Saturday, 18 August 2018

小説 夜中に犬に起こった奇妙な事件

マーク・ハッドン著 2003年

素数 モンティ・ホール問題 ロジスティック写像

近所の犬が殺された事件の解明をしようとする,自閉的傾向のある少年クリストファーの視点で語られる小説です.物語の流れとは関係なく数学や理科の話が唐突に出てきます.

モンティ・ホール問題

1990年代に米国で大きな議論になった問題です.
あなたがテレビのゲーム番組に出るとする.このゲーム番組の目的は,賞品の車をあてることだ.ゲーム番組の司会者はあなたに3つの扉を見せる.この3つの扉のうちの1つのうしろに車があり、残りの2つの扉のうしろにはヤギがいるという.司会者はまず1つの扉を選ぶようにという.あなたは扉を1つ選ぶけれど,それは開けてもらえない.それから司会者はあなたが選ばなかった扉の1つを開けてヤギを見せる(なぜなら司会者はその扉のうしろになにがあるか知っている).それから司会者は、あなたが残りの扉を開けて車かヤギのどちらかを手に入れる前に1度だけ考えを変えてもいいという.そこで司会者はあなたに,考えを変えてもう1つの開けていない扉を選ぶかどうかたずねる.あなたはどうすべきか? 
3つの扉をそれぞれX, Y, Zと呼ぶこととする.CXを扉Yのうしろに車がある事象とし, CY, CZも同様とする.HXを司会者が扉Xを開ける事象とし,HY, HZも同様とする.あなたが扉Xを選んだと仮定すると,考えを変えてちがう扉を選んだときに車が当たる確率は以下の式によって求められる.
P(HZ∩CY)+P(HY∩CZ)
=P(CY)P(HZ|CY)+P(CZ)P(HY|CZ)
=(1/3×1)+(1/3×1)
=2/3
従って,考えを変えてちがう扉を選んだ方が車の当たる確率が高いということになります.これはもともとモンティ・ホールという人が司会をしていたTV番組の中のゲームですが,今は高校の数学の教科書の「条件付き確率」のところで紹介されています.当時は当たる確率が直観的な1/2なのか,正しい2/3なのかで大きな議論になりました.上の文字式の意味は次のようになります.

(あなたが最初に扉Xを選んだあと)「扉Yのうしろに車があって司会者が扉Zを開ける確率」+「扉Zのうしろに車があって司会者が扉Yを開ける確率」

ロジスティック写像

この名前を出さずにいきなり以下の式が「謎ではない謎の例」として登場します.
ここに生き物の数の公式がある.
Nnew=λNold(1-Nold)
Nnewはある年の個体密度を表し,Noldは前年のそれを表す.λはある定数である.
λが1より小さいならば,個体数はだんだん減って絶滅に至る.λが1と3のあいだであれば,個体数は増え,定常状態になる.そしてλが3と3.57のあいだの場合は,個体数は周期的に変動するようになる.しかし,λが3.57より大きいときはカオスになる.
生物の個体数の推移を表すロジスティック方程式という微分方程式$$\frac{dN}{dt}=\frac{r}{K} (K-N)N$$があり,これを普通に解くとロジスティック関数が得られますが,小説に登場した式を得るには,この左辺の微分係数を差分商$\varDelta N/\varDelta t$に置き換えて次のように変形します.$$\frac{N_{n+1}-N_n}{\varDelta t}=\frac{r}{K} (K-N_n)N_n$$$$N_{n+1}=N_n+r\varDelta t N_n-\frac{r\varDelta t}{K} N_n^2$$$$N_{n+1}=\{ (1+r\varDelta t)-\frac{r\varDelta t}{K} N_n \} N_n$$この両辺に$\frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)}$を掛けて,$$\frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)}N_{n+1}=\{ (1+r\varDelta t)-\frac{r\varDelta t}{K} N_n \} \frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)}N_n$$$$\frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)}N_{n+1}=(1+r\varDelta t)\{ 1-\frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)} N_n \} \frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)}N_n$$ここで$\frac{r\varDelta t}{K(1+r\varDelta t)}N_n=x_n$,$1+r\varDelta t=a$とおけば,$$x_{n+1}=a(1-x_n)x_n$$この漸化式はロジスティック写像と呼ばれています.$x_n$はある時刻の個体数の割合,$x_{n+1}$はその次の時刻の個体数の割合です.生物によって$a$の値が異なり,様々な個体数推移パターン(絶滅,定常状態,周期的変動,カオス)があります.

ロジスティック写像は$x_n$の2次関数になっていて,頂点は$(\frac{1}{2}, \ \frac{a}{4})$となるので,[0,1]から[0,1]への写像にするため,0≦$\frac{a}{4}$≦1,すなわち0≦$a$≦4になります.上のλ=($a$=)3.57という値はある数列の極限値ですが,これより大きい値の生物の個体数の推移はカオスになるという境界(ファイゲンバウム点)になっています.

[Reference]

カオスとフラクタル
山口昌哉著 1986年 ブルーバックス

ロジスティック写像
https://sites.google.com/site/cinderellajapan/cinderellade-kaosu/rojisutikkushazou

Sunday, 5 August 2018

小説 クラインの壺

岡嶋二人著 2005年 講談社文庫

クラインの壺 メビウスの輪 トポロジー 位相幾何学

究極のバーチャルリアリティの世界で,現実と仮想の見分けがつかなくなり,不思議なことが次々と起こるというSF小説です.この世界がまるで内側と外側の区別がつかない図形であるクラインの壺のようなので,このタイトルがつけられています.位相幾何学(トポロジー)に登場する図形,メビウスの輪とクラインの壺について,かなり詳しい説明がありました.
真壁七美「メビウスの輪って知ってるでしょう?」
上杉彰彦「……途中がいっぺんねじってある輪っかのことだろ?」
真壁七美「うん。クラインの壺は、メビウスの輪を四次元にしたものなのよ」
(中略)
真壁七美「メビウスの輪には、表も裏もないわけ。表だと思っているところは裏でもあるわけだし、裏だと思ってるところは、実は表なのよね。クラインの壺は、それを立体にしたものなの。」
以上の部分を含めて5ページに渡り,メビウスの輪とクラインの壺について,少し重複はあるものの,かなり詳しく説明されていました.短くまとめると以下のような感じでしょうか.
メビウスの輪は,細長い紙をねじり合わせるとできる.その上を歩いている人は,表を歩いているつもりなのにいつの間にか裏を歩いている.クラインの壺は,細長い紙ではなくパイプ(細長い管)を想像する.その端と端をくっつけるとドーナツができるが,クラインの壺はそのパイプを一度四次元の方向にひっくり返してくっつけるから,内側で歩いている人がいつの間にか外側で歩いていることになる.
メビウスの輪とクラインの壺
上のような図はありませんでしたが,とても分かり易く解説してあったので感心しました.ここまで詳しく数学用語を解説している小説にはこれまで出会った記憶がありません.上のクラインの壺の図は管が交差しているように見えますが,「四次元の方向にひっくり返して」あるので,実際は交差していません(あまり難しく考えないでください).

位相幾何学(トポロジー)は,伸び縮みする図形を考える幾何学です.円と三角形や四角形のなどの多角形は同じとみなすとか,ドーナツとコーヒーカップは1つ穴の開いた立体として同じとみなすというような例がよく紹介されています.ところが,面白そうと思って位相幾何学の入門書を読み始めると,前置きが長いうえ,「何これ?」と思うぐらい難しくなるので読み進むのが大変です.

いつもは登場した数式や数学用語の解説をしていますが,ここでは逆に小説で解説された話を数学的に表現してみます.

[メビウスの輪]
単位閉区間$I=[0,1]$の直積である正方形$I×I=[0,1]×[0,1] $の1組の対辺を逆向きで同一視する同値関係~でできた商空間$I×I/\sim$.

[クラインの壷]
単位円(1次元単位球面)$S^1=\{(x, y) \ | \ x^2+y^2=1\}$と単位閉区間$I$の直積である円柱$S^1×I$の両端の円を同じ向きで同一視する同値関係~でできた商空間$S^1×I/\sim$.

メビウスの輪は,直感的には正方形の対辺を逆向きに張りあわせたものになります.同じ向きに張りあわせたものは,平面上なら2つの同心円によって囲まれた部分,すなわちアニュラス(円環)となり,空間内なら円柱側面になります.クラインの壷は、直感的には円柱の端の円を同じ向きに張りあわせたものになります.逆向きに張りあわせたものはトーラス(ドーナツ型)になります.

---------
[付録]
いくつかのトポロジー用語の解説を試みてみました.

同相
集合AとBを同じとみなす(=同相)とは,AとBの間で同相写像が存在する,すなわち「1対1かつ上への両連続な写像が存在する」ことをいうのですが,直感的には伸び縮みさせて同じ形になれば同相です.

単位球面
n次元単位球面$S^n$(n+1次元単位球の表面)とは,例えば,0次元単位球面$S^0$は$R$(1次元実数直線)上の2点{1,-1}(原点からの距離が1である2点),1次元単位球面$S^1$は$R^2$(2次元平面)上の$x^2+y^2=1$(原点からの距離が1の円周),2次元単位球面$S^2$は$R^3$(3次元空間)内の$x^2+y^2+z^2=1$(原点からの距離が1の球面)を意味します.

