小説 高宮麻綾の引継書

城戸川りょう　2025年　文藝春秋

必要条件　十分条件

社内ビジネスコンペで優勝した新規事業を不審な理由で親会社に潰されてしまった入社3年目のOL高宮麻綾が，本当の理由を調査していく中で過去に起こった事件の真相を明らかにしていくという話です．　

「事業が上手くいくために、高宮さんは何が必要だと思いますか」
「その事業の可能性を信じる、担当者の想いです」
   高宮は即答した。早乙女の目元が緩む。
「半分正解だと、私は思います」
   半分正解です、と言い切らなかったところに、この男の性格が表れていると思った。自分は今、目上の人に諭されているのではなく、同じ目線で対等に対話しようとされていると感じる。
「担当者の想いは必要条件です。それがなくては話にならない。でも、それで十分というわけではないと私は考えています。複数の目によって十分に議論がされ尽くしたか、自身とビジネス環境の現状を正しく認識できているか、先々の見通しに偏りはないか。それらをやり切ったと言える状態になって、初めてうまくいく可能性が高まる。そういうものだと思っています。そういう意味では、 事業が上手くいくために何が必要か、という質問も不適切だったかもしれません」

ビジネスで用いる｢必要条件｣や｢十分｣という用語は，数学における｢必要条件｣や｢十分条件｣とは少し異なるようです．

上の文章ではこう主張しています．事業が上手くいくためには｢担当者の想い｣が必要条件だが，さらに｢多角的議論｣，｢現状認識｣，｢将来予測｣もすることで初めて成功の可能性が高まる．すなわち，複数の必要条件によって十分といえる状態に近づくが，それで絶対に十分だとまでは言えない．

高校数学Ⅰで学習する｢命題｣は，正しい (真) か正しくない (偽) か明確に決まる文や式のことをいい，2つの条件p, qを用いて｢pならばq｣の形に表されることが多く，p⇒q とも書きます．例えば，｢$x=1⇒x^2=1$｣ は正しいので真の命題です．

命題 p⇒q が真であるとき，pはqであるための十分条件であり，qはpであるための必要条件であるといいます．p⇒q と q⇒p がともに真であるとき，すなわち p⇔q が成り立つとき，pはqであるための必要十分条件であるといいます．

例えば，｢$x^2=1⇒x=1$｣は $x^2=1$ だからといって $x=1$ とは限らない ($x=-1$の場合もある) ので偽の命題です．すると逆の｢$x=1⇒x^2=1$｣だけが正しいので，｢$x=1$｣は｢$x^2=1$｣であるための十分条件，｢$x^2=1$｣は｢$x=1$｣であるための必要条件となります．

大学入試問題になると問い方がそんなに単純ではありません．大学入学共通テスト数学IA (2025年度) の問題を見てみましょう．

最後になってようやく条件を判断する問題になります．そこまでの解答はここでは省略しますが，(2)の(ii)までを終えたところで①は次式になることが分かっています．

$(2x+5)\{(a+3)x-5\}=0$

これが$x=-\frac{5}{2}$だけを解に持つなら，$a=-3$ または $a=-\frac{19}{5}$ となるので，次の命題が真になります．

｢$a=-3$ または $a=-\frac{19}{5} ⇔$ ①の解は $x=-\frac{5}{2}$ だけ｣

なので，｢①の解は $x=-\frac{5}{2}$だけ $⇒a=-3$ ｣とは限りませんが，その逆 ｢$a=-3 ⇒$ ①の解は $x=-\frac{5}{2}$だけ｣ は成り立つので，$a=-3$ であることは①の解が $x=-\frac{5}{2}$ だけであるための十分条件であるが，必要条件ではないということになります．

[参考]

電数図書館
https://www.densu.jp/

小説 ペンギン･ハイウェイ

森見登美彦　2012年　角川文庫

相対性理論   $E=mc^2$

小学4年生のアオヤマ君が，街に突如出現したペンギンたちは歯科医院のお姉さんが関係しているらしいことを知り，その謎の解明のため調査研究をすることで成長していくという話です．

　ぼくはソファに座って、図書館の人にすすめてもらった「相対性理論」の本を読んでいた。歯科医院の先生にもらった雑誌ではよく分からなかったので、他の本を読んで研究しようと思ったのだ。
　本を読みながら、ぼくはノートに「E=mc²」とメモをした。ふしぎな式だ。
　ぼくは父に方程式の理論を教えてもらったことがあるので、この式の意味が分かる。小学校二年生の頃まで、「=」(イコール)は「答えは?」という意味だと思っていた。 たとえば「2+2の答えは?」というように。でもそれは間違いだった。「=」は、左側と右側が同じ値になるという意味なのだった。 (P73)

｢この式の意味が分かる｣というので，エネルギーと質量と光速の関係のことかと思ったら，｢=｣という記号の意味のことだったので，肩透かしを食らった感じです．なぜこの等式が成り立つのかを見てみましょう．

[予備知識]

光子は質量を持たないので，質量を持つ粒子のエネルギーの式 $E=\frac{1}{2}mv^2$ や運動量の式 $p=mv$ は使えませんが ($m$は質量，$v$は速度)，波長と振動数から光子のエネルギーや運動量を表すことができます．

真空中の光子の速度$c$は，その波長を$\lambda$ (ラムダ)，振動数を$\nu$ (ニュー)として次式で表せます．$$c=\lambda\nu\tag{1}$$アインシュタインの光量子仮説より，光子のエネルギー$E$は，プランク定数を$h$，振動数を$\nu$として次式で表せます．$$E=h\nu\tag{2}$$光子の運動量$p$は，波長$\lambda$に反比例するので次式が成り立ちます．$$p=\frac{h}{\lambda}\tag{3}$$ $(2)$より$h=\frac{E}{\nu}$なので，これを$(3)$に代入し，$$p=\frac{E}{\lambda\nu}\tag{4}$$さらに$(1)$を$(4)$に代入すると，次の関係式が成り立ちます．$$p=\frac{E}{c}\tag{5}$$

[証明]

静止系において，質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．

静止系

光子は質量を持ちませんが，光子を吸収したことによる物体の質量の増加量を1個につき$m$とすると，$$M+2m=M'\tag{A}$$

一方，運動系において、質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．下向きに速度$v$で動いている運動系から観測すると，物体も光子も上向きに速度$v$で動いているように見えます．

