小説 定時までに解決します

加藤実秋　2026年　実業之日本社

アシンメトリー　円の三等分

定時退庁をモットーに警視庁で事務員をしている久米川さくらが，捜査一課のエリート刑事である元加治(もとかじ)が持ち込んだ密室殺人の真相を華麗に解いてしまったことから，その後の難事件にも協力させられることになり，なんとか定時までに解決しようと奮闘するという話です．

｢『横瀬さんの眉毛っておしゃれ。最近は、アシンメトリーが流行だもんね』って言われたんだけど、 アシンメトリーがなにか、わからなくて｣
さくらもわからなかったが、新井たちの口ぶりと表情が想像でき、ムカムカしてきた。しかし横瀬は、のんびりと続けた。
｢考えて、『ひょっとして、遊びの名前ですか?  尻取りとかセミ捕りみたいな』って訊いたんだけど違ってたみたいで、みんなに大笑いされちゃった。でも、ウケたからいいかな｣
最後に、てへへと笑う。P182-183

まず、レアチーズケーキの箱を脇に避け、空いたスペースにコピー用紙を置いた。続けて、その上に茶筒を置き、底の部分の外周をペンでなぞり、コピー用紙に直径五センチほどの、歪みのない円を描いた。それから、｢ここからだ｣ と前置きし、 円の上側十二時の位置に定規を当て、中心に向かって線を引いた。次に、その線と垂直になるように、円の中心を通った横線を引く。そして、下にできた半円がさらに半分の高さになるよう、横線を入れる。最後に、下の横線と円が交わる二つの点に、中心からそれぞれ斜線を引いた。
｢よし、できた｣
｢なにこれ。ピースマーク?｣
コピー用紙に描かれた図を覗いて、さくらは首を傾げ、秋津も「ベンツのエンブレムにも、似てるわね｣と言う。ペンを机上に置きつつ、元加治は答えた。
｢そうだけど、よく見て下さい。線で区切られた三つの扇形は、同じ大きさのはずですよ｣
｢どれどれ｣と図を覗き込んだのは、正丸。そしてすぐに顔を上げ、
｢本当だ。この円、ちゃんと扇形に三等分されてるよ!｣  P260-261

アシンメトリーについては，以前の投稿に書きましたので，そちらを参考にしてください．

円の三等分については，元加治が描いた図を確認してみましょう．

中心のすぐ下にある背中合わせの2つの直角三角形は，それぞれの辺の比が$1:\sqrt{3}:2$なので，2つ合わせた中心角は120°になりますから，円は｢ちゃんと扇形に3等分｣されていますね．

実際，円に内接する正n角形が作図できるなら，円を同じ扇形でn等分できます．中心と各頂点を結ぶ線分で切れば良いからです．前回の投稿で，目盛りなしの定規とコンパスで作図できる正n角形は，nの小さい方からn=3 ,4, 5, 6, 8,...だったので，7人では同じ扇形で等分できないことになります．

では7人で等分するにはどうすれば良いでしょう．形が違っても良いという条件下ですが，次の方法があります．それは，まず同じ扇形で6等分カットする前に，面積が$\frac{1}{7}$で中心が元の円と等しい円をくり抜くというやり方です．

図のように，元の円の半径OAの4等分点で最もAに近い点をDとし，Dを通りOAと垂直な直線と元の円との交点をEとし，直線ECとOBとの交点をFとします．するとOFが求める円の半径になります．

[理由]

円を$x^2+y^2=1$とすると，点Eの座標は$\left(\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4}\right)$となります．相似の関係からOFはDEの$\frac{4}{7}$倍なのでOF=$\frac{1}{\sqrt{7}}$．よって，求める円は $x^2+y^2=\frac{1}{7}$となり，面積が元の円の$\frac{1}{7}$になります．

[因みにその1]　漫画｢サザエさん｣のカツオは，磯野家の家族は7人なのに，バウムクーヘン，塩ようかん，メロンを，他の人から見られない所で8等分し，そのうち1切れをこっそり自分で食べていたようです．そしてようやくメロンのときにサザエさんに見破られたそうです(笑)．

[因みにその2]　ケーキをn等分するためのアプリ "Cake Cuttin" を見つけました．n=2から16まで可能です．

7等分 (TikTok)

小説 真夏の異邦人

 

喜多喜久　2014年　集英社

正五角形　正十七角形

大学のサークル｢超常現象研究会｣のフィールドワークで，自分の出身地である村に行った星原俊平が，山の中でまるで宇宙人のような不思議な少女と出会って恋をしつつ，村で起こった凄惨な事件の真相を追うという話です．

｢おお、できているな!｣ 戻ってきた天川さんは満足気に頷き、ぐるりと周囲を見回した。｢では、予定通り、森の中で宇宙人の出現を待つことにする。牛を中心に正五角形を描く形で行くぞ｣ P213

｢待てい!    実は今朝、例のオカルトサイトに新しい書き込みがあったのだ。なんでも、青森で正十七角形のミステリーサークルが出現したらしい。しかも、内部からは謎の金属片まで発見されている。｣ P305

正多角形の，目盛りなしの定規とコンパスによる作図可能性の解明には長い歴史があります．正5角形が作図可能であることは，紀元前3世紀頃の数学書『ユークリッド原論』の中で示されましたが，正17角形が作図可能であることは，1796年になってようやくガウスが発見しました．詳しく見てみましょう． 

ガウス-ワンツェルの定理 (Gauss-Wantzel theorem)

正$n$角形 ($n$ ≥ 3) が目盛りなしの定規とコンパスで作図できるための必要十分条件は，$n$が次のように素因数分解されることである．$$n=2^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{r}$$(ここで$s$は0以上の整数， \(p_1, p_2, \dots, p_r\) は互いに異なるフェルマー素数)

フェルマー素数とは，\(p = 2^{2^k} + 1\) （$k$は0以上の整数）の形で表される素数のことで，現在知られているフェルマー素数は3, 5, 17, 257, 65537の5つのみです．

<作図できる例>

$n$= 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, ... , 257, 65537, ... 

<作図できない例>

$n$= 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, ... 

正n角形を作図する手順

1. 単位円の中心$O$を通る直線と円との交点を最初の頂点$A_{0}$とする．

2. 半径$OA_{0}$上に$OH=\cos\frac{2\pi}{n}$となる点$H$をとる．

3. 点$H$を通り、半径$OA_{0}$に垂直な直線と単位円との交点を，頂点$A_{1}$，$A_{n-1}$とする．

4. 残りの頂点をとって結ぶ．

この\(\cos\frac{2\pi}{n}\) が有理数の四則演算と平方根のみで表せれば作図できます．

n=5の場合

正17角形の作図には $\cos \frac{2\pi}{17}$ の値が必要

複素数平面上で方程式 $z^{17}=1$ の解を $1,z_1,z_2,\dots ,z_{16}$ とおくと，下図より

$1+z_1+z_2+\dots +z_{16}=0\tag{1}$
ただし，$z_k=\cos \dfrac{2k\pi}{17}+i\sin \dfrac{2k\pi}{17}$　($k$は0から16までの整数)

正17角形

ここで $\theta =\dfrac{2\pi}{17}$ とおくと，$z_k=\cos k\theta+i\sin k\theta$ なので(1)の実部だけ取り出すと，

$1+\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 16\theta =0$

$\cos (17-k)\theta=\cos k\theta$ なので，

$1+2(\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta) =0$

$∴\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta =-\dfrac{1}{2} \tag{2}$

(Ⅰ)  まず初めに(2)の左辺を
$a=\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta$，
$b=\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta$
の2つに分け，$a+b$と$ab$から2次方程式を解いて$a$の値を求めます．

