Monday, 25 November 2013

ドラマ SPEC〜零〜(スペック ゼロ)

対数微分 ABC予想
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…ちゅうことだから、実はこれ、対数の公式と同じ形だ。
だから、上のL(h)は、hの対数微分と呼ばれている。じゃあ、本当にそうなっているかどうか、お前ら、自分で計算して、この公式、確かめろ。
(バシッ) 死んだか?
分かった。当麻にはこの問題、簡単すぎたか…。
当麻、ABC予想について者どもに説明してみよ。
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 対数微分は、函数y=f(x)を微分するとき, 両辺の自然対数をとって(両辺をlogeをつけて)微分することをいいます。こうするとf(x)が複雑な形をしている時に, まともに微分するよりも簡単にできる場合(y=x^xやy=x^sinxなど)があります。
 この場面でのL(h)は、d/dx(log|h|)という意味で(eは省略)、この貼紙の一番下の式です。実際に
この公式を確かめてみましょう。
1行目 これは数学Ⅲの教科書に載っている積の微分公式です。
2行目 1行目の式をf(x)g(x)で割って、約分した式です。
3行目 L(h)=d/dx(log|h|)=h'/h=h'(x)/h(x)
4行目 L(fg)=d/dx(log|fg|)=(fg)'/fg=f'/f+g'/g=L(f)+L(g)
5行目 ゆえにL(h)はこの意味ですよという式です。
 それにしてもこの先生、偉そうな言い方をしますね。生徒を鼻血が出るほど叩くし、今の時代、実際にいたらもちろん問題教師ですね。

Tuesday, 6 August 2013

小説 白夜行

空間図形 平面 直線
 主人公が家庭教師に数学を教わる場面です。(文庫本ではP239)
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 空間上の二つの面が交わった時に出来る直線の式を求める、という問題に雪穂は取り組んでいた。解き方は教えてあるし、彼女も理解している。彼女が持っているシャープペンシルは、殆ど動きを止めることはなかった。
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 この問題の解き方はいくつかあります。
①2つの平面の方程式を連立方程式と考え、2つの変数を他の1つの変数で表してそれらをつなぐ。
②2平面の共有点を2つ求め、その2点を通る直線を求める。
③2平面の共有点を1つ求め、その1点を通り、2平面の法線ベクトルの外積を方向ベクトルとする直線を求める。
 文中に「解き方は教えてあるし」とありますが、どの解き方なのでしょう。すべて教えていたのなら上出来だと思います。山の頂上へ行くのにいくつかの道があるのと同じように、数学の問題の解答を得るのにいくつかの解き方があるということも教えてほしいものです。
 ストーリーは面白かったのですが、この作者の他作品と比べると、かなり性描写が露骨でした。どうでもいいことなのでしょうが、文庫本で860ページもあるのになぜ上下巻に分けなかったのか不思議です。

Thursday, 11 July 2013

小説 浜村渚の計算ノート

四色問題 0 フィボナッチ数列 円周率
 主人公の数学天才少女は「算法少女」という小説を想起させます。一度読んでみてください。さて、文中にいくつか説明なしのパロディ(のようなもの)がありました。
◆黒い三角定規
 「青い三角定規」は、70年代に青春ドラマの主題歌「太陽がくれた季節」を大ヒットさせたフォークグループ(数学とは関係がない)。
◆ドクター・ピタゴラス
 ピタゴラスは、古代ギリシャの数学者・哲学者。ピタゴラス教団(今でいうカルト教団)の教祖で、教団が否定していた無理数の存在を口外した者を溺死させたといわれている。
◆『稲石昇平の青春の夢』
 「クロネッカーの青春の夢」は、ドイツの数学者クロネッカーの数学予想のことで、日本の数学者高木貞治によって正しいことが証明された。
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 また、パロディではありませんが、説明がなければ分からない文章がありました。
■「またフィボナッチ数列か……自然界だけではなく、殺人事件にもよく出てくる数列だ。」
 フィボナッチ数列は、このブログだけでもダビンチ・コードと探偵ガリレオに登場しています。
■「カルダノの公式です。立方完成まではなんとか自分でできたんですけど、…」
 中学数学の教科書には平方完成(2次式を(x-p)^2+qの形に変形すること)を使って二次方程式の解の公式を導く方法があります。三次方程式の解の公式を導くには、立方完成(3次式を(x-p)^3+qx+rの形に変形すること)という方法を使います(導出は他のサイトで簡単に見つけられます)。
■「円周率が、3.05より大きい数であることを、証明せよ」
 これはこのブログの以前の投稿にも書きましたが、東大の2003年入試問題です。
■「バーゼル問題の解を使ってもいいですか」
 バーゼル問題とは、オイラーが証明した等式、
Σ(1,∞) 1/(n^2)=1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+・・・・=(π^2)/6
のことで、ゼータ関数ζ(s)のs=2のときの値になります。
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 ところで、この小説は数学の話題がたくさん出てきてその部分は面白いのですが、設定があまりにも荒唐無稽なので、小説なのに漫画を読んでいるみたいでした(実際漫画化されましたが…)。フィクションなのでそれでもいいのですが、自分は整合性のあるものの方がが好きです。これは個人の好みの問題ですね。表紙は可愛いですが、ストーリーは殺人が多すぎるので、あまりお勧めできないです。