運動系

2個の光子の上向きの運動量は$$2\cdot p \cdot\sin\theta=2\cdot p \cdot\frac{v}{c}$$$(5)$をこの式に代入すると，$$2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}$$光子を吸収する前は，質量$M$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$Mv$を持ちます．光子を吸収した後は，質量$M'$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$M'v$を持ちます．運動量保存則より，$$Mv+2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}=M'v$$$$M+2\cdot \frac{E}{c^2} =M'\tag{B}$$$(A)と(B)$を比較して，$$m=\frac{E}{c^2}$$$$\therefore E=mc^2$$

[参考]　

文系編集者がわかるまで書き直した 世界一有名な数式 ｢$E=mc^2$｣ を証明する
福江 純 (著)　2020年　日本能率協会マネジメントセンター

アインシュタインによる$E=mc^2$の初等的証明

https://fujiwaratko.sakura.ne.jp/chocho/relativity/relativity3_a.html

小説 一次元の挿し木

松下龍之介 ‎ 2025年　宝島社文庫

半減期　DNA鑑定　二乗

2025年第23回『このミステリーがすごい！』大賞・文庫グランプリ受賞作です．大学院生の七瀬悠(はるか)が，200年前の人骨と4年前に失踪した妹の紫陽(しはる)のDNAが一致したという謎を究明しようとしたところ，殺人事件にまきこまれ，さらに自らも危険な目に会いながら真相に近づいていくという話です．

　すべての動植物は、生きている限り、内部に大気中と同濃度の放射性炭素を取りこんでいる。動植物が死に至ると、体内の放射性炭素は取りこまれなくなり、"半減期" に従って減りつづける。半減期とは、放射性物質の数が半分になるまでの期間を指し、これらは物質の種類によって異なる。放射性炭素の半減期は約五七三○年だ。つまり、 測定対象内部の放射性炭素の数がどれだけ減ったのかを数えれば、対象が生命活動を停止してからどれだけの年数が経っているのかがわかる、ということだ。(P53)

放射性元素の問題は，高校数学の教科書では指数･対数の練習問題で出てきます．このブログでは，カリウムの同位体の話が小説｢魔力の胎動｣に登場しました．

炭素の同位体には炭素12，炭素13，炭素14があり，そのうち放射性同位体である炭素14 (¹⁴Ｃ) は，生物体内に極微量 (通常の炭素の約1兆分の1)存在していますが，死亡すると減少していき，半減するのに5730年かかることから，化石などの年代測定に利用されています．元の量からどれぐらいの量に減ったら200年前と分かるのでしょうか，計算してみましょう．

生存時の炭素14の原子核数を$N_0$，半減期を$t_{1/2}$(年) とすると，$t$年後の原子核数$N$は次式で表されます．$$N=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}$$これに，$t_{1/2}=5730$，$t=200$を代入すると，$$N=N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{200}{5730}}=N_0\times0.9760\cdots\cdots$$すなわち，炭素14の原子核の数は死後200年で生存時の97.6%に減っているということになります．

もちろん原子核の数は目で見て数えられません．加速器質量分析法(AMS法)というのを使うそうです．

◇

会話の中にこんな表現がありました．DNA鑑定について悠と石見崎唯(ゆい)の会話です．

「僕がおこなった鑑定は "マルチプレックスSTR解析" っていう、今の時代ではオーソドックスな方法。低く見積もっても四兆七千億人から一人を識別できる。犯罪捜査の現場でもよく使われている手法だ」
「四兆、ですか」(P113)

この｢4兆7千億｣という数字は小説｢確率捜査官 御子柴岳人 密室のゲーム｣にも登場しました．その時に，｢警察庁は2019年に新たな検査試薬を導入し，同じDNA型の出現頻度が565京人に1人となった｣ ことを述べました．この小説は2025年に発行されていますが，小説の舞台が2019年以前だとすれば，この数字のままでいいのかも知れません．

4兆7千億　⇒　565京

4.7×10¹²　⇒　5.65×10¹⁸

◇

こんな表現もありました．悠が失踪した紫陽の生存を諦めそうになった時に励まそうとする唯の言葉です．

「つまり私が言いたいのは――」
「『諦めるのはまだ早い』だろ」
　唯はにっこりと笑った。
「そういうことです。『早い』に二乗をかけてもいいくらい」(P125)

正しくは｢2乗をかける｣ではなく｢2乗する｣ですよね．｢『早い』を二乗してもいいくらい｣ とするべきですが，より強く気持ちを伝えるために敢えてこの表現を使ったのかも知れませんね．

xに2乗をかける　⇒　xを2乗する

[参考]

放射性炭素年代測定の概要
https://iaa-ams.co.jp/radiocarbon-dating/

小説 écriture 新人作家・杉浦李奈の推論

松岡圭祐　2021年　KADOKAWA

半径　円周率　偶数

新人作家の杉浦李奈が，盗作騒動に端を発した不可解な事件に巻き込まれ，その解明のために奮闘するという話です．李奈が問題の人物の新作を読んで修正すべき点を述べる場面です．

「クレーターの外周を、宇宙生物が四倍の速さで駆けめぐるんですよね? でも宇宙生物は一匹なので、余裕で脱出できます」
「杉浦さん」沙織はやれやれという顔になった。「数字は苦手?   嶋貫克樹はちゃんと計算してますのよ。わたしたちも確認してます。クレーターの半径が約一キロだから、半周は円周率の三・一四キロ。中心から宇宙生物がいるのとは逆方向に走っても、 確実に捕まって殺されてしまうの」
「クレーターの半径は一キロなんですか」
「そう。はっきり書いてなくても、描写からおおよその距離を読みとれない?」
「なら主人公はまず、クレーターの中心から半径約二百二十二メートルの円周上を走ります」
「はあ?」
「その約四・五倍がクレーターの周囲なので、主人公は中心を挟んだ直線上に、宇宙生物と向かい合えます。そこから宇宙生物と逆方向にまっすぐ走ればいいんです」
「･･････宇宙生物が追いつけない?」
「はい。捕まらずに脱出できます」
「だけど、あの、主人公にそんな計算なんかできないでしょ」
「計算しなきゃ脱出できないんじゃなくて、クレーターのなかをうろつくだけでも、 それぐらいの時間差に気づけるはずです。計算はあくまでその事実を裏付けるものです」
「半径一キロってのが問題なのよね? そうは書いてないでしょう」
半ばあきれながら李奈はきいた。「さっき一キロだと･･････」
「いいえ。明記してないんだから、なんとでも受けとりようがある」
「一キロでなくても同じことです。クレーターの中心から、半径の九分の二の円周上を走れば、やっぱり脱出できます」
「あなた数学が得意だったの?」

