times5^0, 2^1\times3^0\times 5^0, 2^0\times3^1\times 5^0, 2^0\times3^0\times 5^1, 2^1\times3^1\times5^0, 2^1\times3^0\times5^1, 2^0\times3^1\times5^1, 2^1\times3^1\times 5^1\rbrace$という集合で,2択するものが3種類あるので,その要素の個数は$2^3=8$個になります.

因みに,要素を1つだけ持つ集合は単集合といいます.例えば{0}とか {1}などですが,{∅}は空集合か単集合のどちらでしょう?  これは∅というただ1つの要素を持つ単集合です.∅={ }なので,{{ }}も単集合です.すなわち,空集合だけを要素に持つ集合は空集合ではないということになります.ちょっと紛らわしいですね.

[参考]

空集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88

Tuesday, 3 November 2020

ドラマ 先生を消す方程式 第1話

2020年 TV朝日 

定積分

半数以上が東大に進学する偏差値の高いある高校で,半年の間に3人の教師がやめてしまったというクラスの担任になった数学教師が,赴任初日から精神的な攻撃や物理的な攻撃をする生徒たちに対して全く動じる気配を見せないため,生徒たちがこの教師を殺してしまおうとする話です.

第1話で,2019年東大入試理系数学第1問,数学Ⅲの定積分の計算問題がそのまま使われました.

生徒は30秒以内に解けと無理をいいますが,この教師はいとも簡単に解いて生徒たちを驚かせます.

実際に解いてみましたが,展開した4つの項のうち2つで異なる置換積分をしなければならないので,かなり面倒な計算になりました.詳しい解説は多数のサイトでアップされていますので,そちらを参照してください.

気になったところを3点.
①3項目の計算の[ ]の中,$t^{1/2}+t^{-1/2}$ の $-1/2$ が見えにくい.(拡大してみてください)
②4項目の $dx=(1+\tan^2\theta)d\theta$ は,次の行で被積分関数が $\sin^2\theta$ になることを考えると $dx=\frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$ の方が自然ではないか.
③その次の行,積分区間の上端 $\pi/4$ が見えにくい.(拡大してみてください)

似たような問題で,もっと簡単そうに見えて実はそうではないという例を紹介しましょう.$$\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$$これもかなり大変な計算になります.いろいろな方法があり,それらをを試してみましたが,最も簡単に計算する方法は$x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$と置換する方法です.これは$x=\sinh{t}$(双曲線関数)なんですが,これを知らなくても数学Ⅲの知識で計算できます.

実はこれ,放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ の$x=0$から$1$までの長さを求める計算になります.「放物線の長さ」で検索すると解説が多数アップされていますので,この方法を探してみてください.因みに正解は次のようになります.(lnは自然対数)$$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})=1.14779......$$


Monday, 21 September 2020

映画 リトルプリンス 星の王子さまと私(英語版)

2015年 フランス

ベクトル 方程式

時は現代(公開は2015年),1943年サン=テグジュペリ原作「星の王子さま」の中でその王子さまと出会ったという元飛行士の老人と,その話に夢中になった隣に住む9歳の少女との交流を通して描かれた「星の王子さま」の後日談ともいえる作品です.

Vector

名門校への進学を期待されて母親に決められた細かいスケジュールで学習するこの女の子が表紙に「La Geometrie Analytique(幾何解析)」と書かれた本で勉強をしているときに,この数式が映りました.

9歳の子がハイスクールで習うベクトルの問題を解いています.左上の$-\overrightarrow{ AP }$は次の行で$\frac{3}{4}\overrightarrow{ AB }$となっていますが,その下の$\overrightarrow{ PQ }$で$\overrightarrow{ AB }$との和が$\frac{1}{4}\overrightarrow{ AB }$となっているので,正しくは1行目が$\overrightarrow{ PA }$,2行目が$-\frac{3}{4}\overrightarrow{ AB }$でしょう.

さて,問題を推測してみましょう.「平行四辺形ABCDの辺AB,BC,CD,DAを3:1に内分する点をそれぞれP,Q,R,Sとするとき,四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ.」でしょうか.$\overrightarrow{ SR  }=\overrightarrow{ PQ}$なら,四角形PQRSは平行四辺形になります.

これが3:1ではなく,内分する4点がすべて中点の時は,四角形ABCDがどんな四角形でも四角形PQRSは平行四辺形になります (Varignon's theorem)

[訂正] 2020/9/22追記 上の解答でPからQへ行くのに,PB→BQと行かずにわざわざPA→AB→BQと行っているのが気になっていたのですが,どうやら別の部分が間違っていると考えれば,適切な別の問題が推測できることがわかりました.「平行四辺形ABCDの辺AB,CDを3:7に外分する点をそれぞれP,Rとし,辺BC,DAを3:1に内分する点をそれぞれQ,Sとするとき,四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ.」この場合,右上の2行目,3行目の3項目を$\frac{3}{4}\overrightarrow{ DC }$と修正し,次の行と最後の行を$\overrightarrow{ PQ }=\frac{7}{4}\overrightarrow{ AB }+\frac{3}{4}\overrightarrow{ BC }$,$\overrightarrow{ SR }=\frac{3}{4}\overrightarrow{ AD }+\frac{7}{4}\overrightarrow{ DC }$と修正すれば正しい解答になります.

Equation

別の学習シーンで"Equation(方程式)"という歌が流れているときに,図のような数式が映りました.

方程式らしく中に=があって,似たような式が両辺に書かれていますが,上から下への変形が一致していないので,単に雰囲気を伝えるだけの目的で使われた数式だと思われます.今どきほとんどの映画やドラマでは,一瞬だけのシーンであっても正しい数式が使われているので,かえって珍しいです.

