コサイン 三角関数
アニメ映画でヒットした「魔女の宅急便」の著者角野栄子の自伝的物語．主人公のイコが，戦後の中学生時代から，高校，大学，社会人へと成長していく中で，英語に興味を持ち，外国に憧れ，当時まだ女性には珍しかった海外渡航を実現するという話です．
思いあまって、またコウゾウさんに相談してみた。
｢教えて、数学。コサインというの……ところで、三角関数ってなあに?」
｢おい、おい、そこから始めなきゃならないのか! いったい学校で何してたんだ。あ~あ、西田家は伝統的に、思考力も弱いんだな」
イコのわからなさに、あきれてこう言った。
サインやタンジェントと並んで，コサイン (cosine / cos) が最初に登場する高校数学Ⅰの教科書では，直角三角形の辺の比として定義されています．
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| 教科書 |
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| 参考書等 |
この adjacent を「底辺」とする参考書もありますが，adjacent は「近隣の」「隣接した」という意味なので「隣辺」と訳すほうが良いでしょう．正しくは直角三角形の直角をはさむ2辺の両方を「隣辺 (Cathetus)」というのですが，角θから見て向かい (opposite) と隣り (adjacent) というように区別したほうが都合がいいですね．こうすれば，三角比の定義は次のようになります．
例えば次の直角三角形の場合，θの対辺は12でθの隣辺は5なので（θの位置に注意），sinθ=$\frac{12}{13}$，cosθ=$\frac{5}{13}$，tanθ=$\frac{12}{5}$ となります．θがここにあるときは，「底辺」で覚えると間違え易いですね．
ところでこの角θはいくらでしょうか？ 上のコサインの値 $\frac{5}{13}≒0.385$ から三角比の表を見てみると，67°と68°の間であることが分かりますが，コサインの逆関数である arccos または cos^(-1) を使って，関数電卓やグラフ電卓で arccos(5/13) と入力すれば，より正確な角度が分かります．また，計算サイト WolframAlpha を使えば，arccos(5/13) =1.176 [rad ラジアン] =67.38° と両方の単位ですぐに答えてくれます．
さて「三角関数ってなあに?」と改めて聞かれると，いろいろありすぎて答えるのが難しいですね．イコが関数の意味をを知っていると仮定して「三角関数にはサイン，コサイン，タンジェントなどいろいろあって，特にサイン，コサインはグラフが波の形になるので，音や信号などの研究に役立っている関数なんだよ」ってな感じでしょうか．
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余談ですが，三角関数の導関数を求めるときに，次の関数 (1) の $x\rightarrow0$ の極限が１になることを使うことは高校数学Ⅲで出て来ますね．$f(0)$ は定義されませんが，$f(0)=1$ を加えて定義域を実数全体にすることができます．$$f(x)=\frac{\sin x}{x}\tag{1}$$これは「非正規化sinc関数 (unnormalized sinc function) 」というのですが，なぜ「非正規化」なのかというと，正規（この場合は全区間の積分が1）ではないからです．全区間の積分（定積分の極限=広義積分）はこうなっています（2×ディリクレ積分）．$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\pi$$そこで次のようにスケールを変えた関数をつくります．$$g(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}\tag{2}$$すると次のように全区間の積分が1になるので，関数 (2) は「正規化sinc関数」となります．$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin \pi x}{\pi x}dx=1$$正規分布の元になる曲線 $y=e^{-x^2}$ をスケーリングして標準正規分布の確率密度関数 $y=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-x^2}{2}}$ をつくるのと同様ですね．
[参考]
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