唐突に現れたこの文章を一度読み流しただけでは意味が分かりにくいですね．なぜ222mや4.5倍や$\frac{2}{9}$という値が出てきたのでしょうか．前後に関連した記述はありませんでした．この問題を考察してみましょう．

主人公(Main Charactor)をM，宇宙生物(Space Creature)をSとします．クレーターは平面上にある大円とし，Mは円の中心Cに，Sは大円周上の点Aにいます．Mの移動速度$v$に対し，Sの移動速度はその4倍なので$4v$です．

Sも自由に動けるとすると，MはすぐにSに捕まってしまうので，Sは大円の周上だけ移動できるものと思われます．

①Mが線分OB上だけ動けるとき
②Mが大円内を自由に動けるとき
(いずれも中心へ後戻りしないように動くものとします)

沙織は①の場合を考えていました．つまり，Mが中心Cから外周上の点Bまで半径1000m動く間に，Sはその4倍の4000m動けるので，Aから半周3140m先の点BにはMより先にSが到達しますから，MはSに捕まります．

李奈は②の場合を考えています．まずMがCからBに向かって222m進みます．その間にSは222×4=888m進んでいます．それからMは半径約222mの小円上を動きます．すると大円上を動くSの速さが4倍であっても，大円の半径が小円の半径の約4.5倍(≒1000÷222)なので，Mが小円を動く方が一定時間での回転数が多くなり，そのうちMは中心を挟んだ直線上にSと向かい合えます．そこからSと逆方向にまっすぐ移動すれば，外周までの距離は1000-222=778mで，その間にSは778×4=3112mしか進めない，すなわちMが大円の外に脱出できる3140m先の点までSは到達できません．半径が変わっても，大円の半径が小円の半径の4.5倍なら，すなわち小円の半径が大円の半径の$\frac{1}{4.5}=\frac{2}{9}$なら脱出できるというわけです．

ではもう少し正確に計算してみましょう．大円の半径を$R$，小円の半径を$r$，円周率を$\pi$として，Mが中心を挟んだ直線上にSと向かい合った後，ちょうどMとSが同時に同地点へ到達するときの方程式は次式になります．$$4(R-r)=\pi R$$これを$r$について解くと，$$r=\left( 1-\frac{\pi}{4} \right)R$$$1-\frac{\pi}{4} =0.2146......$なので，小円の半径が大円の半径の0.2146倍を超えるなら脱出できる，すなわち大円の半径が1000mのときは，小円の半径が214.6mを超えるなら脱出できるということになります．

ところが，$r$が250m以上になると，小円の半径が大円の半径の$\frac{1}{4}$以上になるので，Mが小円を動く方が，Sが大円上を動くより一定時間での回転数が少なくなり，Mは中心を挟んだ直線上にSと向かい合うことができません．Mが移動する間にSは外周上をその4倍進んでいて，その後Mが脱出しようとする点にはSが先に到達しますから，MはSに捕まってしまいます．

$r$がいろいろな値のときの様子が分かる図をGeogebraで作ってみました（こちら）．結果は次のようになります．

r=0.25のとき (単位はkm)

rの単位はkm

この作家は過去にも詳細を述べずに問題提起したことがあって，長時間悩まされたことがありました（笑）．

 

＜2026/03/10追記＞

上図を作成した時は，arcSB$=\pi－4r$，arcSD$=\pi$はすぐに分かりましたが，arcSCは少し難しそうだったのでGeogebraで数値的に求めていました．

ここでは$OM=r$のとき，$\stackrel{\huge\frown}{BC}$を代数的に求めてみます．

円$O$の半径が1のとき，中心角をラジアンで表すと弧の長さと値が同じになりますから，$\stackrel{\huge\frown}{AS}=4r$なので，その中心角$\angle AOS=4r$，その円周角$\angle B=2r$．

$\stackrel{\huge\frown}{BC}=x$とおくと，その中心角$\angle BOC=x$，その円周角$\angle BSC=\frac{x}{2}$．

$\triangle MBS$の外角である$\angle OMS=2r+\frac{x}{2}$．

二等辺三角形$OBS$で$\angle B=\angle OSB=2r$だから，$\angle OSM=2r-\frac{x}{2}$．

ここで次の正接定理を使います．一般に△ABC (BC=$a$, CA=$b$, AB=$c$) において次式が成り立ちます．$$\boxed {\quad \quad \frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan \frac{A-B}{2}}{\tan \frac{A+B}{2}} \quad \quad }$$これに図の$\triangle OMS$の値$(a=1, \ b=r, \ A=2r+\frac{x}{2}, \ B=2r-\frac{x}{2})$を当てはめると，$$\frac{1-r}{1+r}=\frac{\tan \frac{x}{2}}{\tan 2r}$$ $$\tan \frac{x}{2}=\frac{1-r}{1+r} \tan 2r$$ $$\frac{x}{2}=\arctan \left( \frac{1-r}{1+r} \tan 2r \right)$$よって，次の式が得られます．$$\stackrel{\huge\frown}{BC}=x=2\arctan \left( \frac{1-r}{1+r} \tan 2r \right)$$なお，正接定理を知らなくても正弦定理を使う求め方もありますので，練習問題として考えてみてください．

因みに，この問題をChatGPTに解かせてみたら，2つの解答が出てきました．数値を確認したら異なる値になったので，さらに聞いてみたら，「私が述べた〇〇という説明は この問題には当てはまらず誤りでした。申し訳ありません。🙏」と表示されました．こんなこともあるんですね（笑）．

小説 変な地図

雨穴　2025年　双葉社

三角点

大学生の栗原文宣(ふみのぶ)が，妖怪の描かれた古地図を握りしめて祖母が不審死をしていたことを知り，実地調査をして謎を解き明かそうとする話です．

三角点とは、全国10万か所に設置された、いわば『位置を示す目印』だ。これを参考にすることで、正確な位置を知ることができ、設計図から少しもズレることなく工事ができるのだ。