次に挿入歌"Equation"(英語版)でずっとバックに流れている部分の歌詞ですが,Youtubeの動画歌詞を紹介するサイトなどで異なったものになっています.例えば Youtubeでは以下のようになっています.

minus 2 times minus 3 6Y you end up with 5
expose 3Y times 2 XXY rewrite equation 1

何回も聴き直したり,人に聴いてもらったりした結果,正しくは次の歌詞ではないかと思います.和訳も考えてみました.

minus 2 times minus 3 6 why you end up with 5
x plus 3y times 2 x 6y rewrite equation 1 
(-2)×(-3)は6だよ,どうして5になったの?
x+3y×2はxと6yだよ,方程式1を書き直してね

英語版とは全く異なる原作の仏語の歌詞にも意味の分かりにくい部分がありました.

1 plus 1 font 2
2 plus 1 fait 3
3 moins 1 sous le M toit
Tu me dis racine

この中の M toit は直訳すると「M型の屋根」ですが,ルート記号√ がMを変形したような形になっているのと,その次の歌詞が「ルートを教えて」なので,和訳は下のような感じではないでしょうか.

因みに,ルート記号√ は一般に root の r を変形したものと言われていますが,文字を図形と考えると,先のとがった点の数は r が1個,Mと√ は3個なので,Mの方が√ に近いとも言えます.

$1+1=2$
$2+1=3$
M型屋根(のような記号)の下に$3-1$
ルートを教えてほしいな

[参考]

The Little Prince - "Equation" - English version + Lyrics
https://www.youtube.com/watch?v=i2fezyjs_aY

#Alexandria C.H.#  Equation
https://alexandriach.wordpress.com/2016/01/31/equation/

Tuesday, 10 March 2020

小説/漫画/ドラマ 黒猫の三角

 
2002年講談社文庫 森博嗣
2012年幻冬舎コミックス漫画文庫 皇名月
2015年フジテレビ系列『瀬在丸紅子の事件簿〜黒猫の三角〜』

線形代数 マトリクス クロネッカーのデルタ (Kronecker Delta)

ぞろ目の年月や年齢にこだわった連続殺人事件の話です.タイトルの黒猫の三角は,クロネッカーのデルタ(ギリシャ文字で大文字が$\varDelta$)をかけています.
「香具山さんは文系だから、知らないわよね。小島遊君、君は線形代数は単位ちゃんと取った?」
「どうして?」
「マトリクス、教わったでしょう?」
「行列ですね?」
「そう」紅子が頷く。「マトリクスの対角項だけを1にする。それ以外はすべて0にしたい。どうやってそれを書き表したら良いかしら?」
「えっと……、単位マトリクスのことですか? 斜めに1を並べて書いて、あとは0をひたすら入れるんじゃあ…… 」
「ニ次元で、しかも小さなマトリックスなら、それで書ける」紅子が頷いた。 「でも、一般式で表記したいときがあるでしょう? ほらほら,とっても有名な……」
「ああ、クロネッカのデルタ!」練無が叫んだ。
「何それ?」紫子がメガネを持ち上げてきいた。いつもより、ずっとインテリに見える。「クロネコのデルタ?」
「ね……」紅子がにっこりと微笑む。「三角じゃないけど、小文字のデルタを書いて、そのあとにi、jとか、さらにkとか、添え字を書く。それで、たとえば、デルタijと書かれていれば、それは、もしiとjが同じ整数なら、全体が1になる、もし違う整数なら全体が0になる、という関数なの。ようするに、数が同じならON、違えばOFF。その関数の名前が、クロネッカ・デルタっていう。これ、もの凄く有名だから,理系の大学生なら,まず知らない人はいないでしょう?」
クロネッカーのデルタは,2つの数$i$, $j$に対して0または1の値をとる次のような関数です.($\delta$は小文字のデルタ)
\begin{eqnarray}
\delta_{ij}=
  \begin{cases}
    1 & ( i = j ) \\
    0 & ( i \neq j )
  \end{cases}
\end{eqnarray}
すなわち,2数がぞろ目のときは1になり,そうでないときは0になるという関数です.いくつかの式や値をまとめてひとつに表す方法として使われます.

いくつか例を見てみましょう.

①例えば高校で習う平面上の座標軸に関する基本ベクトル $\vec{ e_1 }=(1,0)$,$\vec{ e_2 }=(0,1)$の内積は,$$\vec{ e_1 }\cdot\vec{ e_1 }=1, \quad \vec{ e_1 }\cdot\vec{ e_2 }=0,\quad \vec{ e_2 }\cdot\vec{ e_1 }=0,\quad \vec{ e_2 }\cdot\vec{ e_2 }=1$$となるので,これらをひとつにまとめて,$$\vec{ e_i }\cdot\vec{ e_j }=\delta_{ij}$$と表すことができます.

