Sunday, 27 December 2009

映画 プルーフ・オブ・マイ・ライフ

ソフィー・ジェルマン素数 Sophie Germain prime
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Hal「ソフィー・ジェルマンか。"ジェルマン素数"の?」
Catherine「そう」
Hal「2p+1=素数。2*2+1=5。2も5も素数だ」
Catherine「または92305*2^16998+1」
Hal「そうだ」
Catherine「今知られている最大素数」
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 pも2p+1も素数であるとき、pをソフィー・ジェルマン素数、2p+1を安全素数(Safe Prime)といいます。ここに登場した値は5122桁で1998年当時の最大ですが、その後次々と最大のものが見つかり、2009年11月18日現在の最大ソフィー・ジェルマン素数は648621027630345*2^253824-1で76424桁です。

(2010年7月16日追記)
 2010年03月現在の最大は183027*2^265440-1で79911桁になっているようです。

(2016年1月26日追記)
 2012年には18543637900515×2の666667乗-1という200701桁の素数が見つかっていたようです.

The Largest Known Primes
https://primes.utm.edu/largest.html
このサイトでは,メルセンヌ素数以外に,双子素数,階乗素数,素数階乗素数,ソフィージェルマン素数などの最大素数も紹介されています.

Wednesday, 23 December 2009

漫画 陰陽師 - 第6巻

正五角形の作図 正十二面体
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外側の一番大きな円が一、すなわち太極を意味する。
中の二つの円は陰と陽の両極。
一である太極は二である両極を生じ、二である両極から三である物体が生じ、三である物体が万物を生ずる。
一によりて点であるもの、天が生じ、二によりて平なる面、地が生じ、三によりて立ち上がる体、人が生じる。
太極の中心を通る垂線を引くことで、四、すなわち四時(しいじ)(循環する季節)、つまり時間が生じる。
垂線と太極の下の接点を中心に、両極の二つの円の上下の線に等しく接する弧を描く。
この二つの弧と太極との接点と、垂線と、太極の上の接点は、太極を性格に五等分する。
それらの接点を結ぶと、正五角形、つまりこれは五行、万物の形体の先たる五程の性格を持つ気、木火土金水(もっかどごんすい)になる。
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この話の中に出てくる作図の方法とその理由はこちらにあります。
他に以下の場合も考えました。
①正五角形ABCDEの一辺が1のとき、対角線は黄金比の値(1+√(5))/2
(理由) 対角線をφとおく。対角線ADとCEの交点をFとすると△ACD∽△CDFだから、
1:φ=(φ-1):1
φ(φ-1)=1
φ^2-φ-1=0
φ=(1+√(5))/2
②正五角形ABCDEの外接円の半径が1のとき、一辺の長さの2乗は(5-√(5))/2
(理由) 辺CDの中点をM、外接円の中心をOとし、一辺をxとおくと、①よりAC=φx
△ACMで三平方の定理より、
AM^2=AC^2-CM^2
AM=√((φx)^2-(x/2)^2)
△OCMで三平方の定理より、
OM^2=OC^2-CM^2
OM=√(1-(x/2)^2)
OM+1=AMだから、
√(1-(x/2)^2)+1=√((φx)^2-(x/2)^2)
これを解くと、
x^2=(4φ^2-1)/φ^4
となり、φ=(1+√(5))/2を代入すれば、
x^2=(5-√(5))/2
(別解)三角関数を学習済みならx=2sin36°から求められます。
③(ついでに)正十角形の一辺は1/φ
(理由) 正十角形の一辺をyとする。AMの延長と円との交点をPとすると、
△APC∽△ACMだから、
AP:CP=AC:MC
2:y=φx:x/2
φy=1
y=1/φ=(-1+√(5))/2
(別解)三角関数を学習済みならy=2sin18°から求められます。

Sunday, 6 December 2009

アニメ ロザリオとバンパイア 第08話 「数学とバンパイア」

対数関数 三角関数 軌跡
 主人公の月音(つくね)は人間で、他の生徒や教員は妖怪という学校が舞台のアニメです。数学の授業の板書や同級生のノートは文字も図も数式も驚くほどきれいに書かれています。どうしても数学の内容に目が行ってしまうのですが、月音のノートに書かれた対数の計算は間違いだらけでした。数学の問題集の解答を書き写してミスしたものと思われます。アニメといえども数式に間違いがないようにしてほしいですね。