では、三角点は建築のために存在するのか、といえばそうではない。三角点はもともと地図作成のために設置されたものだ。衛星技術がなかった時代、測量士はこれらを参考にしながら、土地の位置や形を手作業で調べ、図面に記していったという。

三角点は，地図上の大きな三角形の頂点にあたる場所に，上部に＋の切れ込みのある石を埋め込んで『位置を示す目印』として設置され，その緯度･経度が正確に求められていました．一等三角点から四等三角点まであり，一等は全国で973点，四等までだんだん増えて，全て合わせると10万点以上あるそうです．三角点マップを見ると日本列島が三角点で埋め尽くされています．

一等～三等三角点網のイメージ（国土地理院 Web Page より）

現代ではGPSがあるので必要ないですが，三角点は地図を作成するための三角測量に用いられていました．三角測量とは，三角形の1つの辺とその両端角を測定し，もう1点の位置を決定する方法です．

具体的には，上図の距離 $l$ と角$\alpha$，$\beta$を測定して，距離 $PA,\ PB,\ d$ を求めます．$$\sin \angle APB=\sin \{\pi-(\alpha+\beta)\}=\sin (\alpha+\beta)$$なので，正弦定理より$$ \frac{PA}{\sin \beta}=\frac{PB}{\sin \alpha}=\frac{l}{\sin (\alpha+\beta)}$$$$PA=\frac{\sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}l\ ,\quad PB=\frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha+\beta)}l$$$$d=PA\sin\alpha=PB\sin\beta=\frac{\sin \alpha\sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}l$$

[参考]

国土地理院　三角点とは
https://www.gsi.go.jp/sokuchikijun/sankaku-toha.html

実学としての和算
https://www.ndl.go.jp/math/s1/c7.html

小説 地の鳥 天の魚群

奥泉 光　2011年　幻戯書房

自然数　素数　合成数

｢深い穴｣

長編1つと短編2つが収録されている中の，最後のたった12ページの作品｢深い穴｣の中の話です．主人公の｢私｣が素数を含まない合成数の列について考察しています．

素数を含まぬ合成数の列は簡単な数式で人工的に作りえるというのである。かりに十個の連続する合成数が欲しければ、11!+2、11!+3･･････11!+11という風にすればよく、この十個の数は連続していてしかも絶対に素数ではない。むろんこれは十個に限らず、同じ方法を使うなら千個だろうが一兆個だろうがいくらでも連続する合成数の列を作りうるわけで、それどころか無限個でも可能になる理屈である。 

ここでは，自然数は0を含まないものとします．1より大きい自然数で，1とそれ自身の2つだけ約数を持つ自然数を素数といい，次のように無限に存在することが分かっています．$$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots$$約数を3つ以上持つ自然数は合成数といい，やはり無限に続きます．すなわち，1より大きい自然数のうち素数でないものが合成数です．$$4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20,  \dots$$$n!$ は，｢$n$の階乗｣と読み，$n$から1づつ減らして1まで掛けた数になります．$$n!=n\times(n-1)\times\dots\times3\times2\times1$$従って，$n!$は$n$以下の自然数すべてで割り切れます．本文中に

｢十個の連続する合成数が欲しければ、11!+2、11!+3･･････11!+11という風にすればよく｣ 

とありますが，$11!$ は$11$以下の自然数すべてで割り切れるので，それに $k \ (=2, 3, ･･･,11)$ を足したものは$k$で割り切れます．

ではなぜ $11!+1$ から始まらないのでしょうか．その理由は，$n!$は$n$以下の自然数すべてで割り切れるので，$n!+1$ は$1$でも割り切れますが，もともとどんな数も$1$で割り切れるので， $n!+1$ は素数にも合成数にもなり得るからです．

実際，$10!+1=3628801$ は $11×329891$ なので合成数ですが，$11!+1=39916801$ は素数 になります (このような $n!\pm1$ の形をした素数を階乗素数といいます)．なので，9個の連続する合成数を $10!+1$ で始めることはできますが，10個の連続する合成数を $11!+1$ からは始めることはできないのです．

どちらの場合であっても成り立つようにまとめると，次のようになります．

少なくとも$(n-1)$個の連続する合成数は次式で得られる$$n!+2, \   n!+3, \   \dots, \   n!+n$$

例えば，少なくとも5個の連続する合成数を得るには，$$6!+2,\   6!+3,\   6!+4,\   6!+5,\   6!+6$$とすれば，722, 723, 724, 725, 726 が得られます．

本文中にあるように ｢千個だろうが｣ 連続する合成数が欲しければ，$$1001!+2,\   1001!+3,\   \dots,\   1001!+1001$$とすればいいのですが，これらはそれぞれ2571桁の巨大な数になってしまうので，！を使わないで表すのは現実的ではありません．｢それどころか無限個でも可能になる理屈である｣ とありますが，実際，数式では表しようがないですね．

小説 1パーセントの教室

松村涼哉　2017年　KADOKAWA

需要供給曲線

これから不幸になる人間を好きになってしまうという高校生の日比野明日香に好きだと告白された同級生の雨ケ崎誠也が，不幸にならないために七転八倒するという話です．

  ｢伝えたいと思ったんです。雨ヶ崎先輩は、ずっと夢のために邁進してきたんですよね。英語、フランス語、中国語を身に付けて、経済学まで究めて。正直に言います。東京に進んでください。姉は、大学時代に遠距離になっても、それで雨ヶ崎先輩と別れるなんてありえませんから。 それくらい雨ヶ崎先輩が大好きですから｣ 

　フランス語?　中国語?　経済学?　オレが知っているのは、ボンジュール、ニーハオ、需要供給曲線だけだ。

需要供給曲線は，ミクロ経済学の用語です．過去に，大学入試センター試験 (大学入学共通テストの前身) の政治経済や現代社会でよく出題されていました．

商品の価格が安くなると需要が伸びるので，横軸に数量，縦軸に価格をとると，需要曲線のグラフは右下がりになり，供給曲線はその逆になります．供給曲線と需要曲線が交差する点を均衡点と呼び，このときの価格を均衡価格といいます．