②この小説に出てきたのは行列(matrix)の話です.2行2列だと一般に次のような形をしています.\begin{eqnarray}
\left(
  \begin{array}{cc}
    a & b \\
    c & d \\
  \end{array}
\right)
\quad \quad \quad
\left(
  \begin{array}{cc}
    a_{ 11 } & a_{ 12 } \\
    a_{ 21 } & a_{ 22 } \\
  \end{array}
\right)
\end{eqnarray}行列も数字と同じようにかけ算ができます.数字の1にあたる働きをするものを単位行列(identity matrix)といい,右下がりの対角線上がすべて1,他は0になります.\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}3行3列ならこんな形です.\begin{eqnarray}
\left(
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1  \end{array}
\right)
\end{eqnarray}これがn行n列になると,書くのは大変なうえ,スペースもとりますが,クロネッカーのデルタを使えば次のように簡潔に書くことができます.\begin{eqnarray}
 \left(
  \begin{array}{cccc}
    1 & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 1 & \ldots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & \ldots & 1
  \end{array}
\right)
= (\delta_{ij})
\end{eqnarray}
WolframMathWorldには複素関数の積分の例もありました.$$\delta_{mn}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} z^{m-n-1}dz$$右辺の$\oint$は周回積分,$\gamma$は単位円のような閉曲線で,m=nのとき1になり,m≠nのとき0になります.コーシーの積分定理・公式からすぐいえるのですが,少し計算して確かめてみましょう.$z=e^{it}$とおきます.\begin{eqnarray}
\oint_{\gamma} z^{m-n-1} dz&=& \int_0^{2\pi} e^{(m-n-1)it} ie^{it} dt \\
&=& i\int_0^{2\pi} e^{(m-n)it}dt \\
\end{eqnarray}m=nのとき\begin{eqnarray}
&=& i\int_0^{2\pi} dt \\
&=& i\left[ \ t \ \right]_0^{2\pi} \\
&=& 2\pi i \\
\end{eqnarray}m≠nのとき\begin{eqnarray}
&=& i\int_0^{2\pi} \{ \cos{(m-n)t}+i\sin{(m-n)t} \}dt \\
&=& i \left[\frac {\sin{(m-n)t}}{m-n}-i\frac {\cos{(m-n)t}}{m-n}\right]_0^{2\pi} \\
&=& 0 \\
\end{eqnarray}クロネッカーのデルタを考案したドイツの数学者クロネッカー(Leopold Kronecker)は,無限集合論を確立した数学者カントールを,その業績だけでなく人間性をも厳しく批判し,精神的に追い込んだことが有名で,数学史上の悪役みたいなイメージがあります.一方,このドラマに登場したのはとても可愛いクロネッコー,いえクロネコでした.

[参考]
Kronecker Delta
https://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html

Wednesday, 22 January 2020

小説 パズルの軌跡 穂瑞沙羅華の課外活動

機本伸司著 2009年 角川春樹事務所

16進数 級数

大学を卒業して就職したばかりの青年と,飛び級で同じ大学を卒業してから普通の高校生になった物理学の天才少女が,ある企業の依頼で,同時期に多数起こった失踪事件を追うという話です.

16進数
窓は一つしかない。その横に、テンキーが並んでいる。いや、正確にはテンキーではなく、十六進数の特殊キーである。つまり、0から9までの数字の他に、AからFまで、アルファベットのキーがある。
沙羅華は、先生の方をちらりと見た。
「ドアのパスワードは、変えてないわよ」と先生が言う。「前にあなたと相談したときのまま」
沙羅華は軽くうなずくと、人さし指で "221B"と押した。
16進数は,ドラマ「すべてがFになる」にも登場しました.10進数が0~9という10個の数字を使って,$1$の位,$10$の位,$10^2$の位…と表され,2進数は0と1という2つの数字を使って,$1$の位,$2$の位,$2^2$の位…と表されるように,16進数は0~9とA~F(10から15)という数字と文字を15個使って,$1$の位,$16$の位,$16^2$の位…と表されます.

例えば,10進数表記の$$8731=8×10^3+7×10^2+3×10+1×1$$を2の累乗の和で表すと,\begin{eqnarray}
8731&=& 8192+512+16+8+2+1 \\
&=&  2^{13}+2^9+2^4+2^3+2+1
\end{eqnarray}なので,2進数表記では$10001000011011$となります.

この小説に登場した16進数表記の 221B を10進数表記で表すと,\begin{eqnarray}
221B &=&2×16^3+2×16^2+1×16+B×1 \\ &=&2×16^3+2×16^2+1×16+11×1 \\
&=&  8731
\end{eqnarray}なので,16進数表記の 221B は,10進数表記の 8731 を意味します.

10進数は人間にとって分かり易いが,コンピューターでは 0か1 (on/off) の2進数が扱い易い.しかし桁数が大きくなってしまう.そこで16進数なら桁数が少なくて済むし,2の累乗なのでコンピューターでも扱い易い.というわけでコンピューターでは16進数がよく使われているそうです.

10進数の4桁は,数字の並べ方が$10^4=10000$通りに対して,16進数の4桁は,$16^4=65536$通りあり,セキュリティ面では約6.55倍の強さがあるといえます.

級数
<著者あとがき>
こうして"究極の疑間"に挑戦し続ける彼女の姿は、数学に出てくる"級数"に似ているかもしれません。整数nの値が一つ増えるごとに、解も変化していくわけです。
そして彼女はまだ、大きく揺らいでいる。果たして何らかの値に"収束" するのか、それとも"発散"するのか……。そんなふうに"極限値"を探りながら、彼女の旅は続くことになりそうです。
ヒロインの生き方を級数で比喩しているわけですが,級数は数列の和を意味し,有限和はそのひとつひとつがまた数列になりますから,用語は数列でも級数でも良かったと思います.また「解も変化していく」という表現よりは「値も変化していく」の方が適切でしょう.

級数の極限で簡単なものを見てみましょう.$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+・・・$$は,初項$\frac{1}{2}$,公比$\frac{1}{2}$の無限等比級数ですから,n項までの和$$S_n=1-\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n $$からその極限を考えると,$\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n$は限りなく0に近づくので,$$\lim_{n \to \infty} S_n=1$$とするのが高校までのやり方ですが,より厳密なε-N論法を使ってこのことを証明してみましょう.