Sunday, 7 July 2013

映画 容疑者Xの献身

定積分の公式
 以前観たことはあったのですが、テレビで久しぶりに観たところ、数学の授業での板書が気になったので、動画サイトで確かめてみました。ある問題を苦労して解いた後に、実はこんな公式が使えるよという流れだと思われます。数学Ⅱの範囲ですが、教科書には載っていない定積分の公式です。(注)ここでは積分区間を(α,β)で表すことにします。
∫(α,β) (x-α)^(n-1)(x-β)dx =∫(α,β) (x-α)^(n-1)(x-α+α-β)dx =∫(α,β) ((x-α)^n+(α-β)(x-α)^(n-1))dx
=-1/(n(n+1))(β-α)^(n+1)
という公式ですが、n=2のときは、教科書にも載っていてよく使われる公式
∫(α,β) (x-α)(x-β)dx=-1/6(β-α)^3
になります。この説明の直前に解いた問題は、
=∫(1,2) (x-1)^3(x+2)dx
=∫(1,2) ((x-1)^4+3(x-1)^3)dx
=19/20
でした。が、上の公式を使うには、①1行目の(x+2)を(x-2)にする(すなわち2行目の(x-1)^3の係数がα-β=-1になるようにする)か、または、②積分区間の終点を-2に変えるか、のどちらかをしなければだめです。つまり、公式を紹介する直前の問題が、公式を使える例ではなかったということです。
①の場合なら
∫(1,2) (x-1)^3(x-2)dx=∫(1,2) ((x-1)^4-(x-1)^3)dx=-1/20
公式を使うと
-1/(4・5)・(2-1)^5=-1/20
②の場合なら
∫(1,-2) (x-1)^3(x+2)dx=∫(1,-2) ((x-1)^4+3(x-1)^3)dx=243/20
公式を使うと
-1/(4・5)・(-2-1)^5=243/20
になります。

Saturday, 4 May 2013

ドラマ ガリレオ Season2 第1話

ユニタリ行列 ユニタリティ三角形
主役である物理学者の研究室にあるホワイトボードに書かれていた数式が気になったのでこの内容を検索してみたら、素粒子物理学でノーベル賞をとった小林・益川理論について書かれてあることがわかったのですが、これは高エネルギー加速器研究機構(KEK)の研究員が作成したある研修会のレジュメと全く同一のものでした(写真参照)。
ユニタリ行列とは,複素数の成分を持つ行列Aで,その随伴行列A*(行と列を転置して成分を複素共役に変えたもの)を逆行列に持つ行列,すなわちAA*=A*A=Eを満たす行列Aをいいますが,これが素粒子物理学の最先端に応用されているなんて素晴らしいことですね。