商空間
集合を同じ条件を満たすもので分類して得られる集合を商集合(距離とか位相とか定義されていれば商空間)といいます.例えば整数全体Zを2で割り切れるかどうかで分類すると奇数と偶数に分類されます.この商集合(商空間)はZ/2Zと表されます.これを仮に$\{ \overline{ 0 }, \overline{ 1 } \}$と表せば,偶数を$\overline{ 0 }$,奇数を$\overline{ 1 }$と同一視したことになります.このことを点の集合である図形でも同様に考えることができます.

商空間と単位球面
単位正方形$I×I= [0,1] × [0,1]$の境界上の点を全て同じとみなす同値関係~でできた商空間$I×I/\sim$は,正方形の境界が浮き上がり,開いていた口が閉じるような感じになるので,2次元単位球面$S^2$(3次元空間内の球面)と同相になります.

商空間$R/Z$と単位球面
実数/整数という商空間$R/Z$は,2つの実数の差が整数になるとき,2数を同一視します.すなわち,1.2も2.2も-0.8も-1.8もすべて[0.2+z](z∈Z)の元として同じとみなします.$R/Z$の元は$[x]=\{ x+z \ | \ 0≦x<1, \ z∈Z \}$と表せるので, $[x]$は区間 [0,1)上の1点と同一視できます.0と1は差が整数だからこれらも同一視できるので,R/Zは1次元単位球面$S^1$(2次元平面上の円周)と同相になります.

[参考]
トポロジー
田村一郎著 岩波全書

Tuesday, 8 May 2018

映画 ラプラスの魔女

東野圭吾原作 2018年5月公開 東宝

ラプラス方程式 ステファン・ボルツマンの法則

硫化水素中毒による死亡事件が続けて発生.気体の動きを正確に予測できない限り殺人は不可能.調査をした地球化学者の青江修介が事件の解明に行き詰まっていたとき,謎の女羽原円華が現われ、その後に起きる自然現象を正確に言い当てる.「ラプラスの悪魔」(小説「ラプラスの魔女に既出)のような知性を持つ女なので,このタイトルがつけられたものと思われます.
青江修介「君は?」
羽原円華「魔女……,ラプラスの魔女」
青江修介「ラプラス? 数学者の? ラプラス方程式を発見したあのラプラス?」
「ラプラスの悪魔」は量子力学によって,その存在の可能性は否定されています.

Laplace equation

ラプラス方程式は,多変数関数$f(x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n)$の満たす次の2階線型偏微分方程式(小説「ラプラスの魔女に既出)になります.$$\Delta f =0$$この$\Delta$は微分演算子のひとつで"Laplacian"といい,$\Delta=\frac{∂^2}{∂{x_1}^2}+\frac{∂^2}{∂{x_2}^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{∂^2}{∂{x_n}^2}$を意味します.話を簡単にするため,2変数の関数$f(x,y)$でラプラス方程式を表すと,次式になります.$$\frac{∂^2f}{∂x^2}+\frac{∂^2f}{∂y^2}=0$$このラプラス方程式を満たす関数を調和関数といいます.例えば$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$は上式を満たすので調和関数になります.確かめてみましょう.
\begin{align}
\frac{∂^2z}{∂x^2}+\frac{∂^2z}{∂y^2}&=\frac{∂}{∂x}\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{∂}{∂y}\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}\\
&=\frac{-2x(x^2+y^2)^2-(-x^2+y^2)\cdot2(x^2+y^2)\cdot2x}{(x^2+y^2)^4}\\
&+\frac{-2x(x^2+y^2)^2+2xy\cdot2(x^2+y^2)\cdot2y}{(x^2+y^2)^4}\\
&=0\\
\end{align}Stefan-Boltzmann law

青江修介が大学で講義しているシーンの板書に,物体が放射するエネルギーEはその表面温度T(熱力学温度:単位はK)の4乗に比例する,すなわち$E=\sigma T^4$が成り立つという「ステファン・ボルツマンの法則」を使って地球の表面温度を求める数式が書かれていました.

(例1) 温室効果なし ε=1(の場合)
\begin{align}
T^4&=\frac{1.37 (kW/m^2) \cdot 0.7}{4\times 1\times 5.67\times10^{-8} (W/m^2/K^4)}\\
&=4.23\times 10^9 (K^4)\\
\\T&=255(K)=-18(°C)\\
\end{align}
$T^4$の分子の$1.37(kW/m^2)=1.37\times 10^3(W/m^2)$は太陽定数(単位WはJ/sとも表します),0.7は1-0.3=1-反射率=吸収率,分母の4は地球の表面積$4\pi r^2$と太陽から光を受ける面積$\pi r^2$との比,1は放射率(または射出率)ε=1,$5.67\times10^{-8}$がステファン=ボルツマン定数$\sigma$です.$T^4=4.23\times 10^9$になるので,$T=\sqrt[4]{4.23\times 10^9}≒255(K)$となり,摂氏では-18(°C)になります.

(例2) 温室効果あり ε=0.6(の場合)$$T=289.7(°C)=16.7(°C)$$となっていましたが,正しくは289.7(K)ですね.(例1)の式でε=1をε=0.6に置き換えればこの値を得ます.

[Reference]
偏微分 調和関数
http://tau .doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-II/html.dir/node41.html
地表が吸収する太陽エネルギー
http://www.s-yamaga.jp/nanimono/taikitoumi/taikitotaiyoenergy.htm

Friday, 30 March 2018

テレビ番組 ちちんぷいぷい 桜開花予想 

2018/03/28放送 MBS

指数関数・対数関数

テレビ番組「ちちんぷいぷい」で桜の開花日を予想する数式が登場しました.

数式を考察する前に,次の基本事項を押さえておきましょう.
①桜は夏に花芽(かが)ができ,休眠を始める.
②秋冬の気温の影響を受けながら休眠した後,冬のある日に休眠から覚める(「休眠打破」という).
③花芽は休眠打破の後,寒ければ小さく,暖かければ大きく生育し、ある生育量に達すると開花する.

番組では「AI技術 VS 気象予報士」という設定で,どちらがより正確に開花日を予想するかを勝負するというものでしたが,よく調べてみたら,どちらも大阪府立大学の教授らによって考えられた数式が元になっていて,それに他の要素を加味して補正することで予想に違いが出ることが分かりました.

番組で登場した数式  (1)
番組で登場した式(1)は気象庁でも使われていた式で,式(2)は大阪府立大学の教授らの論文(2017年)の中の式です.y=exp(x)は$y=e^x$と同じ意味で,ネイピア数eを底とする指数関数です.数字/文字の違いはありますが,(1)と(2)は基本的には同じ式です.

式中に登場する温度(単位:K)は絶対温度=摂氏温度+273.2という値になります.従って,絶対温度の288.2Kは摂氏でいうと15°Cになります.以下はその教授らの論文からの抜粋です.
温度変換日数(DTS = the number of days transformed to standard temperature)とは,ある一定の温度条件で1日間置かれたときの植物の生育過程が,あらかじめ決められた標準温度$T_s$(K)の下での条件に変換すると何日分の生育過程に相当するかを表す指数である。日平均気温が$T_{ij}$(K)であるi 年のDOY=day of year(または通日)j における温度変換日数$(t_s)_{ij}$(日)は,以下の式のように表すことができる。$$(t_s)_{ij}=\exp \left\{ \frac{E_a(T_{ij}-T_s)}{R\ T_{ij}\ T_s} \right\} \tag{2}$$ここで$E_a$は生育の温度に対する応答の特性を代表する温度特性値(J mol-1),$R$ は普遍気体定数(8.314 J mol-1 K-1)である。本研究では,青野・守屋(2003)にならい,標準温度$T_s$を15℃(288.2 K),$E_a$を70 kJ mol-1 として,ソメイヨシノの開花日の推定モデルに一貫して使用した。 
開花日の推定の際には,地点ごとに定められた適切な起算日$D_2$から式(2)の$(ts)_{ij}$を積算し始め,その値があらかじめ定められた特定の値23.8($DTS_2$)に達した日を推定開花日とする。起算日$D_2$は3つの地理的・環境的変数を使って,比較的簡単に地点ごとに計算できる。起算日$D_2$は次の式(3)で推定される。
$D_2=136.765-7.689Ψ+0.133Ψ^2\\ \hspace{ 40pt } -1.307\ln L+0.144T_F+0.285{T_F}^2 \tag{3}$
ここでΨは緯度(°N),Lは海岸からの距離(km),TFは1, 2, 3 月の平均気温の平年値(℃)である。なお,海岸沿いの地点の場合,Lには1kmを適用する。
なぜ海岸沿いなのに1kmを適用するのかというと,式(3)のlnLは自然対数logeLを表しますから,Lが1未満だとlnLの値は急激に$-∞$に向かい,現実的でないからだと思われます.さて,式(1)を簡単にすると,$$\exp \left \{ \frac{9500(t-288.2)}{288.2t} \right \}$$
式(2)に定数を代入し,$T_{ij}$をtで表すと, $$\exp \left \{ \frac{8420(t-288.2)}{288.2t} \right \}$$となります.分子の係数が,式(1)は9.5×103=9500,式(2)は70000/8.314≒8420なので少し異なりますね.

この式で休眠打破(起算日)後の1日当たりの生育量を求め,積算して23.8になった日が開花日になります.極端な例でいうと,起算後の毎日の平均気温がずっと15℃だったら23.8日後に開花するということになります.この23.8という値は大量の過去のデータをもとに算出されたものだそうです.