上の$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=1$という式は,ε-N論法では次のように表されます.$$\forall \varepsilon >0, \exists N\in\mathbb{ N }, \forall n \gt N \Rightarrow |S_n-1|<\varepsilon$$この式を意訳すると次のようになります.「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$が与えられても、ある自然数$N$をうまく決めれば,それより大きい自然数nでは, $S_n$と$1$との差を$\varepsilon$より小さくできる」$$|S_n-1|=|1-\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n-1|=\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n<\varepsilon$$が成り立てばいいので,$$\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n<\varepsilon$$を解くと,$$n>\log_{\frac{1}{2}}\varepsilon$$Nをこの値より小さい最大の自然数にすれば,証明したい式が成り立ちます.例えば$\varepsilon=10^{-4}$が与えられたとすると,$\log_{\frac{1}{2}}10^{-4}=13.28・・・$となるので,N=13と決めれば,それより大きい自然数nはすべて$|S_n-1|<\varepsilon$を満たします.

[参考]
パソコンはなぜ16進数を好むのか?
http://www.buturigaku.net/sub03_Spot/ICT/hex.html

Tuesday, 24 December 2019

小説 ラブ・ケミストリー

喜多喜久著  2011年 宝島社

ε-δ(イプシロン-デルタ)論法 フェルマーの最終定理 ギリシャ語数詞

有機化学における全合成を研究する大学院生が,いろいろとアドバイスをくれる「死神」や親友の助けを得て,学問と恋愛に奮闘する話です.
数学や物理は「言っている言葉が理解できない」状態だった。 ε-δ論法やインピーダンスといった、完璧にわけの分からない概念に悩まされるのは、もうこりごりだった。
高校の数学では,「限りなく近づく」などの言い方で,関数の極限や連続性について学習しますが,解析学では極限や連続などをより厳密に論じるためにε-δ論法が登場します.

高校の数学で登場する,$x$が限りなく$a$に近づくとき,$f(a)$の極限は$b$であるという意味の$$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b$$という式は,ε-δ論法では次のように表されます.$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$$
この式を意訳すると次のようになります.「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$が与えられても、ある正の数$\delta$をうまく決めて、 $x$と$a$との距離を$\delta$より小さくすれば, $f(x)$と$b$との距離を$\varepsilon$より小さくできる」

簡単な例をひとつ見てみましょう.$$\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2 = 9$$をε-δ論法で証明してみます.そのためには,
$|x-3|<\delta$ ならば $|x^2-9|<\varepsilon$
となるような$\delta$をうまく決めればいいわけです.$$|x^2-9|=|x+3|\cdot|x-3|=|x-3+6|\cdot|x-3|<(\delta+6)\delta$$となるので,$(\delta+6)\delta=\varepsilon$となる$\delta$を求めます.$$\delta^2+6\delta-\varepsilon=0$$この2次方程式を解くと,$\delta>0$より,$$\delta=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$$よって,$\delta$をこの値にすれば,
$|x-3|<\delta$ のとき,$|x^2-9|<(\delta+6)\delta=\varepsilon$
となります.すなわち$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, |x-3|<\delta \Rightarrow |x^2-9|<\varepsilon$$を示すことができました.

Friday, 20 December 2019

漫画 ぼくたちは勉強ができない 第1話

原作:筒井大志(集英社)2017年

微分

週刊「少年ジャンプ」に連載されている漫画で,理系科目の得意な文系志望の女子生徒と文系科目の得意な理系志望の女子生徒に苦手科目を教える男子生徒が奮闘する話です.アニメを観た後に気になって漫画を読んでみました.
先生「はい,じゃあこの問題,解けた人から前に出て解いてもらおうかな」
$f(x)=x^3+ax^2+bx$
$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき,極小値$-\frac{2\sqrt{3}}{9}$
$a=$,$b=$
また,関数$f(x)$の最大値は?  
(緒方理珠が黒板に解答を書く)
$a=0,  b=-1$
$x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき,最大値$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
先生「ぜ…全部正解です.でも…緒方さん,途中式は…?」
理珠「途中式….すみません,とばして解いてしまいました」
y=x^3-x のグラフ
途中式を確認してみましょう.
$f'(x)=3x^2+2ax+b$ なので,
$f'\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1+\frac{2a}{\sqrt{3}}+b=0\tag{1}$
$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}\tag{2}$
この2式より,$a=0,  b=-1$ となり,
$f(x)=x^3-x$
$f'(x)=3x^2-1$
よって,$x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき,極大値$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
となるので,「最大値」ではなく,正しくは「極大値」ですね.

ここで,$a+b\sqrt{3}$($a$,$b$は有理数)という形の数全体は「$a+b\sqrt{3}=0$ ならば $a=b=0$」(代数学の用語を使っていうと,有理数体Qに$\sqrt{3}$ を添加してできる拡大体の元は代数的独立)なので,$a=0,  b=-1$を出すには,式(1), (2)のどちらかだけで十分ですね.つまりこの問題は条件過多になっています.

気になったので,アニメの方の第1話を観てみたら,似た問題が使われていました.
関数$f(x)=-x^3+ax^2+bx+6\quad(-3≦x≦1)$ が,
$f(2)=0$
$x=1/\sqrt{3}$のときに極大値を取る
の2点を満たすとき,$a$,$b$の値を求めよ.
(緒方理珠が黒板に解答を書く)
先生「ぜ…全部正解です.でも…緒方さん,途中式は…?」
理珠「途中式….すみません,見た瞬間,答えが分かったので,とばしてしまいました」
途中式を確認してみましょう.
$f(2)=0$より,
$-8+4a+2b+6=0\tag{3}$
$f'(x)=-3x^2+2ax+b$ なので,
$f'\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1-\frac{2a}{\sqrt{3}}+b=0\tag{4}$
この2式より,$a=0,  b=1$ となる

ここでも,$a=0,  b=1$を出すには,式(4)だけで十分ですね.つまりこの問題も条件過多になっています.しかもこの問題,$f(2)=0$といいながら,$x=2$は定義域 $(-3≦x≦1)$ に入っていません.この定義域を与えることも必要ないでしょう.

Wednesday, 13 November 2019

アニメ ぼくたちは勉強ができない!