入門レベルでは，分かりやすく線形のグラフ (一次関数) で描かれることが多いですが (下左図)，現実に即して表す場合は非線形のグラフ (曲線) が用いられ，指数関数や分数関数で表されることが多いようです (下右図)．

よくある需要供給曲線の例

現実に即した需要曲線の簡単な例を下のウェブページからデータを引用して，関数の式とグラフを見てみましょう．

車の (購入台数 $x$，価格(万円) $y$) $=(1, 300)$, $(2, 130)$, $(3, 60)$ を考えます．限界代替率逓減の法則 (物を多く消費すると満足度が下がるという法則) により，需要曲線上の各点での接線の傾きの絶対値 (満足度) はだんだん小さくなるので，原点に向かって凸なグラフになります．

上の3点の近くを通る指数関数を，"ke!san" というサイトの｢e指数回帰｣を利用して求め，グラフを描くと以下のようになります．$$y=663.8072 e^{-0.804718956x}$$

また，上の3点の近くを通る分数関数を，"ke!san" というサイトの｢逆数回帰｣を利用して求め，グラフを描くと以下のようになりました．$$y=-53.8461538+\frac{355.3846154}{x}$$

見た目はほとんど変わりませんね．3点における接線ベクトルを描き加えましたが，どちらも傾きの絶対値が小さくなっている様子が分かると思います．

[参考]

右下がりの需要曲線を導出する方法
https://kitaguni-economics.com/demand-curve/

小説 令和中野学校

松岡圭祐　2025年　KADOKAWA

ロジスティック回帰分析

大学受験に失敗した燈田華南 (とうだかな) が，諜工員を養成する特別施設である令和中野学校にスカウトされ、他国のスパイ活動を防ぐ特殊部隊の一員となり，高度なスキルを身につけていくという話です．

波戸内の目は神崎に移った。「きみは?  いまロジスティック回帰分析の授業中だろう。またサボってるのか。射撃の腕を磨いても、ほかの出席率が悪ければどうにもならんぞ」

回帰分析とは，いくつかの要因によって起こる結果を数式 (回帰式) から予測することで，線形回帰分析と非線形回帰分析とがあります．

線形回帰分析の最も簡単な例として，100m走の記録 $x$ (要因) から走り幅跳びの記録 $y$ (結果) の関係を一次関数で表して予測するという場合があります．これを単回帰分析といい，$$y=a_{0}+a_{1}x$$という回帰式から結果を予測します (回帰式はいくつかのデータがあればグラフ電卓やPC等で求められます)．例えばあるデータから得られた回帰式が$$y=18-x$$だったとすると，100m走 $x=12$ (秒) の人は，走り幅跳びで

$y=18-12＝6$ (m)

跳べると予測できます．ただし，実際は100mを2秒で走る人はいないし，18秒で走る人の走り幅跳びの記録が0mということはないので，適切な範囲でのみ予測が可能になります．

100m走と走り幅跳び

また，身長$x_1$と肥満度$x_2$から体重$y$を予測するというように，要因が複数になる場合は重回帰分析といい，回帰式は次式になります．$$y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}$$

ロジスティック回帰分析は，非線形回帰分析のひとつで，結果を確率で求めます．例えば1日の学習時間 $x_1$から (またはさらに部活動参加の有無 $x_2$から) ｢合格か不合格か｣ のどちらかを判断するというように，1つ (または複数) の要因からある結果が起こる確率を求め，その結果が起こるか否かを推測する方法で，結果を0から1の間の値にするために次のロジスティック関数を使います．$$y=\frac{1}{1+e^{-(a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n})}}$$例えばあるデータから得られた回帰式が$$y=\frac{1}{1+e^{-(-3.5+0.8x)}}$$だったとすると，1日の学習が $x=6$ (時間)の人は，$$y=\frac{1}{1+e^{-(-3.5+0.8\times 6)}}=0.6$$ の確率で合格できると予測できます．ただし，実際は学習時間が長ければ長いほど合格率が高くなるわけでもないので，適切な範囲でのみ予測が可能になります．

学習時間と合格率

以上，分かり易くするために最も簡単な例をあげました．実際は多数の要因が影響するので，回帰式はもっと複雑になりますが，グラフ電卓やPC等を使うことによって，容易に結果を得ることができます．

[参考]

ロジスティック回帰分析とは？用途、計算方法をわかりやすく解説！

https://gmo-research.ai/research-column/logistic-regression-analysis

小説 数は無限の名探偵

2022年　朝日新聞出版

数学の話題を集めた小中学生向け短編小説集です．

第1話　｢事件÷出汁＝名探偵登場｣

はやみねかおる

中学2年生の飴野千歳 (あめのちとせ) が，数学の得意な同級生真島尽 (ましまじん) に数学の話で振り回される話です．

ますます首をひねるわたしに，真島くんは楽しそうに言った．
｢どこがおかしいか，自分で考えないとぼくみたいな人間にだまされるよ｣
いたずらっ子の笑顔で言った． 

結局この話の中に正解が書かれていなかったので，ここで確認してみましょう．数式のはじめの2行の右辺にある｢$\cdots\cdots$｣は，小数点以下に同じ数字が無限に続くという意味で，公比0.1の無限等比級数になります．その和は，$$0.1111111\cdots\cdots=\frac{0.1}{1-0.1}=\frac{1}{9}$$ $$0.9999999\cdots\cdots=\frac{0.9}{1-0.1}=1$$となって，上図の数式の1行目と2行目は正しい等式です．しかし，その後の｢1000000$\cdots\cdots$｣とか｢999999$\cdots\cdots$｣という表現は，小数点なしで同じ数字が無限に続くという意味になって ∞ の状態になってしまうので，｢両辺を1000000$\cdots\cdots$倍｣するとか｢両辺から999999$\cdots\cdots$を引く｣ということはできません．ここがおかしいところです．

仮に，｢$\cdots\cdots$｣をとって｢両辺を1000000倍｣したとすると，$$1000000=9999999$$ではなく，$$1000000=999999.9999999\cdots\cdots$$となりますから，｢両辺から999999を引く｣と，$$1=0.9999999\cdots\cdots$$となって式の2行目に戻ってしまいます．

◇

第4話　｢ソフィーにおまかせ｣

青柳碧人

ソフィー･ジェルマン素数 (Sophie Germain prime)