Saturday, 13 April 2013

ドラマ 35歳の高校生 第1話

高次方程式 剰余の定理 複素数
主役の35歳の高校生、馬場亜矢子が数学の問題を解くシーンで、3か所ほど突っ込みどころがありました。
①タイトルが「数学演習<二次方程式>」となっていましたが、実際は<複素数の計算><高次式>の問題でした。
②(問1)は、x=1+√(2)iのとき、x^2-2x+3を求める問題。
式変形の途中、
(1+√(2)i)^2-2(1+√(2)i)+3
=1+2√(2)i-2-2-2√(2)i+3
とすべきところが、
1+2√(2)i-2-2+2√(2)i+3
となっていました。最後は正解だったので、写し間違いでしょう。
③(問2)はその結果を利用して、x=1+√(2)iのとき、x^3-3x^2+6x+4を求める問題。
まず筆算で式の割算
(x^3-3x^2+6x+4)÷(x^2-2x+3)
をして、
x^3-3x^2+6x+4=(x^2-2x+3)(x-1)+x+7
とするのですが、その筆算に商(x-1)が抜けていました。しかし、これも最後は正解でした。
ドラマの中でこういうシーンを監修する人がいると思うのですが、ただ問題と解答を示すだけでなく、撮影する時によく見て間違いがないか再確認してほしいものですね。

Saturday, 6 April 2013

日本ドラマ「イタズラなKiss」第2話

不等式の証明
主人公の男子が女子に数学を教える場面です。
①x>yのとき(2x+y)/3>(x+y)/2
左辺-右辺=(x-y)/6>0
②x^2+17y^2≥8xy
左辺-右辺=x^2-8xy+17y^2=x^2-8xy+16y^2+y^2=(x-4y)^2+y^2≥0
韓国ドラマ「イタズラなKiss」と台湾ドラマ「イタズラなKiss」と比べれば少し易しい問題になっています。
韓国ドラマ「イタズラなKiss」についてはこちら
台湾ドラマ「イタズラなKiss」についてはこちら

台湾ドラマ「イタズラなKiss」第3話

円錐の体積
主人公の男子が女子に数学を教える場面です。
展開図が,半径rで中心角θの扇形になるような円錐の体積Vは,
V=(r^3・θ^2)/(24π^2)√(4π^2-θ^2)
となることの証明がありました。
円錐の高さをh,底面の半径をRとすると,扇形の弧は
S=rθ=2πRよりR=(rθ)/(2π)
円錐の高さは
h=√(r^2-R^2)=√(r^2-(r^2・θ^2)/(4π^2))
よって円錐の体積は
V=1/3・πR^2・h
=1/3・π(r^2・θ^2)/(4π^2)・√(r^2-(r^2・θ^2)/(4π^2))
=1/3・π(r^2・θ^2)/(4π^2)・(r/2π)・√(4π^2-θ^2)
=(r^3・θ^2)/(24π^2)・√(4π^2-θ^2)
となります。
韓国ドラマ「イタズラなKiss」と難易度は同じぐらいでしょう。
韓国ドラマ「イタズラなKiss」についてはこちら
日本ドラマ「イタズラなKiss」についてはこちら

映画 天地明察

和算 算術 算額 半菱形

原作の問題に間違いがあったので,映画ではどうなるのか楽しみにしていましたが,映画で登場した問題は小説とは違っていました。

①半菱形(2等辺三角形)の底辺が1尺6寸,その中に内接する円の円径(直径)が9寸6分のとき,斜辺と高さを求めよ。

長さの単位はすべて「分」とし,図のAHをxとします。△AMC∽△AHOなので,
AM:MC=AH:HO
√((x+80)^2-80^2):80=x:48
80x=48√((x+80)^2-80^2)
5x=3√((x+80)^2-80^2)
25x^2=9(x^2+160x)
16x^2-1440x=0
x^2-90x=0
x(x-90)=0
x=90
AC=x+80=90+80=170
AM=√(170^2-80^2)=150
よって,斜辺=17寸,高さ=15寸となります。