この番組の最後に,勝負に負けた方からの面白いコメントがありました.「桜の気持ちもありますからね」

[Reference]
自発休眠期の気温を考慮したソメイヨシノの開花日の簡便な推定法
青野靖之・村上なつき(2017年)
さくら開花予想方法について
気象庁
桜の開花予想、国が認めた“魔法の公式”
https://withnews.jp/article/f0180319001qq000000000000000W08e10701qq000016960A

Saturday, 10 March 2018

小説 人魚姫の椅子

森 晶麿 著 2016年 早川書房

小説を書くのが好きな高校生海野杏(あん)と,そのクラスメイトで椅子職人を目指す五十鈴彗斗(すいと)は毎日少しだけ話をする仲.ある日,2人の同級生で杏の親友である若槻翠(みどり)の失踪事件が起こり,驚くべき真相が明かされていくという話です.

小数点以下切り上げ
彼自身は(練習を)三回に一回はサボっている。が、それを指摘すると「俺は毎回来とる」と主張する。小数点以下はすべて繰り上げてしまうタイプなのだ。
天井関数 (www.mathwords.com)
「繰り上げ」というのは一度決まった順位を後になって上げることをいうので,ここでの正しい表現は「小数点以下はすべて切り上げてしまう」ですね.「3回に2回は出席している」ということなので,2/3=0.6666...となり,小数第3位を切り上げれば0.67=67%になりますが,小数点以下を切り上げると1,すなわち出席率100%となって「俺は毎回来とる」という理屈になるのでしょう.

ところで,小数点以下を切り上げる関数を天井関数(ceiling function)といい,$y=\lceil x\rceil$と表します.例えば$\lceil 1.3\rceil=2$,$\lceil \frac{2}{3}\rceil=1$,$\lceil -0.8\rceil=0$となるので,右図のような階段状のグラフになります.各線分の右端の点は含まれ,左端の点は含まれません.

床関数 (www.mathwords.com)
これに対し,小数点以下を切り捨てる関数は床関数(floor function)といい,$y=\lfloor x\rfloor$と表しますが,日本の高校数学の教科書ではガウスの記号といって$y=[x]$と表し,「xを超えない最大の整数」という説明になっています.例えば$\lfloor 1.3\rfloor=1$,$\lfloor \frac{2}{3}\rfloor=0$,$\lfloor -0.8\rfloor=-1$となるので,これも右図のような階段状のグラフになりますが,各線分の左端の点は含まれ,右端の点は含まれません.

このように端数の処理をすることを「丸める(round)」ともいいます.小数点以下を四捨五入(round half up)する関数を丸め関数と呼ぶ場合もありますが,一般に「丸める」というと天井関数や床関数も含み,さらに異なる位の四捨五入もあるうえ,他にも「五捨五超入」や「偶数丸め」などいくつかの方法が含まれます.

ベクトル
波の音が変わったのだ。波の音は変わりやすい。水と水のベクトルの違いが生む無益な争いの結果、潮の流れが微かに変わるタイミングなのか、それとも遠くで巨大なシャチが跳ねたせいなのか。
ベクトルといえば向きと大きさのある量なので,一般の文章でベクトルを「方向」や「進路」という意味だけに使われているときは少し違和感を感じます.しかし,ここでは水の流れを方向も強さもあるものとして扱っているので,上の表現は適切だと思います.

数学の時間
――杏ちゃん、明日は数学のある日やね。寝たらあかんよ。
笑った顔でそう言ったはずが、翠の母親は泣きだしていた。
きっと、(失踪した)翠が家で、わたしが数学の時間になると居眠りすることを面白おかしく話していたのだろう。
はい、と答えるのが精一杯だった。
「数学の授業は眠い」というのは定番なんでしょうか.このような話はよく聞きますね(笑).

[Reference]
Ceiling Function
http://www.mathwords.com/c/ceiling_function.htm
Rounding
https://en.wikipedia.org/wiki/Rounding

Saturday, 10 February 2018

歌詞 算数チャチャチャ

2016年 みんなのうた

平方根 sine cosine tangent

 

1973年にペギー葉山さんの歌で「みんなのうた」に初登場,その後何回か再放送され,2016年の放送では,ネットで「算数というには難しすぎる」と話題になった曲です.登場した問題を見てみましょう.

[1番]$$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$$いきなり算数というより数学ですね.これを解きましょうということなので,この式を計算して簡単な値にせよということでしょう.よく見ると分子が$\sqrt{2}$を共通因数として因数分解できるので,分母の有理化をしなくてもいいですから,日本の中3のレベルになります.答を「たったわずかの$\sqrt{2}$」と表現してるところが気になりますね.「たったわずか」かどうかは誰が決めるのでしょう.

[2番]$$\sin\theta=\cos\theta\times\sqrt{3}$$これを解きましょうということは,この方程式を満たす$\theta$の値を求めることなので,日本の高校数学Ⅰのレベルでは,$0\leqq\theta\lt180^{ \circ }$のとき,$\tan\theta=\sqrt{3}$より$\theta=60^{ \circ }$と答えます.ところが動画では,直角三角形の斜辺の長さを求めて,$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を答としているのが気になります.しかも,$\sin\theta$は分数で求めているのに,$\cos\theta$は分数で表示しながら歌詞では小数で答えているところがまた気になりますね.

[3番]$$\eta=\cos{\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}$$これをかけということなのでグラフでしょう.これは日本の高校数学Ⅱの範囲です.まず気になったのが,"$y=$"ではなく"$\eta=$"となっていることです.日本の高校数学の教科書では独立変数にギリシャ文字$\theta$を使っていても従属変数はyを使っています.この動画の数式の作者はギリシャ文字で合わせるために,第2の未知数としてよく使われる$\eta$(イータ)を使ったのでしょう.実際,y=f(x)をη=f(ξ),f(x,y)をf(ξ,η),(x,y,t)を(ξ,η,τ)と表す数学書があります(ξはクシー,τはタウと読みます).

またもう一つ気になったのが,歌詞の意味です.
♪ θプラスの2分のπ そのコサインをかけ ♪
「コサインをかけ」なんて言い方はあまりしませんが,その後の展開から考えると,この方程式が表すグラフを書けということみたいです.
♪ コサインθのグラフが 1,0,マイナ(ス)1 ♪
♪ θプラスの2分のπ 2分のπずれる ♪
♪ 0マイナス1 0プラス1で θ平行さ ♪ 
この1行目と3行目が分かりにくいですが,これは次の意味じゃないかと思います.

$\eta=\cos\theta$のグラフは点(0,1), (π/2, 0), (π, -1)を通る.それが負の方向に2分のπずれる.するとずれたあとの$\eta=\cos{\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}$のグラフは点(0, 0), (π/2, -1), (π, 0), (3π/2, 1)を通る.θ軸方向への平行移動さ.

確かに算数(小学校まで)というよりは数学(中学以上)ですね.あと細かいことをひとつ.間奏は「パッパッパーヤ パッパッパパーヤ」を繰り返すのですが,字幕は「パッパッパーヤ パッパパッパパーヤ」になっていました.これも大変気になりました(笑).

Tuesday, 30 January 2018

漫画 理系が恋に落ちたので証明してみた。

山本アリフレッド ほるぷ出版 (2016年)

帰無仮説 同じ誕生日の確率 素数の無限性 最適化問題 ハノイの塔 リーマン予想 フィボナッチ数 フェルマーの最終定理 

理系大学院生の雪村心夜と氷室菖蒲が,お互いを好きなのかどうかをいろいろな実験を通して考察していくという話で,数学や理科の用語がたくさん出てきます.

[証明2] 理系が恋に落ちたので心拍数を測ってみた。

本編の後に「リケクマのなげやり理ア充用語解説コーナー」といいうのがあり,帰無仮説について分かり易く解説しています.
「カラスは黒い」を否定するような,ありえねー仮説を立ててみるクマ.「カラスは黒かレインボーの半々」とかクマ.これが帰無仮説クマ.  
この時,100匹連続でカラスが黒い確率は,隕石が頭の上を1兆回落ちてくるより小さいクマ.だからこの帰無仮説はありえねークマ.  
なら「カラスは黒が90%,他は蛍光ピンク」という帰無仮説はどうクマ? これでも,100匹連続でカラスが黒い確率は0.00265%くらいクマ.やっぱありえねークマ.  
「カラスは97.1%が黒」あたりから,確率が5%以上になり,やっとギリありえる感じになるクマ.よって「全てのカラスは黒い」とは言えなくても「97.1%以上のカラスは黒い」ということは示せるクマ.
以上の値を検証してみましょう.

「隕石が頭の上に落ちてくる確率」をネットで調べたら,160万分の1とか100憶分の1とか極端に異なる値が見つかりました.高い方の160万分の1としてもこれが同じ頭の上に1兆回落ちてくる確率は,160万分の1の1兆乗なので,限りなく0に近くなります.

100匹連続で黒いカラスになる確率は,
・黒とレインボーが半々のとき $0.5^{100}=7.8886 \times 10^{-31}$(極端に小さいですが,隕石が頭の上に1兆回落ちてくる確率より高いのではないでしょうか)
・黒が90%のとき $0.9^{100}=2.6561 \times 10^{-5}$(0.00265%くらい.上記の通り)
・黒が97.1%のとき $0.971^{100}=5.27134 \times 10^{-2}$(確率が5%以上.上記の通り)

「やっとギリありえる感じ」を「確率が5%以上」としていますが,これを有意水準といい,1%とする場合もあります.