(2)より$a+b=-\dfrac{1}{2}$

次に $ab$ を計算しますが，ここで積和公式$\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta)+\cos (\alpha -\beta)\}$と $\cos (17-k)\theta=\cos k\theta$ を用いれば，例えば $\cos 8\theta\cos 7\theta=\frac{1}{2}(\cos 15\theta+\cos \theta)=\frac{1}{2}(\cos 2\theta+\cos \theta)$ のように計算できるので，

$ab=(\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta ) (\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta )$

$=\cos \theta\cos 3\theta+\cos \theta\cos 5\theta+\cos \theta\cos 6\theta+\cos \theta\cos 7\theta$
$\quad+\cos 2\theta\cos 3\theta+\cos 2\theta\cos 5\theta+\cos 2\theta\cos 6\theta+\cos 2\theta\cos 7\theta$
$\quad+\cos 4\theta\cos 3\theta+\cos 4\theta\cos 5\theta+\cos 4\theta\cos 6\theta+\cos 4\theta\cos 7\theta$
$\quad+\cos 8\theta\cos 3\theta+\cos 8\theta\cos 5\theta+\cos 8\theta\cos 6\theta+\cos 8\theta\cos 7\theta$

$=\frac{1}{2}(\cos 4\theta+\cos 2\theta+\cos 6\theta+\cos 4\theta+\cos 7\theta+\cos 5\theta+\cos 8\theta+\cos 6\theta$
$\quad+\cos 5\theta+\cos \theta+\cos 7\theta+\cos 3\theta+\cos 8\theta+\cos 4\theta+\cos 9\theta+\cos 5\theta$
$\quad+\cos 7\theta+\cos \theta+\cos 9\theta+\cos \theta+\cos 10\theta+\cos 2\theta+\cos 11\theta+\cos 3\theta$
$\quad+\cos 11\theta+\cos 5\theta+\cos 13\theta+\cos 3\theta+\cos 14\theta+\cos 2\theta+\cos 15\theta+\cos \theta)$

$=\frac{1}{2}(\cos 4\theta+\cos 2\theta+\cos 6\theta+\cos 4\theta+\cos 7\theta+\cos 5\theta+\cos 8\theta+\cos 6\theta$
$\quad+\cos 5\theta+\cos \theta+\cos 7\theta+\cos 3\theta+\cos 8\theta+\cos 4\theta+\cos 8\theta+\cos 5\theta$
$\quad+\cos 7\theta+\cos \theta+\cos 8\theta+\cos \theta+\cos 7\theta+\cos 2\theta+\cos 6\theta+\cos 3\theta$
$\quad+\cos 6\theta+\cos 5\theta+\cos 4\theta+\cos 3\theta+\cos 3\theta+\cos 2\theta+\cos 2\theta+\cos \theta)$

$=\frac{1}{2}\times 4 (\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta +\cos 4\theta +\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta +\cos 8\theta)$

$=-1$　(∵ (2)より)

解と係数の関係より，$a,b$は２次方程式 $x^2+\dfrac{1}{2}x-1=0$ の解になるので，この方程式を解くと$$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$$上図より$a>b$なので，
$$a=\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta =\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{4}$$

(Ⅱ)  次に$a$を $c=\cos \theta+\cos 4\theta$，$d=\cos 2\theta +\cos 8\theta $ の2つに分け，$c+d$と$cd$から2次方程式を解いて$c，d$の値を求めます．

$c+d=a$

$cd=(\cos \theta+\cos 4\theta )(\cos 2\theta +\cos 8\theta )$

$=\cos \theta\cos 2\theta+\cos \theta\cos 8\theta+\cos 4\theta\cos 2\theta+\cos 4\theta \cos 8\theta $

$=\dfrac{1}{2}(\cos3\theta+\cos \theta+\cos9\theta+\cos 7\theta+\cos6\theta+\cos 2\theta+\cos12\theta+\cos 4\theta)$

$=\dfrac{1}{2}(\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta +\cos 4\theta +\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta +\cos 8\theta)$

$=-\dfrac{1}{4}$

解と係数の関係より，$c,d$は２次方程式 $x^2-ax-\dfrac{1}{4}=0$ の解になるので，この方程式を解くと，$$x=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2+1}}{2}$$上図より$c>d$なので，
$$c=\cos \theta+\cos 4\theta =\dfrac{a+ \sqrt{a^2+1}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}$$$$d=\cos 2\theta +\cos 8\theta =\dfrac{a- \sqrt{a^2+1}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}$$

(Ⅲ)  最後に，$\cos \theta$と$\cos 4\theta$の和と積から2次方程式を解いて$\cos \theta$の値を求めます．

$\cos \theta+\cos 4\theta =c$

$\cos \theta \cos 4\theta$を求めるために，

$(\cos \theta +\cos 4\theta)^2=\cos ^2\theta +2\cos \theta \cos 4\theta +\cos ^24\theta$

$=\dfrac{2+\cos 2\theta +\cos 8\theta}{2}+2\cos \theta \cos 4\theta$

となることを使うと，

$\cos \theta \cos 4\theta =\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{2+d}{4}=\dfrac{2c^2-d-2}{4}$

解と係数の関係より，$\cos \theta,\cos 4\theta$ は2次方程式 $x^2-cx+\dfrac{2c^2-d-2}{4}=0$ の解になるので，この方程式を解くと，$$x=\dfrac{2c\pm\sqrt{-4c^2+4d+8}}{4}=\dfrac{c\pm\sqrt{-c^2+d+2}}{2} $$上図より$\cos \theta>\cos 4\theta$なので，$$\cos \theta=\dfrac{c+\sqrt{-c^2+d+2}}{2}$$となり，$c, d$をこの式に代入すると$\cos \theta=\cos\frac{2\pi}{17}$の値が得られます．$$\cos\frac{2\pi}{17}= \frac{1}{16}\left(-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} + 2\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}\right)$$

電卓で近似値を確認

[2026/10/16追記]　京都府立大学の2017年入試に，関連する問題が出ていました．こちらです．

[参考]

初等数学入門　大学入試問題とその背景　正17角形の作図

小説 テミスの不確かな法廷

 
直島 翔　2024年　KADOKAWA

線対称

幼い頃に発達障害と診断されながらも，自分の特性と向き合いながら裁判官になった安堂清春が，理解ある人たちに囲まれて，さまざまな事件に取り組んでいくという話です．

｢被疑者のえーと、なんて名前だったっけ?｣
｢宗春美さんです｣
一枚紙の令状の映像記憶がたちまち脳裏に浮かび、そこから氏名を探すのは難しい作業ではなかった。そのとき突如、脳があらぬ方向に走り出した。この被疑者の名は見えない一本の縦線を中央に引けば、見事な線対称になるではないかと。P94

｢その頃の清掃員なら、たぶん森さんだよ。確か、幸いに市場の市と書いて森幸市さん」
聞かなければよかったと思った。線対称の氏名が性懲りもなく、そわそわを呼び寄せようとしていた。P145

この物語で線対称という用語が何回も登場しました．平面図形をある直線で切断したときに分かれた2つの部分が鏡に映したように等しくなることをいいます．

線対称な姓といえば，田中，中山，山田などいっぱいありますね．ASD (自閉スペクトラム症) やADHD (注意欠如多動症) の特性のひとつとして，左右対称に強くこだわることがあるそうです．

空間図形で線対称にあたるものは面対称になります．立体をある平面で切断したときに分かれた2つの部分が鏡に映したように等しくなります．

具体的な形を想像するのは難しいですが，n次元空間内で，曲がっていない(n-1)次元空間のことを超平面といいます．なので，n次元図形を超平面で切断したときに分かれた2つの部分が鏡に映したように等しくなることは超平面対称といいます．また以上まとめて鏡映対称ともいいます．

