フェルマーの最終定理
数学が得意で数学者を目指していた高校生北田岳は，数学オリンピックに挑戦して挫折を味わいますが，そこに現れた天才シェフ朝倉海の勧めで料理人になると決意し，その道で成長していくという話です．
冒頭の生い立ちの話の中で，まだ小学生ぐらいのときの岳がフェルマーの最終定理のn=4のときの証明を考えている場面が登場しました．
フェルマーの最終定理は，「$n \geqq 3$のとき，$x^n+y^n=z^n$となる自然数（正の整数）$x, y, z$は存在しない」という定理で，その証明が1993年にワイルズによって発表され，1ヶ所ミスが判明したものの，翌年に修正され，確かに正しいと認められた1995年までに360年かかっています．
証明はもちろん非常に難解ですが，$n=4$のときはフェルマー自らが証明していて比較的易しいといわれています（それでも難しい！）．その証明方法は「成り立たないと仮定すると矛盾が起こるので，これは成り立つ」という「背理法」を用います．この場合はどんな背理法かというと「自然数解があるとすると，それより小さい自然数解が見つかる．するとさらに小さい自然数解が次々と見つかっていく．これは自然数に最小値があることに矛盾する」という「無限降下法」を用いています．では，なるべく分かり易い解説を試みてみましょう．
「$x^4+y^4=z^2$となる自然数$x, y, z$が存在しない」ならば「$x^4+y^4=z^4$となる自然数$x, y, z$は存在しない」ことがいえます．なぜなら，$x^4+y^4=z^4$に自然数解$(\alpha, \beta, \gamma)$が存在すれば，$x^4+y^4=z^2$に$(\alpha, \beta, \gamma^2)$という自然数解が存在する（対偶が真になる）からです．
なので「$x^4+y^4=z^2$となる自然数$x, y, z$が存在しない」ことを証明します。つまり，$x^4+y^4=z^2$に自然数解$(x, y, z)$が存在すると仮定し，矛盾を導きます．以下すべての文字定数は自然数で，互いに素である（公約数を持たない）とします．
$x^4+y^4=z^2$に自然数解$(x, y, z)$が存在すると仮定すると，$(x^2)^2+(y^2)^2=z^2$より$(x^2, y^2, z)$はピタゴラス数（ピタゴラスの定理を満たす数）ですから，次のように表せます（理由はこちら）．\begin{eqnarray} x^2 &=& m^2-n^2 \tag{1} \\y^2 &=& 2mn \tag{2}\\z &=& m^2+n^2 \tag{3} \end{eqnarray}(1)より$x^2+n^2=m^2$なので$(x, n, m)$もピタゴラス数ですから，次のように表せます．\begin{eqnarray} x &=& p^2-q^2 \tag{4} \\n &=& 2pq \tag{5}\\m &=& p^2+q^2 \tag{6} \end{eqnarray}(5)を(2)に代入すると，$y^2=4mpq$となりますが，ここで左辺は平方数だから右辺も平方数になるので，次のように表せます．$$p=a^2，\quad q=b^2，\quad m=c^2$$これらを(6)に代入すると次のようになります．$$a^4+b^4=c^2$$これは$(a,b,c)$が$x^4+y^4=z^2$の解であることを意味しています。しかも，$$c \leqq c^2=m \leqq m^2<m^2+n^2=z$$すなわち$c<z$なので$(a,b,c)$は$(x, y, z)$よりも小さい解になります．同様にさらに小さい解が次々と見つかっていくので，これは自然数に最小値があることに矛盾します（無限降下法）．よって「$x^4+y^4=z^2$となる自然数$x, y, z$が存在しない」ので「$x^4+y^4=z^4$となる自然数$x, y, z$は存在しない」ことが証明できました．
[参考]
Fermat’s Last Theorem: n=4
https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html