[証明3] 理系が恋に落ちたのを思い出してみた。
奏(かなで)「ハノイの塔の問題.漸化式で解いてみたんですけど,みてくれませんか.」
先生「そうです.$2^n-1$.よく解けましたね,奏君.ここからが面白いんですよ.伝説の通り,n=64だとすると,$2^{64}-1$です.これを年数にすると500億年近く.終わるころには世界が滅亡して…」
ハノイの塔は,3本の棒のうちの1本に穴の開いたn個の円板が上から小さい順に通しておいてあり,全部をあるルールのもとで他の棒に移すというゲームで,円板64枚のときにすべてを移し替えると世界は終わるというインドの伝説があります.このブログでは,ドラマ「スペシャリスト3」映画「猿の惑星:創世記(ジェネシス)」に登場しました.

円板がn枚の時,移すのに必要な手数を$a_n$とすると,漸化式は$a_{n+1}=2a_n+1$となり,これを解いて$a_n=2^n-1$になります.

伝説の式を実際に計算してみると,1年は60×60×24×365秒ですから,$$\frac{2^{64}-1}{60\times60\times24\times365}\approx5.85×10^{11}=5850億$$なので,この先生の台詞「年数にすると500億年近く」は間違っているようです.

[番外編] 理系は誕生日に運命を感じない。

ある人数の中に同じ誕生日の人がいる確率は,小説「数学的にありえない」ドラマ「数学女子学園第7話」に登場しました.n人の中で少なくとも2人以上が同じ誕生日になる確率は、全員が異なる誕生日になる確率を1から引きます.全員が異なる誕生日になる確率は$$\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot\frac{362}{365}\cdots\frac{365-(n-1)}{365}=\frac{{}_{364}\mathrm{P}_{n-1}}{365^{n-1}}=\frac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^{n}}$$なので,$$1-\frac{{}_{365}\mathrm{P}_{n}}{365^{n}}$$という式で求められます.

これはグラフ電卓または関数電卓で上の式にn=30を代入しても計算できますが,なんでも計算してくれるサイト WolframAlpha で birthday paradox 30 と入力すれば,at least 2 the same 0.7063 と答えてくれます(WolframAlphaはすごい!).というわけで,30人の中に同じ誕生日の者が少なくとも2人以上いる確率70.6%が確認できました.この問題は,人数が少なくても驚くほど高い確率になるので,birthday paradoxと呼ばれています.
雪村心夜「30人の中に同じ誕生日の2人がいる確率は70.6%だ.」
とありましたが,正確には「少なくとも2人以上」ですね.

[証明19] 理系が恋に落ちたので好きの証拠を集めてみた。
雪村心夜「安心しろ.素数を数えているうちに終わる」
氷室菖蒲「だめよ.素数は無限に存在しているもの」
素数が無限に存在することの証明は背理法で簡単に証明できます.高校数学の教科書に掲載されている$\sqrt{2}$が無理数であることの証明よりもずっと簡単です.

有限であると仮定してすべての素数を$p_1, \ p_2, \ \cdot \cdot \cdot  \ , \ p_n$とします.つまり$p_n$が最大の素数です.それらすべての積に1を加えた数は割り切れないので,さらに大きな素数になってしまい,$p_n$が最大の素数であることに矛盾します.よって,素数は無限に存在することがいえます.

因みに The Largest Known Primes によると,2018年1月までに発見されている最も大きな素数は$2^{77232917}-1$で,$\log_{10}2^{77232917}=23249425$桁まで来ています.

Thursday, 4 January 2018

アニメ クロスロード

2014年 Z会 短編アニメCM

最大最小 余弦定理 微分

地方の離島に住んでいて東京の大学への進学を目指す女子高生と,東京で大学受験勉強中の男子高生が同じ通信教育を受けていて,それが縁と言えるかどうか分かりませんが最後には出会うというストーリーのCMで,あの大ヒット映画「君の名は。」の原点にもなった作品です。

全く見知らぬどうしですが,添削担当者が2人の共通点を見つけています.
添削担当者A「あれ?」
添削担当者B「どうしました?」
添削担当者A「いやあ,単純なミスも証明の組み立ても,この子たちよく似ててねえ.」
その解答と添削の一部が見えたので,そこから問題を推測してみました.


[推測される問題]

2点A(2,0)とB(6,0)を通る円がy軸の正の部分と共有点Rを持つとき,∠ARBの最大値を求めよ.

[解答例]

共有点がR1,R2の2つあっても,同じ弧の円周角なので,∠AR1B=∠AR2B=∠ARBとして考えます.
R(0,y)とすると,$AR=\sqrt{y^2+4}$,$\ BR=\sqrt{y^2+36}$,$AB=4$だから余弦定理より
\begin{align}
\cos{\angle ARB}&=\frac{(y^2+4)+(y^2+36)-4^2}{2\sqrt{y^2+4}\sqrt{y^2+36}}\\
&=\frac{2y^2+24}{2\sqrt{(y^2+4)(y^2+36)}}\\
&=\frac{y^2+12}{\sqrt{(y^2+4)(y^2+36)}}
\end{align}この式をf(y)としてyで微分して解く方法が解答の一部に見られました.一応計算してみましたが,これは計算がかなり大変です.$$f'(y)=\frac{16y(y+2\sqrt{3})(y-2\sqrt{3})}{\sqrt{y^2+4}\sqrt{y^2+36}(y^2+4)(y^2+36)}$$ここまで正しく計算できれば,0と$\pm2\sqrt{3}$で極値を持つことが分かります.

添削では$y^2+12=t$とおいて解いています.
\begin{align}
\cos{\angle ARB}&=\frac{t}{\sqrt{(t-8)(t+24)}}\\
&=\frac{t}{\sqrt{t^2+16t-192}}\\
&=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{t}-\frac{192}{t^2}}}
\end{align}さらに$\frac{1}{t}=s$とおくと,√の中は,$$-192s^2+16s+1=-192\left(s-\frac{1}{24}\right)^2+\frac{4}{3}$$従って,√の中は$s=\frac{1}{24}$のとき最大値$\frac{4}{3}$
すなわちt=24のとき,すなわち$y^2+12=24$のとき,すなわち$y=2\sqrt{3}$のとき,$\cos{\angle ARB}$の最小値は$\frac{\sqrt{3}}{2}$なので,∠ARBの最大値は30°になります.結局,共有点が1つのとき(接するとき)に角度が最大になることが分かりました.

(2018/1/7追記)
映った解答のシーンだけを見て問題を推測しましたが,上の2つ目の解答の直前にこんなシーンがあったことに気づきました.小問(1)(2)があったようです.

click to enlarge

[推測される問題]

2点A(2,0)とB(6,0)がある.
(1) この2点を通る円がy軸の正の部分と共有点を持つための条件を求めよ.
(2) 点Rがy軸上の正の部分にあるとき,∠ARBの最大値を求めよ.

[略解]

小問(1)

円の中心を(4,b)とすると,半径は$\sqrt{b^2+4}$なので,円の方程式は$$(x-4)^2+(y-b)^2=b^2+4 \tag{3}$$x=0を代入して,$$y^2-2by+12=0 \tag{4}$$D≧0より$$b^2-12 \geqq 0$$b>0より$$b\geqq2\sqrt{3}$$
小問(2)

[別解1]  (1)の結果を使う解答
(1)より,円がy軸と接するときの接点$(0, 2\sqrt{3})$をRとすると∠ARB=30°.円がy軸と2点で交わるときの交点の1つをR'とすると,Rは円の内側にあるので,∠AR'B<∠ARB
よって,∠ARB=30°が最大.

[別解2]  (1)の結果を使わずベクトルの内積を使う解答
R=(0,y)とすると,$\overrightarrow{RA}=(2,-y)$,$\overrightarrow{RB}=(6,-y)$なので,$$\cos{\angle ARB}=\frac{y^2+12}{\sqrt{y^2+4}\sqrt{y^2+36}}$$この続きは上と同様.

[別解3]  (1)の結果を使わず正接の加法定理を使う解答
∠BRO=$\alpha$,∠ARO=$\beta$とすると,$\tan\alpha=\frac{6}{y}$,$\tan\beta=\frac{2}{y}$なので,$$\begin{align}
\tan{\angle ARB}&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\
&=\frac{\frac{6}{y}-\frac{2}{y}}{1+\frac{6}{y}\cdot\frac{2}{y}}\\
&=\frac{4y}{y^2+12}\\
\end{align}$$これをyで微分すると,y=$2\sqrt{3}$で極値になることが分かります.こちらの方が微分の計算は簡単なんですが,次のようにするともっと楽に解けます.$$\frac{4y}{y^2+12}=\frac{4}{y+\frac{12}{y}}$$とすれば,分母は相加相乗平均の関係より,$$y+\frac{12}{y}\geqq2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$$なので,$$\tan{\angle ARB}=\frac{4y}{y^2+12}\leqq\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$よって,∠ARBの最大値は30°になります.