さて，もうひとつ中学や高校でも学習しない回転対称というものがあります．

平面図形の回転対称

図形自身が (360/n)° 回転で元の図形と重なるものをn回対称といいます．言い換えると，1回転するまでに元の図形とn回重なればn回対称です．

例えば，平行四辺形は180°(=360/2)，360°回転で元の図形と重なるので，回転対称としては2回対称であるといえます．

正三角形は120°(=360/3)，240°，360°回転で元の図形と重なるので，3回対称ということになります．

正方形は90°(=360/4)，180°，270°，360°回転で元の図形と重なるので，4回対称です．

円は何度回転しても元の図形と重なるので無限回対称ですが，この場合は連続回転対称であるともいいます．

空間図形の回転対称

ある軸の周りに (360/n)° 回転で元の図形と重なるものをn回対称といいます．言い換えると，1回転するまでに元の図形とn回重なればn回対称です．

空間図形には回転軸が複数あります．例えば正4面体には2通りあるし，正6面体  (立方体) には3通りあります．具体例として正6面体の場合を見てみましょう．

①回転軸が対面の中心を通る場合

90°(=360/4)，180°，270°，360°回転で元の図形と重なるので4回対称です．

対面の中心を通る回転軸

真上から見た図

②回転軸が対辺の中点を通る場合

180°(=360/2)，360°回転で元の図形と重なるので2回対称です．

対辺の中点を通る回転軸

真上から見た図

③回転軸が対頂点を通る場合

真上から見ると平面的には正6角形ですが，立体的には中央の図が異なりますから、60°ではなく，120°(=360/3)，240°，360°回転で元の図形と重なるので3回対称になります．

対頂点を通る回転軸

真上から見た図

因みに，円柱は底面の中心を結ぶ直線を軸とすると無限回対称なので，連続回転対称でもあります．

ところで，この物語は読後感が良かったですね．安堂と小野崎の最後の会話にホッコリしました．

[参考]

回転対称　Wikipedia

回転対称　物理のかぎしっぽ

小説 探偵小石は恋しない

 

森 バジル　2025年　小学館

双曲線　証明　否定命題　十分条件　必要条件

華麗に事件を解決することを夢見ている探偵事務所の代表兼調査員の小石と，他社から引き抜かれてきた相談員兼調査員の蓮杖(れんじょう)は，不倫や浮気の調査依頼ばかり引き受けていたが，過去の思わぬ事件を通じて意外な真相を導いていくという話です．

小石の方から ｢新作の動画出てるから見ときたい｣ と言ってきたくせに、当人はもう興味を失ったらしく、『殺しの双曲線』というタイトルの文庫へと目を落としている。
(中略)
｢その本、小石さんの蔵書でしょ。一回読んでるのにまた読み返すんですか?｣
｢双子が出てくるんだよね。最初に、双子トリックを使うって明言されてるやつ。なんか再読したくなっちゃった。蓮杖くんはこれより先に『ウツボラ』読んでね｣(P143-144)

西村京太郎氏の推理小説『殺しの双曲線』は1971年に発表されました．双曲線は同じ形のグラフが2つ出現するので，双子が登場する小説のタイトルになったのでしょう．日本では最初中学1年生で反比例のグラフとして学習しますが，双曲線という言葉は出てきません．その後は，高校で二次曲線のひとつとして学習します．

一般の反比例のグラフと式は次のようになり，

$y=\frac{a}{x}$

一般の双曲線のグラフと式は次のようになりますが，式がちょっと複雑になりますね．

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$ を時計の針と反対方向に45°回転させると $y=\frac{1}{x}$ のグラフになります．その様子をGeogebraで作ってみました．

さて，形は双曲線にならないのに双曲線関数と呼ばれるものがあります．
$$\displaystyle y=\sinh x={e^{x}-e^{-x} \over 2},\quad y=\cosh x={e^{x}+e^{-x} \over 2}\tag{1}$$$$y=\displaystyle \tanh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{\sinh x}{\cosh x}$$
記号は三角関数に似ていますね．実際，読み方もハイパボリックサイン，ハイパボリックコサインと読むし，性質も加法定理や微分公式などよく似ているのですが，グラフの形状は双曲線とは全く異なります．ではなぜ双曲線関数と呼ばれるのでしょうか．

双曲線関数

三角関数は，$\cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1$ が成り立ち，円 $x^2+y^2=1$ の媒介変数表示ができるので， 円関数とも呼ばれます．それと同様に，双曲線関数は，上式(1)から $\cosh^2 t-\sinh^2 t=1$ を導くことができて，双曲線 $x^2-y^2=1$ の媒介変数表示ができるのでこう呼ばれています．

円と双曲線の媒介変数表示

因みに，円関数の$\theta$は，扇形OPQの①中心角，②弧の長さ，③面積の2倍を表しますが，双曲線関数の $t$ は③OPQで囲まれた部分の面積の2倍だけを表します．

ところで，本文中の『ウツボラ』は中村明日美子原作の ｢顔のない死体とひとつの小説をめぐる謎の物語｣ を描いた漫画だそうです．これも一度読んでみたいですね．

小説 本と鍵の季節

米澤穂信　2018年　集英社

微分方程式

高校2年生で図書当番をしている堀川次郎と松倉詩門が，いろいろな謎の解明に挑戦していく話を集めた短編集です．その中のひとつ，｢金曜に彼は何をしたのか｣ に彼らが未習のはずの微分方程式が登場しました．

西日が真正面から目に飛び込んでくる。カーテンが開けてあるせいで、日光を遮るものがないの だ。黒板はすぐ右手にあり、チョークで微分方程式が走り書きしてあった。このドアは、教室の前の方のドアということになる。僕と松倉は、互いに目配せを交わし合う。(P183)

どんな式が書かれてあったのか気になりますね．残念ながらこの話にはその数式は出てきませんでした．微分方程式は以前，高校数学Ⅲでの学習内容でしたが，今 (2026年現在) では教科書の本文にはなく，＜発展＞の内容になっています．

微分方程式は，未知の関数の導関数を含む等式，言い換えれば $y'(=\frac{dy}{dx})$ や $y''(=\frac{d^2y}{dx^2})$ を含む等式のことで，それを満たす関数$y$を求めることを ｢微分方程式を解く｣ といいいます．例えば，$$y'=2x \tag{例1}$$という微分方程式の解は，$$y=\int 2x dx=x^2+C \quad (Cは任意の定数)$$ になります．つまり，不定積分を求めることは簡単な微分方程式を解くことと同意です．

微分方程式にはいろいろな型がありますが，その中でも最も易しい型が上の例を含む ｢1階線形微分方程式｣ になります．これは，世界で最も多くの国や地域の高校で採用されている国際バカロレア(IB)ディプロマプログラム(DP)の数学でも学習する内容ですので，例を少し見てみましょう．

次の形をしている微分方程式を1階線形微分方程式といいます．

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\tag{0}$$

この式の$P(x)=0$，$Q(x)=2x$とすれば上の(例1)になります．

次にこの式の$P(x)=-2x$，$Q(x)=0$とすれば次の微分方程式になります．

$$\frac{dy}{dx}-2xy=0\tag{例2}$$

$$\frac{dy}{dx}=2xy$$

$$\int \frac{1}{y}dy=\int 2xdx$$

$$\ln {|y|}=x^2+C_1 \quad (C_1は任意の定数)$$

$$y=Ce^{x^2} \quad (Cは任意の定数)$$

となって，微分方程式 (例2) が解けました．このように，左辺に$y$の積分，右辺に$x$の積分に分けられる形を変数分離形といいます．

もう一つ，$P(x)$も$Q(x)$も0でない例を見てみましょう．

$$\frac{dy}{dx}+y=e^x\tag{例3}$$

$e^x$ を両辺に掛けると，

$$e^x\frac{dy}{dx}+e^xy=e^{2x}$$

$$\frac{d}{dx}(e^xy)=e^{2x}$$

$$e^xy=\int e^{2x}dx$$

$$e^xy=\frac{1}{2}e^{2x}+C \quad (Cは任意の定数)$$

$$y=\frac{1}{2}e^{x}+Ce^{-x}$$

(例3) の微分方程式を解くために両辺に掛けた$e^x$を積分因子といいます．なぜ$e^x$を掛けるのでしょう．その理由はこちらです．

[参考]