フランスの女性数学者ソフィー･ジェルマンの13歳のころと現代の14歳の少女との時空を超えた友情のお話です．たまたまですが，同じ年に｢天球のハルモニア｣というソフィー･ジェルマンの少女時代を描いた漫画が発行されています．

｢Pが素数で、(2P+1)も素数である場合、このPを『ソフィー・ジェルマン素数』という｣ のだそうです。ソフィーが提唱したこの素数は、暗号理論において、素因数分解アルゴリズムの攻撃に耐えうる整数Nを決定するのにとても便利･･････なのだそうですが、何を言っているのか、実は、書いている僕にもよくわかりません。（著者）

この文章の意味を考えてみましょう．まずソフィー･ジェルマン素数ですが，pも2p+1も素数であるとき， pをソフィー･ジェルマン素数といい，2p+1を安全素数 (safe prime) といいます．次の表の〇のような場合です．

素数                                      2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

ソフィー･ジェルマン素数       2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, ....

安全素数                                    5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, ...

 上の文章中，｢素因数分解アルゴリズム｣ とは，｢こうすれば素因数分解ができるという手順｣ のことで，その ｢攻撃に耐える｣ ということは ｢素因数分解されにくい｣ という意味になります．

RSAという暗号を作る際，素因数分解するのが難しい巨大な数を使うほど解読されにくいということを利用します．
・大きな素因数を持つ数は素因数分解が困難
・大きな安全素数2p+1は，2pがpという大きな素因数を持つ（例えば上の表で，2p+1=107のとき，2pがp=53という大きな素因数を持つ）
なので，安全素数は ｢素因数分解されにくい整数を求めるのに有効｣，すなわち ｢素因数分解アルゴリズムの攻撃に耐えうる整数を決定するのにとても便利｣ ということになります．

ところで，Wikipediaの｢ソフィー･ジェルマン素数｣のページに，説明なしで ｢2と3を除くソフィー･ジェルマン素数は6n−1の形の素数である｣ と書かれています．証明してみましょう．

(証明)　すべての整数は6m, 6m+1, 6m+2, 6m+3, 6m+4, 6m+5 (mは整数)と書ける
このうち3より大きい素数は6m+1または6m+5の形しかない
p=6m+1のとき，2p+1=2(6m+1)+1=12m+3 は3の倍数となり素数にならない
p=6m+5のとき，2p+1=2(6m+5)+1=12m+11 はmの値によって素数になる可能性がある
よって，2と3を除くソフィー･ジェルマン素数は6m+5(または6n−1)の形しかない　(QED)

1995年にワイルズによって完全に証明されたフェルマーの最終定理 (Fermat's Last Theorem)は，｢3以上の整数$n$について，$x^n + y^n = z^n$ を満たす0でない整数の組$(x, y, z)$は存在しない｣ （以下FLT(n)と表す）という定理で，フェルマー自身が証明したFLT(4)については，ドラマ｢フェルマーの料理｣に出てきました．ソフィー･ジェルマンはソフィー･ジェルマンの定理を用いてFLT(p)のひとつのケースが真であることを証明したそうです．

[参考]

Wikipedia ソフィー･ジェルマン素数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%B4%A0%E6%95%B0

ソフィー・ジェルマン素数と安全素数
https://qiita.com/kyamaz/items/8ea10cc461b6750a8f90

ソフィー・ジェルマンの定理
https://integers.hatenablog.com/entry/2017/04/02/011105

小説 水鏡推理Ⅶ ソヴリン・メディスン

松岡圭祐　2025年　角川文庫

判断推理問題

水鏡推理Ⅰ～Ⅳは以前ここに書きました．国家公務員一般職で，文科省の研究不正の追及を担う専門的な部署に所属する水鏡瑞希(みかがみみずき)がエセ研究開発のねつ造を見破っていくというシリーズで，今回は8年ぶりの書下ろし新作です．論理的思考力を測るために公務員試験でよく出題される判断推理問題がいくつか登場しました．

1)    同期女子2名があるK-POPグループについて話しているのを聞き，瑞希がそのメンバーの担当と年齢を当てる場面です．

「でさー」仁美は目を細めていた。「メンバーって、ひとりも年齢かぶってないよね?   十七から二十歳まで、四人がきれいに分かれてる」

「そうだっけ?」文香が唐揚げを口に運びながら応じた。「サンウ推しだから、ほかはわかんない。でもジュノもヨンファも十七じゃなかったよね?」

「そりゃそう。ジュンギは十九だし」

「知ってるってば。ラップポジションは二十歳の･･････ええと」

　仁美がけらけらと笑った。「年齢とポジションがでてきて、誰だかわかんないの?  ダンスポジションは十八だよ?」

　文香は真顔になった。「メインボーカルが十九じゃないってのは知ってる」

「リードボーカルは?」

「知らない」文香がそういうと、ふたりはまた笑い転げた。

ここまで聞いたところで，瑞希の答はこうでした．

「メインボーカルは十九じゃなくて、ラップが二十、ダンスが十八でしょ。消去法でメインボーカルが十七、リードボーカルが十九だとわかる。ジュノもヨンファも十七じゃないし、ジュンギは十九だから、また消去法で十七のメインボーカルはサンウ。仁美のスマホカバーに용화(ヨンファ)とあるから、十八のダンスは推しのヨンファ」

｢なんや，スマホカバー見たんかい！｣と言いたくなりますよね．それで仁美の推しはヨンファだと分かるのはいいとして，それが｢二十歳のラップポジション｣ではなく，｢十八のダンスポジション｣の方だということは，これまでのヒントだけでは分からないないのではないでしょうか．

ヒントを箇条書きでまとめると，
①4人の名はサンウ，ジュノ，ヨンファ，ジュンギ．17～20歳で異なる年齢
②ジュノもヨンファも17歳ではない．ジュンギは19歳　→なのでサンウは17歳
③ラップは20歳，ダンスは18歳で，メインは19歳ではないから17歳　→なのでリードは19歳

つまり，この同期女子2名の会話からは，メインボーカルは17歳のサンウ，リードボーカルは19歳のジュンギと分かりますが，仁美の推しがヨンファだからといって，ラップとダンスがジュノとヨンファのどちらなのかは確定できませんよね．