Sunday, 31 December 2017

小説 ノーゲーム・ノーライフ 1

榎宮祐著 2012年 KADOKAWA発行

確率

ゲーマーの兄妹,空(そら)と白(しろ)が,すべてがゲームで決まるという異世界で奮闘するというライトノベルです.  
「ロ、ロイヤルストレートフラッシュだぁーーッ!?」
最強の手札を,おくびに出すこともなく揃えた青年に、男が立ち上がり吠える。
「て、てめえ、イカサマじゃねぇかっ!?」
空「えーおいおい失敬な……何を根拠に?」
ヘラヘラと、椅子を引いて立ち上がる青年に、なおも追いすがる男。
「ロイヤルストレートフラッシュなんて、65万分の1の確率、そうそう出るかっ!」
空「今日がたまたまその65万回目のアタリ日だったんだろ、運が悪かったね、おっさん」
ロイヤルストレートフラッシュは,カードゲームのポーカーにおける最も強いハンド(役)で,同じスート(スペード,ハート,ダイヤ,クラブ)の絵札A, 10, J, Q, Kを揃えるものです.1回のディール(カードを配る事)でこの役ができる確率を確認しましょう.52枚から特定の5枚が選ばれる確率は1/52C5であり,スートは4種類あるのでこの値を4倍すると,(1/52C5)×4=(1/2598960)×4=1/649740となり,約65万分の1ということになります.
空「普通のジャンケンじゃあない――いいか? 俺はパーしか出さない」
ステファニー「は?」
空「俺がパー以外を出したら『俺の負け』……だが、パー以外の手を出しておまえに勝ったら、お前も負けだからこの場合『引き分け』――もちろん、パー以外を出してあいこになったら『俺の負け』だ」
(中略)
彼がパー以外、負けというなら、私が出す手の勝率は――
グー: 2勝1敗。チョキ: 2勝1分。 パー: 1勝2分――となる。
さらっと読んだだけではこの勝率は分かりにくかったので下の表をつくってみました.引き分け狙いの空に対して,ステファニーは考えに考えたあげくチョキを出しましたが,空はグーを出したので結局引き分けになってしまいました.
普通のジャンケンではなく,新たにルールを考える.正解のない問いがここにもあると思いました.


Saturday, 2 December 2017

映画 gifted/ギフテッド

このブログの100作品目です!

ガウス積分

監督: Marc Webb
脚本: Tom Flynn
公開:2017年

亡き姉の子で数学の才能を持つメアリーを育てているフランクは,母から彼女に英才教育を受けさせるよう勧められますが,彼女を普通に育てようとして奮闘する話です.

大学の講義室の黒板に次の内容が書かれてあり,メアリーが間違いを指摘します.
Problem
Show that $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{x^2/2\sigma^2}dx=\sqrt{2\pi}|\sigma|$
Hint: First show that
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x^2+y^2)/2\sigma^2}dxdy=2\pi\sigma^2$ 
メアリー「You forgot the negative sign on the exponent.(指数に-をつけるの忘れてる)」
シーモア「Mary, why didn't you say anything?(メアリー,どうして言わなかったの?)」
メアリー「Frank says I'm not supposed to correct older people. Nobody likes a smart-ass.(フランクが年上の間違いを正すなって.嫌われるから)」
最後の"smart-ass”は字幕にありませんでした.直訳すると「賢い尻」ですが,「知ったかぶり」というような意味です.

メアリーは最初の式の $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{x^2/2\sigma^2 }dx$ に-を付け足して $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx$ に訂正していましたが,その下の式の中の$(x^2+y^2)$の前にも-が必要です.

ガウス積分
この証明すべき等式で$\sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき,すなわち$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$をガウス積分といい,関数$y=e^{-x^2}$とx軸とで挟まれる部分の面積が$\sqrt{\pi}$=1.77245であることを示しています.この証明は他のサイトでも見つかりますが,この映画に出てきた$\sigma$のついたままの等式の導出を確認してみましょう.

z=exp(-(x^2+y^2))
求める積分の値を $I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx$ とおき,$I=\sqrt{2\pi}|\sigma|$を示します.
\begin{align}
I^2&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2/2\sigma^2}dy\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}dxdy
\end{align} このとき,$I^2$は右上図の盛り上がった曲面とxy平面で挟まれた部分の体積を表しています.ここで $x=r\cos\theta$,$y=r\sin\theta$ と置換すると,\begin{align}
I^2&=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2/2\sigma^2}rd\theta dr\\
&=2\pi\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-r^2/2\sigma^2}rdr\\
&=2\pi \left[ -\sigma^2 e^{-r^2/2\sigma^2} \right] _0^{\infty}\\
&=2\pi\sigma^2
\end{align}よって,この等式を示すことができました.$$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx$=\sqrt{2\pi}|\sigma|$$ところでこの式は,平均0で標準偏差$\sigma$の正規分布(ガウス分布)の$\sqrt{2\pi}|\sigma|$倍を表す式になっています.これを,平均μ,標準偏差σの正規分布を表す式に変形してみましょう.

平均0で標準偏差1の標準正規分布
まず,確率密度関数の-∞から∞までの積分は1にならなければいけないので,両辺を$\sqrt{2\pi}|\sigma|$で割ります.$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}|\sigma|}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx=1$$これを平均μになるように平行移動すると,$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}|\sigma|}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}dx=1$$となり,平均μで標準偏差σの正規分布を表す式に変形できました.

Wednesday, 15 November 2017

ドラマ 相棒 season16 第4話

テレビ朝日 2017/11/8放送

Φ オイラーの関数 zero slash 漸化式 二重積分 確率

数学の才能を持つコンビニ店員の若い男(健次郎)が,大学入試問題漏洩に関与させられたあげく殺されてしまった事件の謎を,杉下右京が解き明かすという話です.

漸化式の解法

健次郎がニセ学生となって講義を聴き,終了後,教授に質問をする場面です.
「この証明,別の方法もあると思うんです.僕ちょっと考えたんですけど,まずですね,両辺を$(-1)^{n+1}$で割るんです.そうするとこれ,ただの等差数列になるんです.」 
この場面では数学に関する台詞はこれだけでした.別解を考えついて正しいかどうかを確認しに来たものと思われます.これは漸化式の解法のひとつです.注意深く録画したビデオを見てみると,板書には,漸化式から一般項を推測し,それを数学的帰納法で証明する解答が書かれてありました.その板書の一部は次の通りです.
$a_1=1, \space \space a_{n+1}=-a_n+(-1)^n$ 
$a_1=1, \space \space a_2=-2, \space \space a_3=3, \space \space \cdot \cdot \cdot \cdot, \space \space a_n=n \cdot (-1)^{n+1}$
実際にこの漸化式の両辺を$(-1)^{n+1}$で割ると,$\frac{a_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=\frac{a_n}{(-1)^{n}}-1$となります.すると数列$\lbrace{\frac{a_n}{(-1)^{n}}}\rbrace$は,初項${\frac{a_1}{(-1)}}=-a_1=-1$,公差$-1$の等差数列となり,$\frac{a_n}{(-1)^{n}}=-1+(n-1)\cdot(-1)=-n$なので,一般項は$a_n=-n\cdot(-1)^n=n\cdot(-1)^{n+1}$と分かります.

受験生にはよく知られた解法ですが,仮に未習だったとしても,教授が「驚きました.彼は,我々には考えつかないユニークな発想を持っていたんです.」と言っていたのは少しオーバーな気がしました.

積分順序の交換

健次郎が二重積分の問題を解くシーンがありました.
$I=\displaystyle \int_0^{2a} dx \displaystyle \int_{\sqrt{2ax-x^2}}^{\sqrt{4ax}}f(x,y)dy$ 
の積分順序を交換せよ
これは,$I=\displaystyle \int\int_D f(x,y)dydx$(Dは右図の放物線と円と直線x=2aで囲まれた領域)とも書けます.先にyで積分してx軸に垂直な切り口を求め,それをxで積分して,領域Dと曲面z=f(x,y)に挟まれた部分の体積を求める式ですが,積分順序の交換だけなので$f(x,y)$は何でもOKです.

この手順を交換するのですから,先にxで積分してy軸に垂直な切り口を求め,それをyで積分する式をつくるとこのようになります.
$\displaystyle \int_0^a\int_\frac{y^2}{4a}^{a-\sqrt{a^2-y^2}}f(x,y) dx dy+\displaystyle \int_0^a\int_{a+\sqrt{a^2-y^2}}^{2a} f(x,y) dx dy+\displaystyle \int_a^{2\sqrt{2}a}\int_\frac{y^2}{4a}^{2a}f(x,y) dx dy$

道順の確率

「選択肢に正解がなかった」という台詞が何度もありました.どんな問題だったのでしょう.録画したビデオからその問題が分かりました.
[問題4] xy平面上の点Aが,原点(0, 0)から点(n, n)(nは3以上の自然数)まで以下のルールで動く.
1. 点(k, l)にあり,k<n,l<nならば,点(k+1, l)か点(k, l+1)に1/2の確率で動く.
2. 点(n, l)(l<n)なら点(n, l+1)へ,点(k, n)(k<n)なら点(k+1, n)に確率1で動く.
このとき点Aが(n, 2)を通過する確率P(n, 2)は次のうちどれか.
①$(n+1)(\frac{1}{2})^{n+1}$ ②$(n^2+1)(\frac{1}{2})^{n+2}$ ③$(n^2+5n)(\frac{1}{2})^{n+3}$ ④$\frac{1}{(n^2-4n+1)^n}$ ⑤$\frac{n}{2^n+1}$
調べてみたらこの出典は,東工大入試問題の1987年第5問の改題と分かりました.元の問題には選択肢がないので難しいですが,この改題なら,n=3の時の解,すなわちP(3, 2)を求め,選択肢にn=3を代入してこの値になるものを選べば良いわけです.(3, 3)へ行くには(3, 2)または(2, 3)を通るしかないので,対称性よりP(3, 2)=P(2, 3)=1/2となります.ところがn=3を選択肢①~⑤のどれに代入しても1/2になりません.なので「選択肢に正解がなかった」というわけです.