Oxford IB Diploma Programme: IB Mathematics: analysis and approaches, Higher Level

小説 ノーメイク鑑定士

石田夏穂　2026年　中央公論新社

スカラー　ベクトル

4つの話からなる短編集のひとつ ｢フットブレイク｣ でスカラーとベクトルが登場しました．普段から裸足で過ごす女性社員の ｢私｣ が，コーヒーブレイクならぬフットブレイク (という休憩) で，パイプ椅子を使った足裏マッサージにハマっているという話です．青竹踏みも足つぼマットも足裏マッサージ店も気に入らず，自分でマッサージするのが最も良いと納得するところです．

どうやら私は痛点が主体的に動かないと満足できないようだ。健康サンダルにまるで感動しなかったのも、要はイボが動かないからだ。 

静的な痛点はいらない、動的な痛点が欲しい。押すのではなく流す、スカラーではなくベクトル。世には足裏マッサージの店もあるが、それは利用しようとは思わなかった。私は昔から人に身体を触られるのが苦手で、無性に落ち着かなくなる。学生のころの組体操やムカデ競争も苦手だった。 

そんな私にはセルフマッサージがお似合いのようだ．

スカラーは，向きを持たない数量 (数値) ，すなわち単なる数のことですが，考察する世界 (ベクトル空間) によっては実数であったり複素数であったりします．ベクトルは，速度や力のように向きと大きさで定まる量のことをいい，直感的には矢印で表されます．スカラーやベクトルの一般的な概念はテンソルといい，スカラーは0階テンソル，ベクトルは1階テンソル，行列は2階テンソルになります．

上の引用文からわかることを整理してみましょう．

静的な痛点＝押す＝スカラー

動的な痛点＝流す＝ベクトル

押すことは動かずに決まった方向に力を加えるだけだから静的で，流すことは流体中をある方向に移動させることだから動的だといっているのでしょう．また，言葉の持つイメージとして，スカラーは数値なので静的，ベクトルは矢印なので動的だといえるのでしょう．

さてベクトルの演算には，①ベクトル同士の加減，②スカラーとベクトルの積 (ベクトルのスカラー倍) ，③ベクトル同士の積 (内積と外積) があります．このうち，内積はベクトル・ベクトル＝スカラーになりますが (高校数学教科書参照)，外積はベクトル×ベクトル＝ベクトルになります．$\vec{a}$と$\vec{b}$の外積 $\vec{a}×\vec{b}$ は，その大きさが $|\vec{a}×\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ で，$\vec{a}$が$\vec{b}$に向かって近づく回転で右ネジが進む方向を持つベクトルになります．

KIT数学ナビゲーションより

外積は3次元で定義されますが，2次元で利用される疑似外積というのがあります．2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2)$ に対し，$a_1 b_2 - a_2 b_1$ を疑似外積といい，この絶対値が2つのベクトルが作る平行四辺形の面積になるので，これを使うと3点を結ぶ三角形の面積が簡単に求められることが受験生にはよく知られています．

[参考]

KIT数学ナビゲーション
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/

[ベクトル]プログラミングでよー使うベクトル
https://note.com/alchan/n/n740dfc548638#7bb1b8ee-a905-40b9-84fe-35d27e9c53c9

小説 PRIZE

村山由佳　2025年　文藝春秋

パラドックス

ベストセラーを多く生み出したのに、何度も候補にあがりながら直木賞がとれない作家天羽(あもう)カインが執念を燃やして受賞しようとする話です． 作品の中に主人公の書いた作品があり， ｢テセウスの船｣ というパラドックスを紹介しています．

｢テセウスの船｣ と呼ばれる有名な思考実験がある。 

古代ギリシャの英雄テセウスがクレタ島から帰還した時、船には三十本の櫂があった。誉れ高き船は、後の世まで長く保存されることとなった。しかし木材は朽ちる。人々は櫂を一本また一本と新しいものへ取り換えてゆき、傷んだ船体を補修していった。 

そしてここに哲学者らの議論が巻き起こる。ある者は ｢もはやこの船は元の船とは別ものだ｣ と言い、またある者は ｢いいや、ずっと同じ船である｣ と主張したのだ。 

最終的にすべての部品が置き換えられたとして、その船は今も同じ船だと言えるのか。あるいは取り換えた古い部品を集めてもうひとつの船を組み立てた場合、いったいどちらを ｢テセウスの船｣ と呼ぶべきなのか。要するに、同一性の問題をめぐるパラドックスだ。

パラドックスは，ギリシャ語が語源で，逆理とか逆説とか訳され，｢正しいようで間違ったこと｣，｢間違いのようで正しいこと｣， ｢正しいか間違いか判断しにくいこと」などを意味する概念です．

｢テセウスの船｣  は哲学の分野で有名だそうですが，このように元の形は変わらずに構成要素が総入れ替えになったものは他にもありますね．例えば，柄を変えたあとに刃も変えた短刀とか，メンバーが総入れ替えになったグループとか．これは ｢正しいか間違いか判断しにくい｣ パラドックスといえそうです．

パラドックスという概念は哲学だけでなく，数学や他の分野でも多数登場しています．数学で有名なものでは ｢アキレスと亀｣ という話があります．足の速いアキレスが前を行く亀を追い越そうと歩いている．ある時刻に亀がいた地点までアキレスが行くと，亀はそこからいくらか前に進んでいる．その後アキレスがその地点に着いたとき，亀はさらにいくらか前へ進んでいる．これを何回繰り返してもいつまでたってもアキレスは亀を追い越せないという理論です．実際はすぐに追い越せますから，｢正しいようで間違ったこと｣を表すパラドックスになります．

Yahoo!ニュース オリジナル THE PAGE より

実際に追いつく地点を計算してみましょう．仮にアキレスの速度が秒速1mで亀の2倍だとします．上図でOA=1mとすると，AB=$\frac{1}{2}$m, BC=$\frac{1}{4}$m, …となり，無限回加えると初項1，公比$\frac{1}{2}$の無限等比級数の和になるので，$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$すなわち，Oから出発して2秒後に2m先で追い越します．無限回どころかあっという間ですよね．

では上の理論のどこがおかしいのでしょう．それは，有限の時間内に起こることを無限に時間がかかると主張しているからです ．

清水義範の短編集 ｢アキレスと亀｣ (1989年 廣済堂) に，この話にまつわる男女の会話が描かれていて面白かったので読んでみてください．

[参考]

[世界のパラドックス一覧]  哲学・数学・物理・経済まで有名パラドックスを完全解説
https://senkohome.com/paradox-list/#google_vignette

オリジナルメンバー不在のバンドや音楽グループの一覧
https://ichiranya.com/music/030-original-member-absent-band.html

小説 I

道尾秀介　2025年　集英社 

算数

2つの章が本の前半と後半で上下さかさまに印刷されていて，読む順番は読者の自由．その選択で結末が異なるという変わった作品です．その2つの章は，娘を失う医師の田釜雪夫 (たがまゆきお) の物語と，姉を失う高校生の小峰夕歌 (こみねゆうか) の物語です．夕歌の先輩である堀口の幼少期が語られる場面です．