原作‎:‎筒井大志 放送局:TOKYO MXほか 2019年

三角関数

週刊「少年ジャンプ」に連載された漫画のアニメ化で、大学入試の受験勉強に奮闘する高校生たちの話です。


訂正前
オープニング映像で三角関数のある問題の解答が一瞬現れます.この解答から推測すると,$\theta$の関数$f(\theta)$が与えられていて,$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$を求め,$0≦\theta≦\pi$において$f(\theta)$がとりうる最大の整数を求めなさいという問題のようです.

その解答は,
$f(\theta)=11\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta$ を考える.
$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{7-5\sqrt{3}}{2}$ である.     
となっていたのですが,計算してみたら値が一致しません.その後の式変形も
\begin{eqnarray}
f(\theta)&=& 5\cos2\theta-5\sin2\theta+6 \\
&=&  5\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{3\pi}{4} \right)+6
\end{eqnarray}となっていて,もとの$f(\theta)$とは一致しないので,最初の$f(\theta)$の式が間違っているのではないかとよく考えてみたら,正しくは$$f(\theta)=11\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta$$であり,元の式は $+\sin^2\theta$ が抜けていることが分かりました.これなら$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$,$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$も最初の値になります.

正しい$f(\theta)$で後の式変形も確かめてみましょう.
\begin{eqnarray}
f(\theta)&=& 11\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta \\
&=&10\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta \\
&=&10 \cdot \frac{1+\cos2\theta}{2}-10 \cdot \frac{\sin2\theta}
{2}+1 \\
&=& 5\cos2\theta-5\sin2\theta+6 \\
&=& 5\sqrt{2}\left\{\sin2\theta\cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) +\cos2\theta\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \right\}+6 \\
&=&  5\sqrt{2}\left(\sin2\theta\cos\frac{3\pi}{4}+\cos2\theta\sin\frac{3\pi}{4} \right)+6 \\
&=&  5\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{3\pi}{4} \right)+6
\end{eqnarray}よって、$0≦\theta≦\pi$における最大値は$5\sqrt{2}+6=13.071...$となるので,最大の整数は13ということになります.

1度目の訂正後
もうひとつ別の部分で、最初のミスを後で訂正していたことが分かりました。右が訂正後です.$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$が、次の式に訂正されています。$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$
$f(\theta)$の方も訂正されたらここに追記したいと思います.


2019/12/15 追記


2度目の訂正後
#11 (2019/12/14 土曜深夜 放送分) で  $f(\theta)$ に $+\sin^2\theta$ が加えられ,訂正されました.しかし残念なことに,1度目に訂正した$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$が,また元の$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$に戻ってしまいました.$f(\theta)$ の訂正に,1度目の訂正をする前の原稿を使ってしまったのでしょう.


2019/12/22 追記


3度目の訂正後
翌週放送の,#12 (2019/12/21 土曜深夜 放送分) で,$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$が修正され,正しい$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$に戻りました.これでようやくすべて間違いのない状態になりました.良かったです.このことは,私から直接指摘はしていないので,他の視聴者からの指摘なのか,スタッフ自らが気付いたのか聞いてみたいものです.

Monday, 23 September 2019

ドラマ 監察医 朝顔 第10話

落下運動

子どもを抱いたまま階段から落ちて自分だけ亡くなっていた母親の死因を,監察医らが解剖や落下実験などで解明しようとします.ドラマの中では話題になりませんでしたが,背景に数式の書かれたホワイトボードがありました.その式をよく見ると,水平方向に押されて落下し,着地した瞬間の速度を求める計算であることが分かりました.
$m = 47$ kg $+8.3$ kg $=55.3$ kg
高さ$h$を$3$mとする
$v$ [m/s] $= g$ [m/s2]
$v = \sqrt{2gh}$ より
$v = \sqrt{2×9.8×3} = 14\sqrt{0.3}$
また,$h=\frac{1}{2}gt^2$ より
$3 = \frac{1}{2}×9.8×t^2 = \frac{1}{2}9.8t^2$
$t^2 =3×\frac{2}{9.8} = \frac{6}{9.8}=0.612...$
$\fallingdotseq 0.6$
$t = \sqrt{0.6}$
$v_x = v_0$
$v_y = gt = 9.8\sqrt{0.6}$
$v_0 = 5$ m/s とすると
$v^2 = v_x^2+v_y^2
=5^2+(9.8\sqrt{0.6})^2$
$= 25+(96.04×0.6)
= 25+57.624$
$= 82.624$
$v= \sqrt{82.624}=9.089...\fallingdotseq 9.1$ m/s
着地した瞬間の水平方向の速度を$v_x$,垂直方向の速度を$v_y$として,その合成速度$v$を求めています.

3行目の $v$ [m/s] $= g$ [m/s2] は明らかなミスですね.「$h$ [m] 落下した瞬間の速度$v$ [m/s] は,重力加速度を$g$ [m/s2]とすると」とすべきでしょう.

5行目の$v$は$v_y$ですね.この後,落下にかかった時間$t$を求め,$v_y = gt$からまたもや$v_y$を求めています.しかも,途中で$t^2$を丸めたことによる誤差が出て,初めの$14\sqrt{0.3}$と後の$9.8\sqrt{0.6}$は異なる値になってしまっています.正確には前者で,$t^2$を丸めなければどちらも$14\sqrt{0.3}$になるはずです(計算してみてください).

そうすると,着地した瞬間の速度は次のようになります.
$v^2 = v_x^2+v_y^2=5^2+(14\sqrt{0.3})^2= 25+(196×0.3)= 25+58.8= 83.8$
$v= \sqrt{83.8}=9.1542...\fallingdotseq 9.15$ [m/s]

ところで最初に親子の体重の和があるので,この後さらに着地時の衝撃力を計算するはずだったと思われます.