[Reference]
Math-Station 東工大入試研究
http://kubojie.net/titech.html

Sunday, 5 November 2017

NEWS 太陽系外からの彗星発見か 国際天文学連合

2017/10/26 日本経済新聞 他

双曲線 楕円
【ワシントン=共同】国際天文学連合小惑星センターは25日、太陽系外から飛んできた可能性がある彗星(すいせい)を発見したと発表した。確認されれば、恒星間の軌道を飛行する初の「恒星間彗星」となる。
 彗星は、米ハワイ大の望遠鏡が発見した「C/2017U1」。現在は地球の軌道と火星の軌道の間を飛んでいるとみられる。世界各地の天文台が30回以上観測した結果、太陽系の外からやってきた可能性があることが分かった。
 同センターは「大きな双曲線軌道を描いているようだ」としており、太陽に近づくのは1度きりで戻ってこないとみられる。オーストラリアのメディアは「太陽から25光年と比較的近くにある恒星、こと座のベガのある方向から来たようにみえる」と報じた。
 彗星は太陽の周りを回る楕円軌道を描いたり、惑星からの力を受けて太陽系外にはじき飛ばされたりするものがこれまで発見されている。
彗星や惑星は楕円軌道で,太陽はその楕円の持つ2つの焦点のひとつだと習ったので,彗星に双曲線軌道のものが存在するのは意外でした.楕円は「2点(焦点)からの距離の和が一定である点の軌跡」,双曲線は「2点(焦点)からの距離の差が一定である点の軌跡」です.いちばん上の図では軌道が急カーブしている少し内側に太陽があるので,そこが焦点ということになります.

まとめて二次曲線と呼ばれる円,楕円,放物線,双曲線は,円錐を切断する方向を変えるとこれらの形の切り口が得られるので,円錐曲線とも呼ばれています.同じ仲間といえますが,かなり形は違いますね.円とどれだけ近い形か,かけ離れた形かを示す値eを離心率といい,円の離心率は0,楕円は0<e<1,放物線はe=1,双曲線は円からかけ離れた形をしているので1<eとなります.地球の軌道離心率は0.0167なので,ほとんど円に近いということが分かります.一方,あの周期75年といわれるハレー彗星の軌道離心率は0.967なので,かなり放物線に近い,細長い楕円ということができます.

双曲線軌道なら,右上の図でいえばこの彗星は遥か遠くからやってきて,太陽(焦点)の近くの頂点 (a, 0) で急カーブして方向を変え,また遥か彼方に去って行くというイメージです.もし仮に双曲線の式(標準形は$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$)が $x^2-y^2=1$ならa=b=1なので,頂点は(1, 0),焦点$(\sqrt {a^2+b^2}, 0)$は$(\sqrt {2}, 0)$になります.双曲線の最も易しい例は,中1で学習する反比例のグラフ$y=\frac {k}{x}$ですね.$y=\frac {1}{x}$のとき,頂点は(1, 1)ですから,この軌道なら太陽は$(\sqrt {2}, \sqrt {2})$という位置にあるということになります.

<余談1>回転軸に平行でない直線が回転すると,一葉双曲面ができます.兵庫県神戸市のポートタワーがそのようなつくりになっています.一度近くまで行って,確かめてみてください.

<余談2>私が小中高と育った兵庫県伊丹市の市章は双曲線に似ています.一度検索して見つけてみてください.

[Refference]
For the first time, astronomers are tracking a distant visitor streaking through our solar system
http://www.sciencemag.org/news/2017/10/first-time-astronomers-are-tracking-distant-visitor-streaking-through-our-solar-system
軌道離心率
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BB%8C%E9%81%93%E9%9B%A2%E5%BF%83%E7%8E%87

Wednesday, 18 October 2017

小説 ラメルノエリキサ

渡辺優 2016年 集英社

アシンメトリー

自分が傷つけられたら必ず復讐をするという女子高校生小峰りなの話です.
懐かしい。 駅からバスで15分ほど先にある、絶妙に不便な立地の図書館を前にして、私はまずそう感じた。小学生の時、遠足で訪れたことがある。それから中学の時にも一度、何かの行事で来ていたはずだ。質感の違う素材がモザイクのように組み合わされた、濃いグレイを基調とした建物。表のプレートによると、築52年にもなるそうだけれど、それにしては古めかしい感じはしない。正面ゲートからまっすぐ見据えると、ビルの建ち並ぶ街の中心から外れ、賛沢な土地の使い方をした3階建ての本館が、アシンメトリーな曲線を描いているのがわかる。
アシンメトリー(asymmetry)は非対称という意味なので,「アシンメトリーな曲線」とは対称でない曲線という意味です.アシンメトリーな部分のある建物の図書館を探してみたら,近いイメージなのがこの写真でした.この小説とは全く関係ありません(笑).発音記号はは æsímətri or eisímətri の2通りあります.ネイティブの発音ではアシリ(またはエイシリ)と聞こえます.

ここで数学の話が出てきたわけではないのですが,アシンメトリーは数学用語のひとつでもあるので少し見てみましょう.

[確率分布のグラフにおける対称性と非対称性]

左右対称なグラフといえば正規分布ですが,その峰が左右にずれた場合,アシンメトリーな曲線になります.分布の非対称性を示す指標を歪度(わいど skewness)といい,峰が右にずれて左が低い場合(J型)の歪度は負,左右対称であれば歪度は0,峰が左にずれて右が低い場合(L型)の歪度は正になります.

因みに,正規分布の場合,平均(mean),中央値(median),最頻値(mode)は同じ値になりますが,他の場合はそれぞれの値がずれていきます.正規分布から少しずれた非対称な分布では,平均と最頻値との差は平均と中央値との差の約3倍になることが知られていて,カール・ピアソンの経験則と呼ばれています.
    Mean–Mode≒3(Mean–Median)
    または 3Median≒2Mean+Mode

[二項関係における対称関係と非対称関係]

二項関係の最も簡単な例は2つの数の関係です.aからbへRという関係があるとき,aRbと表します.例えば3>2などの関係です.

「aからbへの関係が成り立つならば,bからaへの関係も成り立つ」という場合,対称関係といいます.すなわち,$$\ aRb\;\Rightarrow bRa$$例えばRが=という関係のとき,a=bならばb=aも成立するので対称になります.

「aからbへの関係が成り立つならば,bからaへの関係が成り立たない」という場合,非対称関係といいます.すなわち,$$\ aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)$$例えばRが>という関係のとき,a>bならばb>aは成立しないので非対称になります.

小説のタイトルの意味を言いたくてしょうがないのですが,ネタバレになるのでここでは控えておきます(笑).

[Reference]
Asymmetric relation
https://en.wikiedia.org/wiki/Asymmetric_relation
Sample Mean
http://mathworld.wolfram.com/SampleMean.html
二項関係
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82

Wednesday, 16 August 2017

小説 偏差値70の野球部 レベル3 守備理論編

松尾清貴 2012年 小学館文庫

中学時代にピッチャーで全国大会準優勝した新(あらた)真之介(しんのすけ)が,なぜか東大合格者数全国1位の超進学校に入学し,甲子園を目指すという話です.

「角運動量保存則を利用した等速円運動打法」を考案し,「強いのは野球のセオリーを作っているチームだ」という才女のヒカルさんが,打球の落下地点を知るための方法として,重力,摩擦抗力,揚力,粘性率,レイノルズ数などを考慮した流体力学の理論を話しました.
ヒカルさん「変数は,打球の水平面に対しての角度と速度と角速度.一応,抗力係数は0.6に設定してる.レイノルズ数がはっきりすればいいんだけど,信頼のおける実験結果が得られなかったから.計算上は105程度になるから,どっちみちナビエ-ストークスの方程式は使えない.(後略)」
ヒカルさんが画面を覗き込むようにしながらマウスをクリックすると,新たに浮き出たドットが,さらに複数の相対的にきれいな二次関数を描き出した.頂点を挟んで右側,つまり下り曲線が上り曲線よりも急角度だった.
この数式を期待したのですが,このままでは複雑すぎるということで,その後,以下のように外的な力を無視し,単なる二次関数でボールの到達距離と時間を予測していました.話の流れからすると残念です.しかもその中の数式に1か所ミスがありました(読んだのは第3刷なので,その後訂正されているかも知れません).
ヒカルさん「初速度v0,水平面との角度θの放物運動する物体は,水平方向x鉛直方向yの二次元座標において,x=v0cosθ・t,y=v0sinθ・t-gt2で表されるよね.ボールが到達する地点ではy=0だから,まずy式にそれを代入する.到達時間t2はもちろん0ではないから,式t2=2v0sinθ/gが得られるでしょ.水平到達距離をx軸上のD点として,先に求めたt解をx式に代入する.だから,具体的には,D=v0cosθ・t2を,v0cosθ・2v0sinθ/gに変換すると,これはv02sin2θ/gになるね.」
式中のgは重力加速度9.8m/秒2,tは時間(秒)を表します.はじめのy=v0sinθ・t-gt2は,正しくは$$y=v_0sin\theta \cdot t-\frac{1}{2}gt^2\tag{1}$$ですね.この場合,速度は(dx/dt, dy/dt)=(v0cosθ, v0sinθ-gt)なので,位置はこれをtで積分して,(x, y)=(v0cosθ・t, v0sinθ・t-1/2gt2)になります(整式の積分なので高校数学Ⅱの知識でOK).この(x, y)からtを消去すると次式になります.$$y=tan\theta \cdot x-\frac{g}{2v_0^2cos^2\theta}\cdot x^2\tag{2}$$例え空気抵抗などを無視したとしても,相手がボールを打ってフライを上げた瞬間に,この計算をして外野手に知らせるなんて,超人的な能力ですね(笑).