堀口先輩はでたらめな世話をされながら、やがて六歳になった。 

最初の記憶は、一人きりのアパートで、ある場所からある場所まで歩いて何歩あるかをかぞえていたことだったという。 

――数のかぞえ方は教えてもらってたから、そればっかやってた。お母さんが昼過ぎに出かけて、夜遅くに帰ってくるまでずっと。 

たたみの部屋の奥にある窓から、部屋の入り口までが九歩。そこから台所の流し台までが六歩。年中ずっと出しっぱなしになっていた薄緑色の扇風機があり、そこから左右の壁まで、それぞれ四歩と八歩。 

――扇風機はお母さんがときどき場所を動かすから、三歩と九歩になったり、五歩と七歩になったりして面白かった。俺、いつもこう、指を折りながら歩数をかぞえてたんだけど、あるときすごいことに気づいてさ。扇風機がどこにあっても、そこから右の壁までと左の壁までが、合わせて必ず十二歩になるんだよ。 

――算数じゃないですか。 

――そう、誰にも教わってないのに。

畳の部屋の奥の窓から台所との境界まで9歩，そこから流し台までが6歩，畳の部屋の左右の壁の間が12歩なので間取りはこんな感じでしょうか．

畳の部屋が6畳だとすると，１枚の畳の長短の長さの比は2:1で，長い方は種類によって170〜200cmぐらいですから，左右の壁の間 (畳の長辺2枚分) を12歩で歩くとすれば，1歩は約30cm前後になります．

部屋の幅は変わらないので，4＋8＝3＋9＝5＋7 がすべて12になるのは当たり前なのですが，6歳にして誰にも教わらずにこの ｢すごいこと｣ に気付き，｢面白かった｣ というのですから感心しますね．

さて，数学で ｢畳の敷き詰め問題｣ というのがあります．与えられた大きさの部屋に畳を敷き詰める方法やその可否について考えるもので，中高大の入試にときどき出題されています．

最も簡単な例を見てみます．下図の一番上の行のように，畳を1枚縦向きにおいて，その右に畳を (n-1) 枚加えて畳 n 枚分の面積を持つ長方形の部屋ができたとします．畳を横向きに敷いても良いとすると，畳の敷き方 $a_n$ は何通りあるでしょうか．ただし，回転移動や対称移動で重なるものも別の敷き方として数えます．

n=1のとき，1通りしかないので，$a_1=1$

n=2のとき，縦に2枚，横に2枚の2通りなので，$a_2=2$

n=3 (三畳間) のとき，$a_2$の列の右端に縦1枚を加える場合と，$a_1$の右端に横2枚を加える場合とがあるので，$$a_3=a_2+a_2=2+1=3$$

n=4のとき，$a_3$の列の右端に縦1枚を加える場合と，$a_2$の列の右端に横2枚を加える場合とがあるので，$$a_4=a_3+a_2=3+2=5$$

以上より，直前の2つの項を加えると次の項になるので，$a_n$ は次のフィボナッチ数列の漸化式をみたすことがわかります．$$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$これを解いて第n項を求めると，整数だけの数列なのに無理数 (しかも黄金比の値) が出てきます．解き方はこちら$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \right\}$$確かに $a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=3$，$a_4=5$ になっていますね．

$a_1=1$，$a_2=2$ なのでこの式になりましたが，フィボナッチ数列の一般的な初期値は $a_0=0$，$a_1=1$ なので，その第n項は，$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right\}$$となります．この式はビネの公式と呼ばれています．

この例は，畳の短辺を1とした場合の，2×n の大きさの部屋でしたが，この大きさや形を変えるといくらでも問題ができます．過去の大学入学共通テストにも挑戦してみてください．

[参考]

なかけんの数学ノート
https://math.nakaken88.com/

小説 高宮麻綾の引継書

城戸川りょう　2025年　文藝春秋

必要条件　十分条件

社内ビジネスコンペで優勝した新規事業を不審な理由で親会社に潰されてしまった入社3年目のOL高宮麻綾が，本当の理由を調査していく中で過去に起こった事件の真相を明らかにしていくという話です．　

｢事業が上手くいくために、高宮さんは何が必要だと思いますか｣ 

｢その事業の可能性を信じる、担当者の想いです｣ 

高宮は即答した。早乙女の目元が緩む。 

｢半分正解だと、私は思います｣ 

半分正解です、と言い切らなかったところに、この男の性格が表れていると思った。自分は今、目上の人に諭されているのではなく、同じ目線で対等に対話しようとされていると感じる。 

｢担当者の想いは必要条件です。それがなくては話にならない。でも、それで十分というわけではないと私は考えています。複数の目によって十分に議論がされ尽くしたか、自身とビジネス環境の現状を正しく認識できているか、先々の見通しに偏りはないか。それらをやり切ったと言える状態になって、初めてうまくいく可能性が高まる。そういうものだと思っています。そういう意味では、 事業が上手くいくために何が必要か、という質問も不適切だったかもしれません｣

ビジネスで用いる｢必要条件｣や｢十分｣という用語は，数学における｢必要条件｣や｢十分条件｣とは少し異なるようです．

上の文章ではこう主張しています．事業が上手くいくためには｢担当者の想い｣が必要条件だが，さらに｢多角的議論｣，｢現状認識｣，｢将来予測｣もすることで成功の可能性が高まる．すなわち，複数の必要条件を満たすことによって十分といえる状態に近づいていく．

高校数学Ⅰで学習する｢命題｣は，正しい (真) か正しくない (偽) か明確に決まる文や式のことをいい，2つの条件p, qを用いて｢pならばq｣の形に表されることが多く，p⇒q とも書きます．

命題 p⇒q が真であるとき，pはqであるための十分条件であり，qはpであるための必要条件であるといいます．p⇒q と q⇒p がともに成り立つときはどちらも必要十分条件になります．

例えば，｢大阪府民⇒箕面市民｣は大阪府民だからといって箕面市民とは限らない (他市民の場合もある) ので偽ですが，逆の｢箕面市民⇒大阪府民｣は真なので，箕面市民であることは大阪府民であるための十分条件であり，大阪府民であることは箕面市民であるための必要条件であるということになります．

もう一つ数式で例をあげると，｢$x^2=1⇒x=1$｣は $x^2=1$ だからといって $x=1$ とは限らない ($x=-1$の場合もある) ので偽ですが，逆の｢$x=1⇒x^2=1$｣は真なので，$x=1$であることは$x^2=1$であるための十分条件であり，$x^2=1$であることは$x=1$であるための必要条件であるということになります．

大学入試問題になると問い方がそんなに単純ではありません．大学入学共通テスト数学IA (2025年度) の問題を見てみましょう．

(1)と(2)はつながりがなく，(2)の(ii)と(iii)もつながりがないという受験生にとってはいやな問題です (イヤミスならぬイヤモンですね ww)．最後になってようやく条件を判断する問題になります．詳しい解答はここでは省略しますが，(2)の(i)までを終えたところで①は次式になることが示されます．

$(2x+5)\{(a+3)x-5\}=0$

これの解が $x=-\frac{5}{2}$ だけであることは，{   }の中で $a+3$ が0になるか，または $x=-\frac{5}{2}$ を代入して0になるかのいずれかなので，$a=-3$ または $a=-\frac{19}{5}$ であることと同じ意味になります．従って次の命題が真になります．