着地時の物体は、$mv$ [kg·m/s] という運動量を持ち,着地後は着地面からの力 $F$ [N] を一瞬の時間 $∆t$ [s] だけ受け、運動量は0になります.このときの力$F$を衝撃力といい,次式で求められます.
$F =\displaystyle\frac{mv}{∆t}$ [N]
水平方向に押されて,高さ3mから落下したとするこの計算の場合,着地後に速度が0になるまで仮に0.1秒かかったとすると,
$F =\displaystyle\frac{mv}{∆t}=\frac{55.3×9.15}{0.1}\fallingdotseq 5060$ [N] 
となり,落ちてぶつかったところに約5000 [N],およそ500 [kgf] ぐらいの衝撃を受けたものと推測されます.

[参考]
衝撃力の計算
http://higgs.phys.kyushu-u.ac.jp/~koji/shougeki.pdf

Friday, 13 September 2019

小説 万能鑑定士Qの最終巻 ムンクの<叫び>

松岡圭祐著 講談社 2016年

ピタゴラスの定理

「万能鑑定士Q」シリーズ完結編.沖縄の高校卒業後,東京生活の出発点となったリサイクルショップに戻った万能鑑定士・凜田莉子が,ムンクの絵画「叫び」の盗難事件を追いながら、探偵になった元雑誌記者・小笠原悠斗への愛に気付いていくという話です.
 陸が莉子を見つめてきた。「ならききたい。赤道上にぴんと張ってある紐を一センチ延ばしたら、人がくぐれるようになるか?」
 意地でも間違えられない。莉子はピタゴラスの定理を駆使し、頭のなかで計算した。「一メートル持ちあがるから、くぐれるでしょう。二等辺三角形の底辺は百の二乗マイナス四分の一がふたつ並び、斜辺はいずれも百の二乗プラス四分の一、そして垂直方向に高さ百センチと考えられるので」
「ほう!」陸が目を輝かせた。「やるな。ロジカル·シンキングに計算力も伴ったか。しばらく会わないうちに、頭の回転が速くなった」
 漢那が莉子にきいた。「どういう計算?」
 小笠原がいった。「赤道の長さは関係ないんだよ。百メートルぐらいは、地球の表面も平坦とみなすだけ」
たまたま電車の中で読んでいて,これはどういう計算なのかすぐに分からず,その後ネットで検索しても納得のいかない解答1解答2しか見つからなかったので,じっくりと考えてみたところ,ようやく解明できました.

まず問題の文章が不十分でした.赤道(地球を1周する円周)と同じ長さの紐を1cm延ばすのではありません.水平面上に「百の二乗マイナス四分の一」=$100^2-\frac{1}{4}=9999.75$ (cm) の2倍の長さの紐があってこれを底辺とし,その両端を0.5cmずつ計1cm延ばして中央を持ち上げ,「百の二乗プラス四分の一」=$100^2+\frac{1}{4}=10000.25$ (cm) の斜辺2つが屋根になるような(直角三角形を背中合わせに2個貼り合わせた)2等辺三角形の高さを求めるという計算だったのです.


ピタゴラスの定理で高さを計算すると,$$\sqrt{10000.25^2-9999.75^2}=100$$(cm) となり,確かに凜田莉子の出した解答と一致しました.

小笠原がいった「地球の表面も平坦とみなす」というのは参考になりましたが,「赤道上にぴんと張ってある紐」は「百メートルぐらい」ではなく,実際は$9999.75×2$ (cm) なので,200mぐらいというべきでした.

Saturday, 17 August 2019

ドラマ あなたの番です 第6話

日本テレビ 2019年

複素積分 リー代数

あるマンションに引っ越してきた夫婦が,そこの住民の「交換殺人ゲーム」に巻き込まれるというミステリーです.そこに住む女性の一人が数学科の大学生で,部屋に数式の書かれたホワイトボードがあります.
(そのホワイトボードを目にして)
手塚菜奈 「これは?」
黒島沙和 「専攻が数学科なんですけど,ノートだけじゃ書ききれない計算とかあって…」
手塚菜奈 「へえー」
( ホワイトボードを裏返しながら)
黒島沙和 「今日のメインは,こっちです」
「専攻が数学科なんです」という言い方は少しおかしいですね.さて,ホワイトボードには主に5つの数式がありました.

①複素関数$f(z)=z^m$の積分路とその積分計算です.