初速度や打出角度が変わればどうなるかをGeoGebraで作ってみました.青のグラフは横軸が時間tで式(1)を,紫のグラフは横軸が水平飛行距離xで式(2)を表しています.

なお,空気抵抗を加味した放物運動は,映画「ST赤と白の捜査ファイル」ですでに紹介しています.

Friday, 11 August 2017

随筆 墨汁一滴

正岡子規(1867-1902)
岩波文庫 岩波書店 1927年12月第1刷 1998年1月第35刷

正岡子規は「柿くへば鐘が鳴るなり法隆寺」という俳句で有名です.36才で亡くなる前の年の1901年1月から7月まで、正岡子規が記者として勤めていた当時の新聞『日本』に連載されていた随筆の一説ですが,この文章は東京大学予備門(のちの第一高等学校、戦後は東京大学教養学部)に入学した18才の頃を回顧しています.
しかし余の最も困つたのは英語の科でなくて数学の科であつた。この時数学の先生は隈本(有尚)先生であつて数学の時間には英語より外の語は使はれぬといふ制規であつた。数学の説明を英語でやる位の事は格別むつかしい事でもないのであるが余にはそれが非常にむつかしい。つまり数学と英語と二つの敵を一時に引き受けたからたまらない、とうとう学年試験の結果幾何学の点が足らないで落第した。(六月十四日) 
余が落第したのは幾何学に落第したといふよりもむしろ英語に落第したといふ方が適当であらう。それは幾何学の初にあるコンヴアース、オツポジトなどといふ事を英語で言ふのが余には出来なんだのでそのほか二行三行のセンテンスは暗記する事も容易でなかつた位に英語が分らなかつた。落第してからは二度目の復習であるから初のやうにない、よほど分りやすい。コンヴアースやオツポジトを英語でしやべる位は無造作に出来るやうになつたが、惜しい事にはこの時の先生はもう隈本先生ではなく、日本語づくめの平凡な先生であつた。しかしこの落第のために幾何学の初歩が心に会得せられ、従つてこの幾何学の初歩に非常に趣味を感ずるやうになり、それにつづいては、数学は非常に下手でかつ無知識であるけれど試験さへなくば理論を聞くのも面白いであらうといふ考を今に持つて居る。これは隈本先生の御蔭かも知れない。(六月十五日)
幾何学でコンヴアース(converse),オツポジト(opposite)が登場するものを推測してみましょう.Converseは,条件文P⇒Q(PならばQ)に対してその逆,Q⇒P(QならばP)を意味します.Oppositeは「向かい側の」とか「反対側の」という意味でよく使われます.

■平行四辺形の性質「平行四辺形の2組の対角(opposite angles)は等しい」の逆(converse)は「2組の対角(opposite angles)が等しい四角形は平行四辺形である」

■平行四辺形の性質「平行四辺形の2組の対辺(opposite sides)は等しい」の逆(converse)は「2組の対辺(opposite sides)が等しい四角形は平行四辺形である」

■三平方の定理「直角三角形の斜辺の2乗は他の2辺の2乗の和に等しい」の逆(converse)は「三角形で,ひとつの辺の2乗と他の辺の2乗の和が等しいとき,最初の辺の対角(opposite angle)は直角になる」

■二等辺三角形の定理「二等辺三角形の底角は等しい」の逆(converse)は「三角形の2角が等しいとき,それらの対辺(opposite sides)も等しい」

■三角形の辺と角の大小「三角形の2辺が異なるとき,長い方の辺の対角(opposite angle)は短い方の辺の対角より大きい」の逆(converse)は「三角形の2角が異なるとき,大きい方の角の対辺(opposite side)は小さい方の角の対辺より長い」

以上はいずれも今の日本の中学程度の内容ですが,もともとユークリッドの「原論」に載っていたものです.正岡子規が存在していた明治時代初期の頃,幾何学はユークリッドの「原論」が主に学習されていたようなので,その中の初歩といえば,このような内容だったと思われます.

[Reference]
明治前期の日本において教えられ,学ばれた幾何(数学史の研究)

Friday, 28 July 2017

映画 Hidden Figures (邦題「ドリーム」)本編

2016年 米国 Directed by Theodore Melfi, Distributed by 20th Century Fox

Euler's Method

日本では2017年9月公開予定の映画です.主役のキャサリン・ジョンソンは、宇宙船を軌道から戻すための計算にオイラーの方法(Euler's Method)を使います.これは常微分方程式 ordinary differential equations (ODEs)の厳密解(解析解)が求められないときに近似解(数値解)を求める方法の一つです.

解こうとする微分方程式が $y'=f(t, y(t))$,初期値が$y(t_0)=y_0$のとき,まずtを幅hで区切って$t_0=0, t_1=h, t_2=2h, t_3=3h,$ …とし,最初はt=0における接線で近似,その後は,$y_{n+1}=y_n+h・f(t_n,y_n)$として,2点$(t_n, y_n)$, $(t_{n+1},y_{n+1})$を結ぶ直線で近似していくという方法です.

簡単な例として,厳密解(解析解)が$y=e^t$になる微分方程式$y'=y$を見てみましょう.初期値は$y_0=1$になります.この例では$f(t_n,y_n)=y_n$なので,$y_{n+1}=y_n+h・y_n$として$(t_n,y_n)$を次々に求めて行き,折れ線グラフを作っていくというイメージです.

$y_1=y_0+h\cdot y_0=1+h\cdot 1=1+h$
$y_2=y_1+h\cdot y_1=(1+h)+h\cdot(1+h)=(1+h)^2$
$y_3+h\cdot y_3=(1+h)^2+h\cdot(1+h)^2=(1+h)^3$

例えば,h=0.5なら,$y_1=1.5$,$y_2=2.25$,$y_3=3.375$,$y_4=5.0625$,…となって,右図のようになります.
(オレンジ色がEuler's methodによる近似解,青色が$y=e^x$)

hの値(分割の幅)が小さいほどより良い近似になりますが,その分,計算は煩雑になります.hの値を変えたらどうなるかわかるものをGeoGebraで作ってみましたので,試してみてください.

因みにEuler's Methodは,世界中最も多くの国で普及している高校カリキュラム「国際バカロレアディプロマプログラム(IB Diploma Program)」のMathematics Higher Level(主に理系向き)のOption科目"Calculus"に登場します。

余談ですが,日本語の方のWikipediaで,1か所間違いを見つけたので訂正しておきました.これでWikipediaの記事を訂正したのは4~5回目ぐらいになのですが,以前に訂正した内容を記録してなくて思い出せないので,今後履歴が残るように今回初めてWikipediaにアカウント登録してみました.

<reference>
Euler method
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method
オイラー法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%B3%95

Saturday, 22 July 2017

漫画 Q.E.D. 証明終了

原作 加藤元浩 講談社

以前から数学の話題が頻繁に登場する漫画であることを知っていたのに,なぜかここに書かなかったという作品のひとつです.久しぶりに第1巻を含むいくつかを読んで,ようやく書く気になりました.

理工系大学の世界最高峰である米国のMIT(マサチューセッツ工科大学)を15歳で卒業したが,普通の高校生活を体験したいと,日本の高校に入学してきた燈馬想が,同級生の体育会系水原可奈の協力のもと,次々と難事件を解決していくという漫画です.Q.E.D.はラテン語でQuod Erat Demonstrandum.タイトル通り「証明終了」という意味です.

第1巻/第2話「銀の瞳」

数学の苦手な水原可奈に燈馬想が数学を教える場面です.
燈馬想「だから交点が1になる場合を考えて判別式が0になる値を求めるんです.」
水原可奈「じぇんじぇんわかりましぇん」
問題が掲載されていなかったので推理してみましょう.このころはまだ2人とも高校1年生なので,高校数学Ⅰの問題なら,放物線と直線の共有点が1つ,すなわち接するときの式中の定数を求める問題でしょう.そうだとすれば,「交点が1になる場合を考えて」よりも「共有点が1つになる場合だから」という表現のほうが適切ですね.

[簡単な例題] 放物線$y=x^2$と直線$y=ax-3$が接するとき,定数$a$の値を求めよ.(正解は±2√3)

第7巻/第1話「Serial John Due」
ロキ「じゃア,カメーネフの死は"π"に符合してるとして…,劉の方は?」
燈馬想「自然数eだよ」
ロキ「e? あのオイラーの数か?」
水原可奈「eって?」
燈馬想は「自然数」,ロキは「オイラーの数」と言っていますが,eは「自然対数の底」,または「ネイピア数」と呼ばれることが多いです.「自然数」だと正の整数(または負でない整数)の意味を持つnatural numberと誤解しやすくなります.また,eという文字で表すのはオイラーが最初だったので「オイラーの数」でもいいのですが,他に「オイラーの定数(Euler's constant)」というのがあるので,混同しないようにしたいですね.
燈馬想「円周率πは円周を円の直径で割った数.自然数eはネイピアの考案した対数という概念から生まれた数.そして虚数iは2乗して-1になる想像上の数として生まれました.この3つの記号はそれぞれ人類の歴史の中でなんの関連もなく生み出されたものです.ところが大数学者オイラーはこの3つの数に一つの関係を見つけ出した.
$e^{πi}=-1$
これがオイラーの公式,人類の数学史上最も美しい式と呼ばれるものです.」
ここでもeを「自然数」と呼んでいますが,さらにオイラーの公式(Euler's formula)$e^{θi}=cosθ+isinθ$に$θ=π$を代入して得られるオイラーの等式(Euler's identity)$e^{πi}=-1$を「オイラーの公式」と呼んでいるのが気になりますね.