｢$a=-3$ または $a=-\frac{19}{5}$である

$⇔$ ①の解は $x=-\frac{5}{2}$ だけである｣

このことから，｢①の解が $x=-\frac{5}{2}$ だけである $⇒a=-3$ である ｣とは限りませんが，その逆 ｢$a=-3$ である $⇒$ ①の解は $x=-\frac{5}{2}$ だけである｣ は正しいので，$a=-3$ であることは，①の解が $x=-\frac{5}{2}$ だけであるための 十分条件であるが，必要条件ではない ということになります．

[参考]

電数図書館
https://www.densu.jp/

小説 ペンギン･ハイウェイ

森見登美彦　2012年　角川文庫

相対性理論   $E=mc^2$

小学4年生のアオヤマ君が，街に突如出現したペンギンたちは歯科医院のお姉さんが関係しているらしいことを知り，その謎の解明のため調査研究をすることで成長していくという話です．

ぼくはソファに座って、図書館の人にすすめてもらった ｢相対性理論｣ の本を読んでいた。歯科医院の先生にもらった雑誌ではよく分からなかったので、他の本を読んで研究しようと思ったのだ。 

本を読みながら、ぼくはノートに ｢E=mc²｣ とメモをした。ふしぎな式だ。 

ぼくは父に方程式の理論を教えてもらったことがあるので、この式の意味が分かる。小学校二年生の頃まで、｢=｣ (イコール)は ｢答えは?｣という意味だと思っていた。 たとえば ｢2+2の答えは?｣というように。でもそれは間違いだった。｢=｣は、左側と右側が同じ値になるという意味なのだった。 (P73)

｢この式の意味が分かる｣というので，エネルギーと質量と光速の関係のことかと思ったら，｢=｣という記号の意味のことだったので，肩透かしを食らった感じです．なぜこの等式が成り立つのかを見てみましょう．

[予備知識]

光子は質量を持たないので，質量を持つ粒子のエネルギーの式 $E=\frac{1}{2}mv^2$ や運動量の式 $p=mv$ は使えませんが ($m$は質量，$v$は速度)，波長と振動数から光子のエネルギーや運動量を表すことができます．

真空中の光子の速度$c$は，その波長を$\lambda$ (ラムダ)，振動数を$\nu$ (ニュー)として次式で表せます．$$c=\lambda\nu\tag{1}$$アインシュタインの光量子仮説より，光子のエネルギー$E$は，プランク定数を$h$，振動数を$\nu$として次式で表せます．$$E=h\nu\tag{2}$$光子の運動量$p$は，波長$\lambda$に反比例するので次式が成り立ちます．$$p=\frac{h}{\lambda}\tag{3}$$ $(2)$より$h=\frac{E}{\nu}$なので，これを$(3)$に代入し，$$p=\frac{E}{\lambda\nu}\tag{4}$$さらに$(1)$を$(4)$に代入すると，次の関係式が成り立ちます．$$p=\frac{E}{c}\tag{5}$$

[証明]

静止系 (観測者が止まっている場合の座標系) において，質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．

静止系

光子は質量を持ちませんが，光子を吸収したことによる物体の質量の増加量を1個につき$m$とすると，$$M+2m=M'\tag{A}$$

一方，運動系 (観測者が動いている場合の座標系) において、質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．下向きに速度$v$で動いている運動系から観測すると，物体も光子も上向きに速度$v$で動いているように見えます．

運動系

2個の光子の上向きの運動量は$$2\cdot p \cdot\sin\theta=2\cdot p \cdot\frac{v}{c}$$$(5)$をこの式に代入すると，$$2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}$$光子を吸収する前は，質量$M$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$Mv$を持ちます．光子を吸収した後は，質量$M'$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$M'v$を持ちます．運動量保存則より，$$Mv+2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}=M'v$$$$M+2\cdot \frac{E}{c^2} =M'\tag{B}$$$(A)と(B)$を比較して，$$m=\frac{E}{c^2}$$$$\therefore E=mc^2$$

[参考]　

文系編集者がわかるまで書き直した 世界一有名な数式 ｢$E=mc^2$｣ を証明する
福江 純 (著)　2020年　日本能率協会マネジメントセンター

アインシュタインによる$E=mc^2$の初等的証明

https://fujiwaratko.sakura.ne.jp/chocho/relativity/relativity3_a.html

小説 一次元の挿し木

松下龍之介 ‎ 2025年　宝島社文庫

半減期　DNA鑑定　二乗

2025年第23回『このミステリーがすごい！』大賞・文庫グランプリ受賞作です．大学院生の七瀬悠(はるか)が，200年前の人骨と4年前に失踪した妹の紫陽(しはる)のDNAが一致したという謎を究明しようとしたところ，殺人事件にまきこまれ，さらに自らも危険な目に会いながら真相に近づいていくという話です．

　すべての動植物は、生きている限り、内部に大気中と同濃度の放射性炭素を取りこんでいる。動植物が死に至ると、体内の放射性炭素は取りこまれなくなり、"半減期" に従って減りつづける。半減期とは、放射性物質の数が半分になるまでの期間を指し、これらは物質の種類によって異なる。放射性炭素の半減期は約五七三○年だ。つまり、 測定対象内部の放射性炭素の数がどれだけ減ったのかを数えれば、対象が生命活動を停止してからどれだけの年数が経っているのかがわかる、ということだ。(P53)

放射性元素の問題は，高校数学の教科書では指数･対数の練習問題で出てきます．このブログでは，カリウムの同位体の話が小説｢魔力の胎動｣に登場しました．

炭素の同位体には炭素12，炭素13，炭素14があり，そのうち放射性同位体である炭素14 (¹⁴Ｃ) は，生物体内に極微量 (通常の炭素の約1兆分の1)存在していますが，死亡すると減少していき，半減するのに5730年かかることから，化石などの年代測定に利用されています．元の量からどれぐらいの量に減ったら200年前と分かるのでしょうか，計算してみましょう．

生存時の炭素14の原子核数を$N_0$，半減期を$t_{1/2}$(年) とすると，$t$年後の原子核数$N$は次式で表されます．$$N=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}$$これに，$t_{1/2}=5730$，$t=200$を代入すると，$$N=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{200}{5730}}=N_0\times0.9760\cdots\cdots$$すなわち，炭素14の原子核の数は死後200年で生存時の97.6%に減っているということになります．

もちろん原子核の数は目で見て数えられません．加速器質量分析法(AMS法)というのを使うそうです．

◇

会話の中にこんな表現がありました．DNA鑑定について悠と石見崎唯(ゆい)の会話です．

「僕がおこなった鑑定は "マルチプレックスSTR解析" っていう、今の時代ではオーソドックスな方法。低く見積もっても四兆七千億人から一人を識別できる。犯罪捜査の現場でもよく使われている手法だ」
「四兆、ですか」(P113)

この｢4兆7千億｣という数字は小説｢確率捜査官 御子柴岳人 密室のゲーム｣にも登場しました．その時に，｢警察庁は2019年に新たな検査試薬を導入し，同じDNA型の出現頻度が565京人に1人となった｣ ことを述べました．この小説は2025年に発行されていますが，小説の舞台が2019年以前だとすれば，この数字のままでいいのかも知れません．

4兆7千億　⇒　565京

4.7×10¹²　⇒　5.65×10¹⁸

◇

こんな表現もありました．悠が失踪した紫陽の生存を諦めそうになった時に励まそうとする唯の言葉です．

「つまり私が言いたいのは――」
「『諦めるのはまだ早い』だろ」
　唯はにっこりと笑った。
「そういうことです。『早い』に二乗をかけてもいいくらい」(P125)

正しくは｢2乗をかける｣ではなく｢2乗する｣ですよね．｢『早い』を二乗してもいいくらい｣ とするべきですが，より強く気持ちを伝えるために敢えてこの表現を使ったのかも知れませんね．

xに2乗をかける　⇒　xを2乗する

[参考]