まず①-2前半の計算,半円$C_2$に沿った積分を,$z=e^{(\pi-t)i}$とおき,途中$\pi-t=s$と置換していますが,置換した後の積分区間を$\pi$から0に変えるべきところを,0から$\pi$のままになっていて,m : even(mが偶数)のときの値が正しくは$-\frac{2}{m+1}$なのに$\frac{2}{m+1}$になっています.$z=e^{ti}$とおけば,あとでもう一度置換する必要はなく,間違いはなかったと思います.そうすればこの計算は次のようになります.
\begin{eqnarray}
\int_{C_2} z^m dz&=& \int_0^{\pi} e^{mti} ie^{ti} dt \\
&=& i\int_0^{\pi} e^{(m+1)ti}dt \\
&=& i\int_0^{\pi} \{ \cos{(m+1)t}+i\sin{(m+1)t} \}dt \\
&=& i \left[\frac {\sin{(m+1)t}}{m+1}-i\frac {\cos{(m+1)t}}{m+1}\right]_0^{\pi} \\
&=& \frac{1}{m+1}\{ \cos{(m+1)\pi}-1\} \\
&=&  \begin{cases}
    \ \ \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\
    -\frac{2}{m+1} & ( m : even) \\
  \end{cases}
\end{eqnarray}
次に①-2後半の計算,折れ線$C_3$に沿った積分は,最後の部分がはっきり映らなかったので,確認のため,書き加えておきます.
\begin{eqnarray}
\int_{C_3} z^m dz&=& \int_{-1}^0 \{t-(t+1)i\}^m (1-i) dt + \int_0^1\{t+(t-1)i\}^m (1+i) dt \\
&=& \int_{-1}^0 (1-i)\{(1-i)t-i\}^m dt + \int_0^1 (1+i)\{(1+i)t-i\}^m dt \\
&=& \left[\frac { \{(1-i)t-i \}^{m+1} }{m+1}\right]_{-1}^0+\left[\frac { \{(1+i)t-i \}^{m+1} }{m+1}\right]_0^1 \\
&=& \frac{(-i)^{m+1}-(-1)^{m+1}+1^{m+1}-(-i)^{m+1}}{m+1} \\
&=&  \begin{cases}
    \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\
    \frac{2}{m+1} & ( m : even) \\
  \end{cases}
\end{eqnarray}
以上の計算は,①-1積分路の図のすぐ下の式,$$\int_{C_2} z^m dz = \int_{-1}^1 t^m dt =  \begin{cases}
    \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\
    \frac{2}{m+1} & ( m : even) \\
  \end{cases}$$を確認するためだったのでしょうが,正しくは
$$\int_{C_2} z^m dz = -\int_{-1}^1 z^m \frac{dz}{dt} dt =  \begin{cases}
    \ \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\
    -\frac{2}{m+1} & ( m : even) \\
  \end{cases}$$
と書くべきでしょう.ただ,コーシーの積分定理より,特異点のない周回積分の値は0になるので,$$ \int_{C_2} z^m dz + \int_{C_3} z^m dz =0$$と書いた方がすっきりしますね.

②$x$と$y$を含む整式の除法ですが,何のための計算かよく分かりませんでした.分かる方は教えてください.


③複素関数$f(z)=\frac{1}{z^4-1}$を,留数定理を使って,特異点$z=i$を中心とする半径1の円に沿って積分する計算です.


④複素関数$f(z)=\frac{1}{z^2-4}$を,$z=i$の周りでローラン展開しています.


下から2行目,$( \frac{i}{3} ) )$の後にn乗がありますが,正しくは$( \frac{i}{3} )$の後ですね.

⑤リー代数  su(2) の基底 $e_1$, $e_2$, $e_3$が,括弧積$[A,B]=AB-BA$で,
$[e_1, e_2]=e_3$,   $[e_2, e_3]=e_1$,   $[e_3, e_1]=e_2$
を満たすことを確かめています.3次元ベクトル空間の基底 $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$が,外積で,
$e_1×e_2=e_3$,   $e_2×e_3=e_1$,   $e_3×e_1=e_2$
を満たすことと同様です.


[参考]

パウリ行列

SU(2)とSO(3)の関係

Sunday, 14 July 2019

小説 神様のパラドックス

機本伸司 著 2008年 ハルキ文庫

フラクタル コッホ曲線 必要条件・十分条件 不完全性定理

ごく普通の女子大生である井沢直美が,飛行機に搭載された量子コンピューターを駆使して占いやカウンセリングをしようとする会社でのアルバイトで,それまでの日常から想像もできなかったような稀有な体験をするという話です.
「フラクタル?」 智恵実が聞いた。
「規則性の単純な "自己相似" 図形ですね。つまり図形を構成する小さな部分が、 図形全体と同じょうな構造をもつ幾何学図形。自然のなかでも、海岸線、 雲、 銀河、 星団などが、よく似た性質をもつと考えられています。そのフラクタルのなかで、我々が採用したのは "コッホ曲線" といわれるもので、正三角形をべースにしています」
「清算関係?」
「正三角形」小佐薙がもう一度言った。「各辺を三等分し、その中央を一辺とする小さな 正三角形を、外側にそれぞれ描く。それを際限なく描き続ける。すると,有限の大きさであるにもかかゎらず、周囲の長さは、理論上無限大の図形ができるわけです」
有限の大きさの中に、無限の長さ ......。直美は、頭の中でくり返した。
フラクタル図形とは自己相似な図形,すなわち部分と全体とが相似な図形のことで,ここで登場したコッホ曲線の他に,シェルピンスキーのギャスケット,カントール集合などが有名です.

1次元図形である線分、2次元図形である正方形、3次元図形である立方体の各辺を2等分したとき、1次元では2個の線分、2次元では4個の正方形、3次元では8個の立方体ができます.つまり、一辺を$n$等分すると、$n$個の線分、$n^2$個の正方形、$n^3$個の立方体ができますが,この指数が普通に2次元,3次元などという次元の数を表しています.

フラクタル次元は,一辺を$n$等分して$m$個の相似な図形ができるとき,$$\frac{\log{m}}{\log{n}}$$で定義されます.この定義は普通の次元にも当てはまり,例えば立方体の各辺を2等分したとき,8個の立方体ができるので,$$\frac{\log{8}}{\log{2}}=3$$となり,次元の数は3ということになります.

一方,フラクタル図形は次元が非整数になるのが特徴です.

コッホ曲線
コッホ曲線
一辺を3等分して真ん中の線分を除き、そこへ除いた線分と正三角形ができるように同じ長さの2辺を追加すると,元の線分の1/3の長さを持つ線分が4つつながった折れ線ができます.この操作のたびに,3等分した後4つの相似な図形ができるので,$$\frac{\log4}{\log3}≒1.262$$となり,コッホ曲線のフラクタル次元は1.262ということになります.また,この操作を繰り返していくと,曲線の長さは公比$\frac{4}{3}$の等比数列になるので,無限に長くなっていきます.

