Saturday, 27 April 2019

小説 秘密

東野圭吾著 2001年 文春文庫

置換積分

妻と娘がバス転落事故に遭い,妻が娘をかばって亡くなった.娘は助かったものの,心が妻のものに入れ替わっていたという衝撃的な状況の中で,夫がとまどいながらも妻のようにふるまう娘と一緒に暮らしていくという話です.
「えー,積分の証明問題かあ」
「ははあ,なるほど.これは結構難しいな.ええと,これはまずxの二乗イコールtと置いて,tをxについて微分してやるんだ」
$x^2=t$と置換して解く積分の問題で簡単なものをひとつ見てみましょう.$$\int2xe^{x^2}dx$$$x^2=t$の両辺を$x$について微分すれば,$2x=\frac{dt}{dx}$,$2xdx=dt$なので与式は,$$\int e^tdt=e^{x^2}+C$$となります.しかし,娘は医学部を目指す受験生ということなので,解き方を尋ねているとすれば,この問題は易しすぎますね.

少し難しいものならこんな問題があります.$$\int\sqrt{1+x^2}dx$$ただ,これを$x^2=t$と置換すると,解けなくはないのですが大変複雑な計算になってしまいます.また$x=\tan\theta$と置換しても解けますが,やはりかなり複雑な計算になります.少し難しい数学Ⅲの参考書には,知らないと絶対に思いつかないような置換 $x+\sqrt{1+x^2}=t$(実は$\exp(\sinh^{-1}x)$)が紹介されていますが,これでもやはり複雑な計算になってしまいます.

加法定理や微分公式などが三角関数(円関数)に似た性質を持つ双曲線関数を知っていれば,$x=\sinh t$ すなわち $x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ と置換することで,もっと簡単に計算できます.$dx=\cosh t \ dt$なので,\begin{align}
\int\sqrt{1+x^2}dx&=\int\cosh^2t \ dt\\
&=\int\frac{1+\cosh 2t}{2}dt\\
&=\frac{1}{2}t+\frac{1}{4}\sinh 2t+C\\
&=\frac{1}{2}\sinh^{-1} x+\frac{1}{2}\sinh t\cosh t+C\\
&=\frac{1}{2}\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+C\\
\end{align}
この物語は娘の心が妻の心に置き換わったという話なので,著者はその中に登場させた数学の問題を「置換積分」にしたのでしょう(笑).

追記 2019/5/2

Click to enlarge
映画の方には,娘の通う高校での数学の授業の場面がありました.極限に関する2つの条件を満たす2次関数を求める問題です.数学Ⅱを既習の人は解いてみてください.

正解は $f(x)=2x^2-7x+5$

Tuesday, 16 April 2019

小説 珈琲店タレーランの事件簿 5

岡崎琢磨著 2016年 宝島社

組み合わせ

理想の珈琲を追い求める青年アオヤマが,偶然入った京都の珈琲店「タレーラン」で,長年追い求めていた理想の珈琲と出会う.その珈琲をいれる魅惑的な女性バリスタ,切間美星が,次々と店に持ち込まれる謎を鮮やかに解き明かしていくという話です.
「これは ...... 源氏香? 」
「組香といって、 江戸時代に成立した競技だね。まず、五種類の香木をそれぞれ紙で包んだものを、五包ずつ計二十五包、用意する。その中から無作為に選んだ五つの包みを順番に焚いて、においを嗅いでいく。そして一番目から五番目の包みのうち、どれとどれのにおいが同じか、もしくは違うかを判定する。すべて違う、一番目と二番目だけが同じ、一番目と二番目と三番目が同じで四番目と五番目が同じ、すべて同じ、……、組み合わせは全部で五二通りあって、 これに源氏物語全五十四帖のうち第一話の『桐壺』と第五十四帖の『夢浮橋』を除いた五十二の巻名がつけられているんだよ」
Wikimedia Commons
この組み合わせが52通りであることを確認してみましょう.右図はすべての組み合わせを表しています.縦線が回を表し,横線でつながっている回が同じにおいという意味です.上の説明では,「すべて違う、 一番目と二番目だけが同じ、一番目と二番目と三番目が同じで四番目と五番目が同じ、すべて同じ、……、」と4種類のパターンが述べられていますが,実際は7種類のパターンがあります.

①すべて違う Pattern(1,1,1,1,1)(右図最上図)
 5つのにおいから5つ選ぶので,5C5=1通り
②2つ(1ペア)が同じであとの3つが違う Pattern(2,1,1,1)(右図紫色を含む図)
 5回のうち同じにおいになる2回を選ぶので,5C2=10通り
③3つが同じであとの2つが違う Pattern(3,1,1)(右図緑色を含む図)
 5回のうち同じにおいになる3回を選ぶので,5C3=10通り
④2つと2つ(2ペア)が同じであとの1つが違う Pattern(2,2,1)(右図橙色茶色を含む図)
 これは同じものを含む順列$\frac{5!}{2!2!1!}$=30かなと考えてしまいそうですが,例えばaabbcとbbaacはどちらも「あるにおいが2回続き,次に前の2回と異なるにおいが2回続き,最後に前の4回と異なるにおいになる」という意味では,aとbを入れ替えたものも同じと考えられるので,30/2=15通りになります.
⑤4つが同じであとの1つが違う Pattern(4,1)(右図赤色を含む図)
 5回のうち同じにおいになる4回を選ぶので,5C4=5通り
⑥3つが同じであとの2つが同じ Pattern(3,2)(右図緑色紫色を含む図)
 5回のうち同じにおいになる3回(または2回)を選ぶので,5C3=5C2=10通り
⑦5つが同じ Pattern(5)(右図最下図)
 5回のうち同じにおいになる5回を選ぶので,5C5=1通り
以上①~⑦を合計すると52通りになります.

因みにこの数は,n個のものを分割する方法の総数,ベル数(Bell number) Bn の5番目の数B5にあたります.つまり,この源氏香の組み合わせは,5個のものを分割する方法の総数と等しいということになります.

[Reference]

コトバンク 源氏香
https://kotobank.jp/word/%E6%BA%90%E6%B0%8F%E9%A6%99-492071

Wikimedia Commons Genji chapter symbols groupings of 5 elements
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Genji_chapter_symbols_groupings_of_5_elements.svg