放射性炭素年代測定の概要
https://iaa-ams.co.jp/radiocarbon-dating/

小説 écriture 新人作家・杉浦李奈の推論

松岡圭祐　2021年　KADOKAWA

半径　円周率　偶数

新人作家の杉浦李奈が，盗作騒動に端を発した不可解な事件に巻き込まれ，その解明のために奮闘するという話です．李奈が問題の人物の新作を読んで修正すべき点を述べる場面です．

「クレーターの外周を、宇宙生物が四倍の速さで駆けめぐるんですよね? でも宇宙生物は一匹なので、余裕で脱出できます」
「杉浦さん」沙織はやれやれという顔になった。「数字は苦手?   嶋貫克樹はちゃんと計算してますのよ。わたしたちも確認してます。クレーターの半径が約一キロだから、半周は円周率の三・一四キロ。中心から宇宙生物がいるのとは逆方向に走っても、 確実に捕まって殺されてしまうの」
「クレーターの半径は一キロなんですか」
「そう。はっきり書いてなくても、描写からおおよその距離を読みとれない?」
「なら主人公はまず、クレーターの中心から半径約二百二十二メートルの円周上を走ります」
「はあ?」
「その約四・五倍がクレーターの周囲なので、主人公は中心を挟んだ直線上に、宇宙生物と向かい合えます。そこから宇宙生物と逆方向にまっすぐ走ればいいんです」
「･･････宇宙生物が追いつけない?」
「はい。捕まらずに脱出できます」
「だけど、あの、主人公にそんな計算なんかできないでしょ」
「計算しなきゃ脱出できないんじゃなくて、クレーターのなかをうろつくだけでも、 それぐらいの時間差に気づけるはずです。計算はあくまでその事実を裏付けるものです」
「半径一キロってのが問題なのよね? そうは書いてないでしょう」
半ばあきれながら李奈はきいた。「さっき一キロだと･･････」
「いいえ。明記してないんだから、なんとでも受けとりようがある」
「一キロでなくても同じことです。クレーターの中心から、半径の九分の二の円周上を走れば、やっぱり脱出できます」
「あなた数学が得意だったの?」

唐突に現れたこの文章を一度読み流しただけでは意味が分かりにくいですね．なぜ222mや4.5倍や$\frac{2}{9}$という値が出てきたのでしょうか．前後に関連した記述はありませんでした．この問題を考察してみましょう．

主人公(Main Charactor)をM，宇宙生物(Space Creature)をSとします．クレーターは平面上にある大円とし，Mは円の中心Cに，Sは大円周上の点Aにいます．Mの移動速度$v$に対し，Sの移動速度はその4倍なので$4v$です．

Sも自由に動けるとすると，MはすぐにSに捕まってしまうので，Sは大円の周上だけ移動できるものと思われます．

①Mが線分OB上だけ動けるとき
②Mが大円内を自由に動けるとき
(いずれも中心へ後戻りしないように動くものとします)

沙織は①の場合を考えていました．つまり，Mが中心Cから外周上の点Bまで半径1000m動く間に，Sはその4倍の4000m動けるので，Aから半周3140m先の点BにはMより先にSが到達しますから，MはSに捕まります．

李奈は②の場合を考えています．まずMがCからBに向かって222m進みます．その間にSは222×4=888m進んでいます．それからMは半径約222mの小円上を動きます．すると大円上を動くSの速さが4倍であっても，大円の半径が小円の半径の約4.5倍(≒1000÷222)なので，Mが小円を動く方が一定時間での回転数が多くなり，そのうちMは中心を挟んだ直線上にSと向かい合えます．そこからSと逆方向にまっすぐ移動すれば，外周までの距離は1000-222=778mで，その間にSは778×4=3112mしか進めない，すなわちMが大円の外に脱出できる3140m先の点までSは到達できません．半径が変わっても，大円の半径が小円の半径の4.5倍なら，すなわち小円の半径が大円の半径の$\frac{1}{4.5}=\frac{2}{9}$なら脱出できるというわけです．

ではもう少し正確に計算してみましょう．大円の半径を$R$，小円の半径を$r$，円周率を$\pi$として，Mが中心を挟んだ直線上にSと向かい合った後，ちょうどMとSが同時に同地点へ到達するときの方程式は次式になります．$$4(R-r)=\pi R$$これを$r$について解くと，$$r=\left( 1-\frac{\pi}{4} \right)R$$$1-\frac{\pi}{4} =0.2146......$なので，小円の半径が大円の半径の0.2146倍を超えるなら脱出できる，すなわち大円の半径が1000mのときは，小円の半径が214.6mを超えるなら脱出できるということになります．

ところが，$r$が250m以上になると，小円の半径が大円の半径の$\frac{1}{4}$以上になるので，Mが小円を動く方が，Sが大円上を動くより一定時間での回転数が少なくなり，Mは中心を挟んだ直線上にSと向かい合うことができません．Mが移動する間にSは外周上をその4倍進んでいて，その後Mが脱出しようとする点にはSが先に到達しますから，MはSに捕まってしまいます．

$r$がいろいろな値のときの様子が分かる図をGeogebraで作ってみました（こちら）．結果は次のようになります．

r=0.25のとき (単位はkm)

rの単位はkm

この作家は過去にも詳細を述べずに問題提起したことがあって，長時間悩まされたことがありました（笑）．

 

＜2026/03/10追記＞

上図を作成した時は，arcSB$=\pi－4r$，arcSD$=\pi$はすぐに分かりましたが，arcSCは少し面倒そうだったのでGeogebraで数値的に求めていました．

ここでは$OM=r$のとき，$\stackrel{\huge\frown}{BC}$を代数的に求めてみます．

円$O$の半径が1のとき，中心角をラジアンで表すと弧の長さと値が同じになりますから，$\stackrel{\huge\frown}{AS}=4r$なので，その中心角$\angle AOS=4r$，その円周角$\angle B=2r$．

$\stackrel{\huge\frown}{BC}=x$とおくと，その中心角$\angle BOC=x$，その円周角$\angle BSC=\frac{x}{2}$．

$\triangle MBS$の外角である$\angle OMS=2r+\frac{x}{2}$．

二等辺三角形$OBS$で$\angle B=\angle OSB=2r$だから，$\angle OSM=2r-\frac{x}{2}$．

ここで次の正接定理を使います．一般に△ABC (BC=$a$, CA=$b$, AB=$c$) において次式が成り立ちます．$$\boxed {\quad \quad \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}} \quad \quad }$$これに図の$\triangle OMS$の値$(a=1, \ b=r, \ A=2r+\frac{x}{2}, \ B=2r-\frac{x}{2})$を当てはめると，$$\frac{1-r}{1+r}=\frac{\tan \frac{x}{2}}{\tan 2r}$$ $$\tan \frac{x}{2}=\frac{1-r}{1+r} \tan 2r$$ $$\frac{x}{2}=\arctan \left( \frac{1-r}{1+r} \tan 2r \right)$$よって，次の式が得られます．$$\stackrel{\huge\frown}{BC}=x=2\arctan \left( \frac{1-r}{1+r} \tan 2r \right)$$なお，正接定理を知らなくても正弦定理を使う求め方もありますので，練習問題として考えてみてください．

因みに，この問題をChatGPTに解かせてみたら，2つの解答が出てきました．数値を確認したら異なる値になったので，さらに聞いてみたら，「私が述べた〇〇という説明は この問題には当てはまらず誤りでした。申し訳ありません。🙏」と表示されました．こんなこともあるんですね（笑）．