シェルピンスキーのギャスケット
シェルピンスキーのギャスケット
正三角形の真ん中から辺の長さが1/2になる上下逆向きの正三角形を取り除くと,元の三角形の1/4の面積を持つ正三角形が3つできます.この操作のたびに,2等分した後3つの相似な図形ができるので,$$\frac{\log3}{\log2}≒1.585$$となり,コッホ曲線のフラクタル次元は1.585ということになります.また,この操作を繰り返していくと,残る三角形の面積の和は公比$\frac{3}{4}$の等比数列になるので,限りなく0に近づいていきます.

カントール集合
カントール集合
線分を3等分して真ん中の線分を取り除くと,元の1/3の長さを持つ線分が2つできます.この操作のたびに,3等分した後2つの相似な図形ができるので,$$\frac{\log2}{\log3}≒0.631$$となり,カントール集合のフラクタル次元は0.631ということになります.また,この操作を繰り返していくと,残る線分の長さの和は公比$\frac{2}{3}$の等比数列になるので,限りなく0に近づいていきます.

この小説は神様論が冗長で,読むのに少し疲れるところもありましたが,面白い言葉のパロディが多くて楽しめました.

Saturday, 29 June 2019

TVスポーツ 日本陸上競技選手権

NHK 日本陸上競技選手権 TV放送より
2019年度日本陸上競技選手権が6月27-30日に福岡で行われ,そのTV中継の中で男子100m決勝の後に右のグラフが表示されました.1位のサニブラウン選手(記録10.02秒)と,2位の桐生選手(記録10.16秒)のスタート後の距離とそのときの速度を表していて,赤色が1位,黄色が2位の走りを表しています.

近似関数(by GeoGebra)
<1位のグラフ(赤色)の特徴>
 頂点は(65, 42.7)
 ほぼ左右対称
 2次関数よりは3次関数のカーブに近い

100mは距離が短いので,トップスピードになったらそのままゴールまで行くのかと思っていましたが,そうではなく,ピーク前に速度が上がったのと同じぐらいの割合でピーク後の速度が下がっていることは意外でした.

このグラフをGeoGebraを使って関数で表してみました.すると3次関数よりも3.1次関数の方がこのグラフに近いことが分かりました.距離を$x$,速度を$y$としたときの方程式は次のようになります.

10≤$x$≤65のとき,$y=-0.00005(-x+65)^{3.1}+42.7$
65≤$x$≤100のとき,$y=-0.00005(x-65)^{3.1}+42.7$

JAAF
日本陸上競技連盟(JAAF)公式サイトには桐生選手が当時の日本記録9.98を出した時のグラフがあります.これもほぼ65m地点を中心に左右対称になっています.やはり100mを10秒ぐらいで走るにはものすごいスピードが必要ですが,ピークの65m地点を過ぎてそのままトップスピードを維持することは非常に難しいことのようです.


Saturday, 25 May 2019

小説 万能鑑定士Qの事件簿 1

松岡圭祐著 角川文庫 2010年

エビングハウスの忘却曲線

沖縄の離島出身、成績は良くなかったが天真爛漫に育った凜田莉子(りんだりこ)が高校卒業後に上京し,あるディスカウントショップ社長から勉強法を伝授されて博学を身につけ,「万能鑑定士Q」という店をオープン.そこに持ち込まれる品物の鑑定をきっかけに,様々な事件の解決に向けて活躍します.
「教科書を読むときには,書かれている内容に感動すべきなんだ」
「でも,教科書を読んで楽しいところばかりじゃないし……,覚えようとしなきゃ覚えられないと思いますけど」
「それでも,記憶に感動を伴わせるのを忘れないように.そして四割ほど忘れたころに,もういちど同じところを学習すること」
「四割?」
「エビングハウスの忘却曲線とか,記憶に関する本を読みかじったうえで実践してみて,私の納得のいったやり方だ」
あることをある時間をかけて覚えたとして,その後一定時間経って忘れた部分だけを覚え直すためにかかる時間は最初より短時間になります.(最初に覚えるのにかかった時間)ー(覚え直すのにかかった時間)を(最初に覚えるのにかかった時間)で割った値を「節約率(savings)」といいます.この節約率は時間が経つほど減っていくので,ほぼ記憶保持率(retention rate)と同様に考えていいようです(英語版 Wikipedia "Forgetting Curve")

例えば、あることを最初に100%覚えるまでに10分かかり、20分経ってから忘れた部分を覚え直すのに4分かかったとすると,再度100%まで覚え直す時間を 10-4=6分 節約したことになるので,最初に100%覚えてから20分後の節約率(≒記憶保持率)は,6÷10=0.6=60%ということになります.

実データと近似曲線(対数目盛)
この節約率(≒記憶保持率)$s$(%)を,最初に覚えてから経過した時間 $t$(分)の関数としてグラフに表したものを忘却曲線といいます.エビングハウスは実データを元に,つぎの近似関数を得ています.$$s=100\times\frac{1.84}{\left(\log_{10}{t}\right)^{1.25}+1.84}$$このグラフをExcelで作ってみました(右上図).これを見ると,覚えた直後は急激に忘れ,その後だんだん緩やかに忘れていくことが分かります.このグラフの $t$ 軸は対数目盛(1, 10, 100, 1000, …が等幅の目盛)にしています.

実データと近似曲線(線形目盛)
Geogebraで普通の目盛(線形目盛)のグラフを描くとこうなります(右下図).最初だけ急減し,その後はずっと横に伸びてほんの少しずつ減少していきます.

この結果から,覚えた後すぐに約半分を忘れてしまうものの,約2割は長期間忘れないということが分かります.

余談ですが,日本語版Wikipedia「忘却曲線」の方には近似関数の方程式がなかったので追加しておきました.

[Reference]
Wikipedia "Forgetting Curve"
https://en.wikipedia.org/wiki/Forgetting_curve