第33巻/第2話「推理小説家殺人事件」
燈馬想「『グラフで囲まれた部分の面積を求めろ』ってことなので,まず2つの交点のxの値を出して範囲を決めます.yが同値になるxってことだから…」
燈馬想が水原可奈に数学を教えている場面ですが,台詞はこれだけで図もありません.これは積分の問題でしょう.中には公式を使って交点のxの値を出さずに解く方法があります.以前,映画「容疑者xの献身」で述べました.

第38巻/第2話「十七」

xのn乗根がn=1から4まで紹介されていましたが,n=4のときの解(1の4乗根)は,$x^4-1=0$を解いて$x=±1$,$±i$になります.間違ってn=4のところにn=5のときの解(1の5乗根)が書かれてあります.と思ったらよく見ると値も違っていました.正しくは次のようになります.他のサイトでいくつも見つかりますから,確認しみてください.$$\frac{(-1+\sqrt{5})±i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}, \quad \frac{(-1-\sqrt{5})±i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$第44巻/第2話「Question!」

トップのタイトルページの数式です.右上の図より,円$x^2+y^2=1$と,(-1,0)を通る直線$y=m(x+1)$の,(-1,0)でない方の交点の座標を求める問題のようです.横書きの数式なのに,板書が右から始まるのが変ですね.話は右上の図から始まって,右下の連立させた方程式を変形する過程まではいいのですが,そのあとの左の計算式(燈馬想に隠れて見えにくいですが)が少しおかしいですね.右下の式を整理すると次式になります.
$(1+m^2)x^2+2m^2x+(m^2-1)=0$
この左辺をを因数分解するのに,解のひとつがx=-1とわかっているので,x+1がひとつの因数になります.その割り算は右図のようになるはずなので,$m^2>1$や,$x√$というのは写し間違いだと思われます.

他の巻にも以下のように数学の話題が頻出します.数学の話ではなくても十分楽しめる知的な漫画なので,どなたにも強くお勧めします.
9巻 ケーニヒスベルグの橋
13巻 クラインの壺
15巻 デデキントの切断
20巻 カントールの無限集合
23巻 リーマン予想
29巻 ポアンカレ予想
44巻 フェルマー予想 ゴールドバッハ予想 ABC予想
47巻 P≠NP問題

Sunday, 11 June 2017

テレビ番組 とくダネ! 中国の過酷すぎる受験対策

約940万人が挑む一発勝負 2017/6/9放送
中国の全国大学統一入試は「高考(ガオカオ)」と呼ばれ、約940万人が受験に臨み,2800校中超一流と呼ばれる80校を目指します.15校が志望でき、ランクごとに5校ずつ選べます.学力のみの一発勝負で,試験の成績によって入学校が決まり,成績トップ者は新聞一面で紹介されます.大学ごとの入試は行なわれません.東京大学の倍率約3倍に対して、北京大学の倍率は150倍にもなります.(番組情報より)
今年広東省で出題された数学の問題の前半に出てきた比較的易しい問題がひとつ紹介されていました.少し分かりにくい問題文でしたが,要するに太極と呼ばれる図形の黒い部分の面積の,外接する正方形の面積に対する割合を求める問題です.正解の選択肢は
A 1/4  B π/8  C 1/2  D π/4

東大の建築学科卒で数学に関する著作もある司会の女性タレントがこの問題の正解をすぐに答えていました.「どう考えても1/4じゃないから…,Bですよね」 つまり計算はせずに,半分よりは小さく,1/4よりは大きいからその間のπ/8を正解にしたようです.

一応確認してみましょう.円の半径をrとすると,黒い部分は白い部分と全く同じ形なので円の面積の半分で$\pi r^2/2$,正方形の面積は$(2r)^2=4r^2$,前者を後者で割ると$\pi /8$になります.

テレビの情報番組やクイズ番組などで数学の問題が出るときは,このようにすぐに正解が得られる問題しか出てきませんね.特にクイズ番組では,ただ覚えている知識を答えるだけの問題が多いので,物足りなく感じます.

他の問題も気になったので探してみました.2017広東省数学問題解答です.上の問題の原文も見つかりました.「理科数学」は「理系数学」という意味です.せっかく見つけたので少し時間のかかる最後の記述式問題も紹介しておきます.
[理科数学 2] (上の問題)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形內切圓中的黑色部分和白色部分关干正方形的中心成中心対称.在正方形内随机取一点,剣此点取自黒色部分的概率是.
[理科数学 23] 己知函数$f(x)=-x^2+ax+4$, $g(x)=|x+1|+|x-1|$.
(1) 当$a=1$时,求不等式$f(x)\ge g(x)$的解集.
(2) 若不等式$f(x)\ge g(x)$的解集包含$[-1, 1]$,求$a$的取値范围.
[理系数学 23](和訳)関数$f(x)=-x^2+ax+4$,$g(x)=|x+1|+|x-1|$がある.
(1) $a=1$のとき,不等式$f(x)\ge g(x)$を解け.
(2) 不等式$f(x)\ge g(x)$の解が$[-1, 1]$に含まれるとき,$a$の取り得る値の範囲を求めよ.( 正解は  (1) -1≦x≦(-1+√17)/2   (2) -1≦a≦1 )

[Reference]
2017年广东高考真题及答案解析
http://www.gaokao.com/e/20170607/59375d1f5f355.shtml

Sunday, 4 June 2017

NEWS 大学新テスト記述式問題例 

2017年5月16日に発表された独立行政法人大学入試センター「大学入学共通テスト(仮称)」記述式問題のモデル問題例が,翌日の新聞各紙に掲載されました.「どんな問題だろう」と解いてみた人も多いのではないでしょうか.その中の4問目(数学の2問目),銅像が最もよく見える位置を考察する,すなわち銅像の頭Aと足元Bまでを見込む角が最大になる視点Pの位置を考えるという問題が少し気になりました.問(1)は具体的な数字を与えられて∠APBを求めるもので特に問題を感じませんでしたが,この後の展開が気になりました.
問(2) 銅像を見込む角が最大となるときの,見る人の足元の位置を「ベストスポット」と呼ぶことにする.この「ベストスポット」について,太郎さんは次のように考えた.
【太郎さんの考え】3点A,B,Pを通る円の半径をRとすると,ABの長さは常に一定であることから,∠APBが鋭角ならば,∠APBが最大となるのは,Rが最小のときである.
ということは,Rがどんなときに最小になるかをこれから考えていくんだなと思ったら,次はこんな問いでした.
(i) ∠APBが鋭角であることを確かめる方法を,△APBの3辺の長さAB,AP,BPについての式を用いて説明せよ.
ここでわざわざ「∠APBが鋭角である」ことを確かめる必要があるのでしょうか.銅像の足元を視点より低くして,よっぽど近寄らないと見込む角は鈍角にはなりません.銅像の足元Bは視点Pより高いので,∠APBが鋭角であることは明らかです.この状況を図に描いたら,100人中100人は∠APBが鋭角になるでしょう.
(ii) 【太郎さんの考え】が正しいことは,sin∠APB,AB,R を用いたある関係式と,「∠APBが鋭角のとき,∠APBが大きくなるほどsin∠APB の値は大きくなる」ことからわかる.その関係式を答えよ.
これだけ誘導されていたら正弦定理とすぐに分かりますね.sin∠APB=AB/(2R)なので,「Rが最小」⇔「sin∠APBが最大」⇔「∠APBが最大」といえます.
(iii) 二人は【太郎さんの考え】について先生に相談したところ,Rが最小になるのは,3点A,B,Pを含む平面上において,3点A,B,Pを通る円と点Pを通り直線ABに垂直な直線が接するときであることを教えてもらった.この考え方に基づいて,目の高さが1.5mの花子さんが,高さ6.5mの台座の上に乗せた高さ4mの銅像を見る場合の最小R,最大∠APB,ベストスポットの位置を求めよ.
ようやくRが最小になるときを考えるのかなと思ったら,いきなり先生に相談です.自分たちで考える問題なのに「先生に教えてもらったこと」を前提にして話を次に進めています.この「先生に教えてもらったこと」を理解せずに次を考えるのは気持ち悪くないのでしょうか(この解説はこちらのサイトにあります).

この解説の別解で書かれているように,「先生に教えてもらったこと」は,数学Ⅰまでの知識なら円周角を考えれば説明できます.他の方法で説明しようとすれば,正接の加法定理と相加平均・相乗平均の関係か方べきの定理,または微分を利用してもできますが,数学Ⅰの範囲を超えてしまいます.

日本の試験ではまだ使えませんが,グラフ電卓やそれに類似するソフト・アプリを使えば,数学Ⅰまでの知識でもこのことを確認することはできます.

まずA(0,9), B(0,5), P(x,0)とし,3点A,B,Pを通る円の中心をC(c,7)として,cをxの関数で表します.AC=BC=CPなので,
c^2+2^2=(x-c)^2+7^2
整理すると
c=(x^2+45)/(2x)
あとはこの関数を未習であっても,グラフ電卓等でグラフを描かせて最小値を表示させれば,ベストスポットの位置の近似解6.7が得られます.

国際バカロレア,米国のAPやSAT,英国のA Levelなどでは,グラフ電卓を使える試験と使えない試験の併用が当たり前のように実施されています.

視点をいろいろ変えたらどうなるかをGeogebraで作ってみました.点Pを動かしてみてください.