◇

2)    あるスーパーのパートタイムのシフトの話から，瑞希が探している人物が何曜日に働いているかを推理する場面です．

　店長はレジのなかでノートを開いた。「ええと。うちでは男女でシフトが分かれていてね。募集してるのは平日。いま女性は武内さんと･･････」

　女性従業員のネームプレートには武内とあった。武内がレジに並んで入った。「田村さんと中山さん、原さんです。月から金で四人」

　ぶつぶつと店長が武内にいった。「週三ずつだな?」

「ええ。月金がふたりで木が三人」

「月金は同じメンバーで足りてるな? 火水も同じか?」

「いえ。火曜には原さんが加わってたんじゃないかと･････。わたしはいないのでよく知りませんが」

この会話の後， 瑞希は目的の人物がこの日にこのスーパーにいることがわかります．

「あれが江国芳恵（偽名：中山）なのか?  なんでわかった?」

「平日は火水木の出勤だからです」瑞希は息を弾ませつつ早口に応じた。「月水金にふたり、火木に三人の出勤。月金は同じメンバーふたり。火曜の三人のうちひとりは原さんで、水曜は欠勤だけど、ほかのふたりは出勤。武内さんも水曜欠勤。条件を当てはめていけばわかるでしょ」

読み流しただけでは分からなかったので，条件を箇条書きにしてシフト表を作ってみました．

①月金と火水は2人が同じ．火は原を加えて3，水は2

②火は原がいて武内はいないので，他の2人は田村･中山

③すると月金は原･武内で，火水の原以外は田村･中山

④なので木は武内･田村･中山

というわけで，中山の出勤日は火水木になります．因みにこの日は武内が出勤しているので木曜日だったのでしょう．

◇

3)    上司の瀬岐(せき)が瑞希に難しい問題を出し，解けなかったら解説してやることでいいところを見せようとする場面です．

　瀬岐がスマホの表示を読みあげた。「内科医のうち四人が各々ふたつずつ専門を掛け持ちしてる。年四回のシンポジウムに出席したけど、春は循環器内科医、呼吸器内科医、消化器内科医の出席。夏が消化器内科医、内分泌・代謝内科医、腎臓内科医。秋は神経内科医、内分泌・代謝内科医、呼吸器内科医。冬が神経内科医、血液内科医、アレルギー科医」

　瑞希は頭のなかに情報を刻みこんでいった。「掛け持ちの四人以外にも医師たちがいて、シンポジウムに出席したんですね。それで?」

「皆勤賞はひとりだけ。二回出席がひとりと三回出席がふたり」

「なるほど。問題はなんですか?」

「三回出席したのは消化器内科医、循環器内科医、内分泌・代謝内科医の誰か。あるいは二回出席したのは血液内科医、腎臓内科医のいずれか。どれが可能性があると思う?」 

専門科の名前だけでもややこしいですね．瑞希は次のように即座に答えてしまいます．まず自分で考えた後で正解を見てください．

「二回出席したのは、血液内科医と腎臓内科医のどっちでもないでしょう。だから消化器内科医、循環器内科医、内分泌・代謝内科医のうち、誰が三回出席したかですよね」
「早いな･･････。なんでそう簡単に絞りこめる?」
「掛け持ちの四人のうち、四回出席したひとりが呼吸器内科医兼消化器内科医なら、春に重複してるから矛盾しますよね。支障がないのは消化器内科医兼神経内科医だった場合。この人が四回出席です。二回出席したのが誰なのかは特定できません」
「もうついていけなくなったな」
「確定できることにだけ的を絞ればいいんです。三回出席したのは呼吸器内科医と内分泌・代謝内科医ですけど、それぞれが兼ねてるもうひとつの専門分野は不明です。だけど問題に当てはめれば、内分泌・代謝内科医が三回出席。これが答えです」
「みごと正解だよ」

やはり文章だけでは分かりにくいので，表にして分かったことを箇条書きにしてみました．アルファベットは専門科の頭文字です．（例えば消化器内科はSho，神経内科はShi）

①皆勤者は掛け持ちしている2つの専門に2回ずつ出席しなければならないので，その専門は｢Sho兼Shi｣しかない．

②3回出席者は，掛け持ちしている2つの専門のうちのひとつで2回出席しなければならないので，｢NaまたはKo｣しかない．

③2回出席者はいくつかの場合があって特定できない．

④問題文より｢3回出席したのはSho、Ju、Naの誰か｣で，②より｢NaまたはKo｣だから，Naすなわち内分泌・代謝内科医の3回出席が確定する．

上の瑞希の台詞の中で，最初の｢二回出席したのは、･･･ 誰が三回出席したかですよね｣の部分は不要だと思いますがいかがでしょうか？

[参考]

<水鏡瑞希が満点の>｢判断推理｣って何？
https://kodanshabunko.com/suikyo/what.html#

小説 確率捜査官 御子柴岳人 密室のゲーム

神永 学　2011年　KADOKAWA

確率　ゲーム理論　ベイズ推定

警視庁の特殊取調対策班に所属することになった新米刑事新妻友紀(にいづまともき)とオブザーバーの数学者御子柴岳人(みこしばがくと)が数学を駆使して事件を解決していくという話です．

｢現在の警察のDNA鑑定で、別人のDNAが一致する確率を知っているか?」

｢いえ」

｢四兆七千億分の一だ」　(P149)

｢島田の所持していた下着は、四兆七千億分の一の確率で被害者のものだ。これは絶対に変わらない｣　(P245) 

この後半の｢四兆七千億分の一の確率で被害者のものだ｣という文章はおかしいですね．　被害者のものである確率が非常に低い，すなわち被害者のものではないという意味にとれます．

実際は ｢被害者のDNA型と一致する別人がいる確率が四兆七千億分の一｣なので，｢下着から採取したDNA型と被害者のDNA型が一致した｣ すなわち｢下着はほぼ100％の確率で被害者のものだ｣とするべきでしょう．

ところで，別人のDNA型の一致確率が｢四兆七千億分の一｣というのは，誰にでも当てはまる値と誤解しそうですが，実は個人によって違いがあるので，一致確率は｢高くても四兆七千億分の一｣という意味になります．