Friday, 13 November 2009

映画 サマー・ウォーズ

Shorの因数分解アルゴリズム 数学オリンピック モジュロ演算 暗号
 主人公の健二が夏希の誕生日の曜日を当てる(実はモジュロ演算で計算して求める)場面。文庫本2009年8月20日発行第3版では、
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夏希「わたし? 7月19日。平成4年」
健二「土曜日です
夏希「え?」
健二「1992年7月19日は、日曜日です」
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となっていたのでこれはおかしいと思って映画を見てみたら、
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夏希「わたし? 7月19日。平成4年の」
健二「日曜日です
夏希「え?」
健二「1992年7月19日は、日曜日でした」
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となっていました。文庫本は間違いで、映画の方が正しかったようです。
 モジュロ演算はツェラーの公式(Zeller's Congruence)が元になっています。西暦の上2桁をJ、下2桁をK、月をm、日をdとして、
   [J/4]-2J+K+[K/4]+[26(m+1)/10]+d  
(ここで[x]はxを超えない最大の整数。ただし1月・2月は前年の13月・14月として計算)
を7で割った余りrが、0なら土曜、1なら日曜、……、6なら金曜になります。夏希の誕生日のrは1となるので日曜日になります。因みに、私の誕生日も日曜ということがわかりました。

Thursday, 12 November 2009

小説 容疑者Xの献身

四色定理(四色問題) エルデシュ
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 ずんぐりした体型で、顔も丸く、大きい。そのくせ目は糸のように細い。頭髪は短くて薄く、そのせいで五十歳近くに見えるが、実際はもっと若いのかもしれない。身なりは気にしないたちらしく、いつも同じような服ばかり着ている。
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 このように原作の小説での数学の教師はダサく描かれてありましたが、映画ではけっこう二枚目の俳優が演じていました。しかもこの俳優は、ドラマ「やまとなでしこ」で数学者の役をしていました。このドラマに登場する数学についてはこちら

Tuesday, 10 November 2009

小説 ダ・ビンチ・コード

円周率π 黄金比φ フィボナッチ数列
 円周率をギリシャ文字π(PI)で表すのと同様に、黄金比の値もギリシャ文字φ(PHI)で表されます。主役の大学教授が黄金比についての講義をしていた場面で、数学専攻のある学生の台詞が次のように訳されていました。
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私立探偵(PI)と混同しないでくださいよ。僕ら数学をやっている者はよくこういうんです。黄金比(PHI)はHがあるおかげでPIよりずっと切れ者だってね!」
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 どうもこの訳はおかしいと思って原文を調べてみると、"PHI is one H of a lot cooler than PI!" となっていました。それなら「PHI(黄金比)はPI(円周率)よりHという文字がひとつ多い分だけカッコいいんですよ」というような意味なのではないかと思いました。
 同じ疑問を持った読者から、この部分は誤訳ではないかと指摘された訳者のコメントは以下の通りでした。
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 実は、この個所を訳していたとき、"PI"の意味が "私立探偵(Private Investigator)"なのか"π(pi)"なのかでかなり迷いました。私立探偵のほうを採用した理由は以下のふたつです。(1) 大文字で"PI"と書かれている場合、英語圏のミステリー小説の読者のほとんどは「私立探偵」の意味をまず思い浮かべる。(2) 「ファイはパイよりクールだ」という読み方は、たしかに語呂はいいが、ジョークになっていない。一方、私立探偵は"cool"(=かっこいい、切れ者)の代名詞と言ってもいいほどなので、そちらの意味にとれば気のきいたジョークになる。ただし、ここはアメリカ人でも意見が分かれるところかもしれません。また、作者はこの作品のいたるところで、ひとつの単語を二通りに解釈させるという技巧を使っており、この個所にも両方の意味をこめたのではないかと察せられます。その場合、翻訳小説においては、どちらか一方の意味を採用して、もうひとつの意味を切り捨てざるをえない場合もある、ということをどうかご理解ください。」(角川グループパブリッシングのホームページより)
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Monday, 9 November 2009

小説・映画 博士の愛した数式

オイラーの等式 ネイピア数 完全数 友愛数 他多数
 数学ブームの火付け役になったという点で、総合すると小説も映画もいい作品です。が、少々気になる点があったので、それも見どころのひとつということで述べます。
 まず映画のなかに√1=±1という誤解を招く表現があります。このミスをあとで試写会の時になってから気づいた監修の岡部恒治埼玉大学教授が、その話を雑誌「数学セミナー」2006年2月号で語っています。中学校の数学の先生になった「ルート」君が授業をしているシーンにありますので注目してください。
 一般に「オイラーの公式(Euler's formula)」は e^(iθ)=cosθ+isinθ をいうので、それにθ=πを代入して得られる等式 e^(iπ)=-1 を「オイラーの公式」と呼んでいるのが気になります。
 最も小さい「完全数」は6です。6以外の約数1、2、3を加えると6になります。プロ野球「阪神タイガース」の背番号6番といえば1981年に打率.358で首位打者を獲得した藤田平を思い出す人も多いでしょう。個人の好みで言うと、派手な江夏より地味な藤田を取り上げてほしかったと思います。
 小説では江夏のカードを探す場面が間延びして冗長な感を受けますが、映画ではその場面はなく、あっさりと仕上がっています。ただ、博士と義姉が能を鑑賞しながら手をつないでいる場面は小説にはなく、不要に思いました。
(追記)その後、地上波TVで放映された映画では、能を鑑賞するシーンは削除されていました。