小説 変な地図

雨穴　2025年　双葉社

三角点

大学生の栗原文宣(ふみのぶ)が，妖怪の描かれた古地図を握りしめて祖母が不審死をしていたことを知り，実地調査をして謎を解き明かそうとする話です．

　三角点とは、全国10万か所に設置された、いわば『位置を示す目印』だ。これを参考にすることで、正確な位置を知ることができ、設計図から少しもズレることなく工事ができるのだ。
　では、三角点は建築のために存在するのか、といえばそうではない。三角点はもともと地図作成のために設置されたものだ。衛星技術がなかった時代、測量士はこれらを参考にしながら、土地の位置や形を手作業で調べ、図面に記していったという。

三角点は，地図上の大きな三角形の頂点にあたる場所に，上部に＋の切れ込みのある石を埋め込んで『位置を示す目印』として設置され，その緯度･経度が正確に求められていました．一等三角点から四等三角点まであり，一等は全国で973点，四等までだんだん増えて，全て合わせると10万点以上あるそうです．三角点マップを見ると日本列島が三角点で埋め尽くされています．

一等～三等三角点網のイメージ（国土地理院 Web Page より）

現代ではGPSがあるので必要ないですが，三角点は地図を作成するための三角測量に用いられていました．三角測量とは，三角形の1つの辺とその両端角を測定し，もう1点の位置を決定する方法です．

具体的には，上図の距離 $l$ と角$\alpha$，$\beta$を測定して，距離 $PA,\ PB,\ d$ を求めます．$$\sin \angle APB=\sin \{\pi-(\alpha+\beta)\}=\sin (\alpha+\beta)$$なので，正弦定理より$$ \frac{PA}{\sin \beta}=\frac{PB}{\sin \alpha}=\frac{l}{\sin (\alpha+\beta)}$$$$PA=\frac{\sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}l\ ,\quad PB=\frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha+\beta)}l$$$$d=PA\sin\alpha=PB\sin\beta=\frac{\sin \alpha\sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}l$$

[参考]

国土地理院　三角点とは
https://www.gsi.go.jp/sokuchikijun/sankaku-toha.html

実学としての和算
https://www.ndl.go.jp/math/s1/c7.html

小説 地の鳥 天の魚群

奥泉 光　2011年　幻戯書房

自然数　素数　合成数

｢深い穴｣

長編1つと短編2つが収録されている中の，最後のたった12ページの作品｢深い穴｣の中の話です．主人公の｢私｣が素数を含まない合成数の列について考察しています．

素数を含まぬ合成数の列は簡単な数式で人工的に作りえるというのである。かりに十個の連続する合成数が欲しければ、11!+2、11!+3･･････11!+11という風にすればよく、この十個の数は連続していてしかも絶対に素数ではない。むろんこれは十個に限らず、同じ方法を使うなら千個だろうが一兆個だろうがいくらでも連続する合成数の列を作りうるわけで、それどころか無限個でも可能になる理屈である。 

ここでは，自然数は0を含まないものとします．1より大きい自然数で，1とそれ自身の2つだけ約数を持つ自然数を素数といい，次のように無限に存在することが分かっています．$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots$$約数を3つ以上持つ自然数は合成数といい，やはり無限に続きます．すなわち，1より大きい自然数のうち素数でないものが合成数です．$$4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,  \dots$$$n!$ は，｢$n$の階乗｣と読み，$n$から1づつ減らして1まで掛けた数になります．$$n!=n\times(n-1)\times\dots\times3\times2\times1$$従って，$n!$は$n$以下の自然数すべてで割り切れます．本文中に

｢十個の連続する合成数が欲しければ、11!+2、11!+3･･････11!+11という風にすればよく｣ 

とありますが，$11!$ は$11$以下の自然数すべてで割り切れるので，それに $k \ (=2, 3, ･･･,11)$ を足したものは$k$で割り切れます．

ではなぜ $11!+1$ から始まらないのでしょうか．その理由は，$n!$は$n$以下の自然数すべてで割り切れるので，$n!+1$ は$1$でも割り切れますが，もともとどんな数も$1$で割り切れるので， $n!+1$ は素数にも合成数にもなり得るからです．

実際，$10!+1=3628801$ は $11×329891$ なので合成数ですが，$11!+1=39916801$ は素数 になります (このような $n!\pm1$ の形をした素数を階乗素数といいます)．なので，9個の連続する合成数を $10!+1$ で始めることはできますが，10個の連続する合成数を $11!+1$ からは始めることはできないのです．

どちらの場合であっても成り立つようにまとめると，次のようになります．

少なくとも$(n-1)$個の連続する合成数は次式で得られる$$n!+2, \   n!+3, \   \dots, \   n!+n$$

例えば，少なくとも5個の連続する合成数を得るには，$$6!+2,\   6!+3,\   6!+4,\   6!+5,\   6!+6$$とすれば，722, 723, 724, 725, 726 が得られます．

本文中にあるように ｢千個だろうが｣ 連続する合成数が欲しければ，$$1001!+2,\   1001!+3,\   \dots,\   1001!+1001$$とすればいいのですが，これらはそれぞれ2571桁の巨大な数になってしまうので，！を使わないで表すのは現実的ではありません．｢それどころか無限個でも可能になる理屈である｣ とありますが，実際，数式では表しようがないですね．

小説 1パーセントの教室

松村涼哉　2017年　KADOKAWA

需要供給曲線

これから不幸になる人間を好きになってしまうという高校生の日比野明日香に好きだと告白された同級生の雨ケ崎誠也が，不幸にならないために七転八倒するという話です．

  ｢伝えたいと思ったんです。雨ヶ崎先輩は、ずっと夢のために邁進してきたんですよね。英語、フランス語、中国語を身に付けて、経済学まで究めて。正直に言います。東京に進んでください。姉は、大学時代に遠距離になっても、それで雨ヶ崎先輩と別れるなんてありえませんから。 それくらい雨ヶ崎先輩が大好きですから｣ 

　フランス語?　中国語?　経済学?　オレが知っているのは、ボンジュール、ニーハオ、需要供給曲線だけだ。

需要供給曲線は，ミクロ経済学の用語です．過去に，大学入試センター試験 (大学入学共通テストの前身) の政治経済や現代社会でよく出題されていました．

商品の価格が安くなると需要が伸びるので，横軸に数量，縦軸に価格をとると，需要曲線のグラフは右下がりになり，供給曲線はその逆になります．供給曲線と需要曲線が交差する点を均衡点と呼び，このときの価格を均衡価格といいます．

入門レベルでは，分かりやすく線形のグラフ (一次関数) で描かれることが多いですが (下左図)，現実に即して表す場合は非線形のグラフ (曲線) が用いられ，指数関数や分数関数で近似されます (下右図)．

よくある需要供給曲線の例

現実に即した需要曲線の簡単な例を下のウェブページからデータを引用して，関数の式とグラフを見てみましょう．

車の (購入台数 $x$，価格(万円) $y$) $=(1, 300)$, $(2, 130)$, $(3, 60)$ を考えます．限界代替率逓減の法則 (物を多く消費すると満足度が下がるという法則) により，需要曲線上の各点での接線の傾きの絶対値 (満足度) はだんだん小さくなるので，原点に向かって凸なグラフになります．

上の3点の近くを通る指数関数を，"ke!san" というサイトの｢e指数回帰｣を利用して求め，グラフを描くと以下のようになります．$$y=663.8072 e^{-0.804718956x}$$

また，上の3点の近くを通る分数関数を，"ke!san" というサイトの｢逆数回帰｣を利用して求め，グラフを描くと以下のようになりました．$$y=-53.8461538+\frac{355.3846154}{x}$$

見た目はほとんど変わりませんね．3点における接線ベクトルを描き加えましたが，どちらも傾きの絶対値が小さくなっている様子が分かると思います．

[参考]

右下がりの需要曲線を導出する方法
https://kitaguni-economics.com/demand-curve/