②円の直径が10寸,その一部の弓形の弦が9寸のとき,弓形の弧を求めよ。
 こちらは他のサイトに解答がいくつかありましたので省略します。

主役の俳優が原作のイメージとは少し違うように思いましたが,スト―リーは面白かったです。

Saturday, 30 March 2013

映画 チープ・フライト

ゆとり 円周率 3
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友花「だから私はつかんだ仕事を投げ出したりはしないし,『やっぱゆとりは…』なんて言わせたくない。」
優希「ゆとりは頑張り屋だなあ。」
友花「うん,私たちは『円周率が3』なんて習ってないし,学力低下は個人の問題だもん。」
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 この「ゆとり」は「ゆとり教育」のことですね。それまでの「つめこみ教育」が反省されて1980年度小学校学習指導要領から始まりましたが,「学力低下」が問題になり,2013年度(数学と理科以外は2014年度)の高3で「ゆとり教育」は終わります。施行当時,ある塾が「円周率が3になった」などと誇大な情報を流し,マスコミも同様の報道をしてしまって大きな誤解を生み,いまだにそう思っている人が多いと思います。それを皮肉るように東大の入試で「円周率は3.05より大きいことを証明せよ」という問題が出題されました。実際は,小学校学習指導要領第2章各教科第3節算数で「円周率としては3.14を用いるが、目的に応じて3を用いて処理できるよう配慮する必要がある。」となっています。つまり,小数の計算を習っていない段階の小学生には「円周は直径の約3倍強」と教えてもいいということでしょう。
 ところでこの2つ目の台詞「ゆとりは頑張り屋だなあ。」はおかしいですね。「ゆとり」を人名のように使っています。「友花は頑張り屋だなあ。」が正しい台詞でしょう。

Friday, 15 February 2013

NEWS 史上最大の素数発見 1742万5170桁

素数 桁数の求め方
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2013/2/8日本経済新聞
【ワシントン共同】米セントラルミズーリ大の数学者グループが史上最大の素数を発見した。今回見つかったのは2の5788万5161乗から1を引いた数で、1742万5170桁に上る巨大な数。
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 2のn乗引く1(2^n-1)という形の数を「メルセンヌ数」と呼び,そのうち素数になるものを「メルセンヌ素数」といいます。桁数は高校の指数・対数の知識で簡単に計算できます。-1をしなくても桁数は変わらないので,2の5788万5161乗の桁数を求めましょう。常用対数をとってその値を計算すると,
  log(2の5788万5161乗)=5788万5161×log(2)=1742万5169.76…
となり,指数の形にすると,
  10の1742万5169乗 ≤ 2の5788万5161乗 < 10の1742万5170乗
となるので,1742万5170桁ということになります。
 素数で検索していたら,「少女素数」という漫画があることを知ってびっくりしました。

【2016/01/26追記】
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過去最大の素数発見、2233万8618桁 米大学教授
朝日新聞デジタル 2016年1月24日
 米セントラルミズーリ大は21日、1とその数自身以外では割りきれない素数を研究している同大のカーチス・クーパー教授(計算機科学)が、過去最大となる約2233万桁の素数を発見したと発表した。これまでより約500万桁大きい。
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自分で桁数を計算して確かめてみてください.

The Largest Known Primes
https://primes.utm.edu/largest.html
このサイトでは,メルセンヌ素数以外に,双子素数,階乗素数,素数階乗素数,ソフィージェルマン素数などの最大素数も紹介されています.

Thursday, 31 January 2013

ドラマ ビブリア古書堂の事件手帖 第3話

論理学 三段論法
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「私,バカなんです。バカにはホステスは務まらないんです。だから私は,ホステスには向いてないんです」
「今君は,三段論法を使った」
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三段論法は論理的推論のひとつで,「大前提」「小前提」「結論」の3つから成り立ちます。例としては次の話が有名です。
 (大前提)全ての人間は死すべきものである。
 (小前提)ソクラテスは人間である。
 (結論)ゆえにソクラテスは死すべきものである。
これを集合論で示すと,
 (大前提)BはCの部分集合である。B⊂C
 (小前提)aはBの要素である。a∈B
 (結論)ゆえにaはCの要素である。∴a∈C
具体例として,
 (大前提)偶数は整数の部分集合である。B⊂C
 (小前提)2は偶数である。a∈B
 (結論)ゆえに2は整数である。∴a∈C
このドラマの台詞では,
 (大前提)バカにはホステスは務まらない。
 (小前提)私はバカである。
 (結論)ゆえに私はホステスには向いてない。
となりますが,「バカな人」の集合は「ホステスが務まらない人」の部分集合とはいえないので,この台詞は「真」(常に正しい)とは言えないということになります。