DNAを構成する遺伝子座には，4種類の塩基（アデニンA，チミンT，グアニンG，シトシンC）が並んでいて，その配列の繰り返し数は個別に違いがあります．

生物図表オンライン(浜島書店)より

採取したDNAの染色体上にある遺伝子座のうち特定の16個について，それと同じ塩基配列になる確率をすべて掛け合わせると，すべて一致する確率が得られ，約4兆7千億分の1になります．

＜検証＞

遺伝子座16個の場合．16乗して4兆7千億分の1になる値は，$$ \sqrt[16] {\frac{1}{4.7 \times 10^{12}}}=\left( \frac{1}{4.7 \times 10^{12}} \right)^\frac{1}{16}=0.161433....$$なので，ひとつの遺伝子座の塩基配列が一致する確率の平均は約0.161433となります．実際は遺伝子座によって一致確率は異なりますが，だいたい0.1から0.2の間ぐらいなので，平均値がこの値に近いのもうなずけますね．

2019年，警察庁は新たな検査試薬を導入し，23個の遺伝子座を調べることで，同じDNA型の出現頻度が「565京人に1人」となり，より精密な個人識別が可能になると発表しました．

＜検証＞

遺伝子座23個の場合．23乗して575京分の1になる値は，$$\sqrt[23] {\frac{1}{575 \times 10^{16}}}=\left( \frac{1}{575 \times 10^{16}} \right)^\frac{1}{23}=0.152884....$$というわけで，この場合もひとつの遺伝子座の塩基配列が一致する確率の平均は似たような値になりました．

この小説の出版が2011年なので，もし2019年以降だったら，「4兆7千億分の1」が「575京分の1」になっていたことでしょう．

(注)　1億$=10^8$　1兆$=10^{12}$　1京$=10^{16}$

[参考]

DNA型鑑定 | 千葉大学附属法医学教育研究センター

https://www.m.chiba-u.ac.jp/class/houi/topics/topics-3.html

検査遺伝子数と精度のはなし

https://alfs-inc.com/column/2142/

小説 藍を継ぐ海

伊与原 新　2024年　新潮社

方位角 

大学で地球惑星科学を専攻していた著者による科学の知識を織り交ぜた5つの短編集で、どれも異なる地方が舞台になっています．タイトルは，夢化けの島（山口県見島），狼犬ダイアリー（奈良県東吉野村），祈りの破片（長崎県長与町），星隕つ駅逓（北海道遠軽町），藍を継ぐ海（徳島県姫ヶ浦）．さすが直木賞受賞作品だけあって，どれも心温まる素敵な物語でした．

｢祈りの破片｣

地図には収集地点と思われる場所に番号が振ってある。そして右のページには、各地点で収集された物品の詳細が、細かな字でびっしりと記載されていた。

<地点1-①民家ノ庭石(安山岩)、一部熔融。②玉砂利(黒色頁岩?)、表面ガラス化シ、緑色ヲ帯ビル。③石垣ニ熱線ノ影アリ、方向N15°W。

（単行本P127～128） 

近所から苦情の出た空き家で見つかった多量の岩石やガラス製品の謎を追う若い公務員が主役の話です．最後に｢N15°W｣という表現がありますが，これは四分円方位角(quadrant bearing)といいます．方位角でよく使われるのは次の２つです．日本では数学ではなく地学または地理で習うと思いますが，海外では数学のテキストに登場しています．

図を見ると分かりますが，①北方位角(North azimuth)は北を基準として時計回りに回転した角度で表し，②四分円方位角は北(N)または南(S)を基準として東(E)または西(W)に回転した角度で表します．従って，ここに登場した｢N15°W｣は次の方向を表しています．

他にも③南方位角(South azimuth)＝南を基準として時計回りに回転した角度，④極角(polar angle)＝デカルト平面上のx軸の正の部分を基準として反時計回りに回転した角度があります．④は極座標の偏角にあたるもので，三角関数でよく使われていますね．また｢東北東の風｣などというように東西南北で方向を表す方法は，4方位から8, 16, 32, 128方位まであるそうです．

世界で最も多くの国で採用されている国際バカロレア(IB)数学の練習問題からこの表現を使った問題を紹介しますので解いてみてください．

[Question] Radio direction finders are set up at two points A and B, which are 2.5 miles apart on an east-west line.  From A, it is found that the bearing of a signal from a radio transmitter is N36.3°E, while from B the bearing of the same signal is N53.7°W.  Find the distance of the transmitter from B.  

[問題] 東西方向に2.5マイル離れた2地点AとBに無線方向探知機が設置されている．A地点からは無線送信機からの信号の方位がN36.3°Eであり，B地点からは同信号の方位がN53.7°Wとわかった．B地点から送信機までの距離を求めよ．（正解は文末）

[参考]

方位
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B9%E4%BD%8D

Measuring Angles

https://www.e-education.psu.edu/natureofgeoinfo/c5_p7.html

IB Mathematics SL Section 11.2 Bearing Extra Practice

https://fchsmrshaley.weebly.com/uploads/1/7/6/5/17657623/section_11.2_bearing_extra_practice.pdf

[問題の答]  
連立方程式 ①$a^2+b^2=2.5^2$ ②$a \cos36.3°=b \cos53.7°$を解いて，$b$ ≒ $2.0$ miles

ドラマ あんぱん 第5週 25話

中園ミホ(脚本)　2025年　NHK

因数分解

漫画「アンパンマン」の作者やなせたかしと、妻の暢(のぶ)夫婦をモデルにしたドラマです．たかしが受験した東京高等藝術學校の入試で次の問題が出題されていました．

(1) 以下ノ數式ヲ因數分解セヨ．

 $4x^3+4y^3+4z^3-12xyz$

ふつう第1問目はそんなに難しいはずがないので，公式を当てはめるだけで正解できる問題ではないかと思います．公式は$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$ですが，出された問題はこの公式の4倍なので，正解は$$4x^3+4y^3+4z^3-12xyz=4(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$となります．

この時代(1930年代)はこれを覚えていて当たり前だったのでしょうか．この公式は現在(2025年)の高校数学Ⅱの教科書で扱われていますが，証明するのは少し面倒です．途中で次の式変形を使います．$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\tag{1}$$ $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\tag{2}$$証明を始めます．

$x^3+y^3+z^3-3xyz$
　$=(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz$
　$=(x+y)^3+z^3-3xy(x+y)-3xyz$
　$= (x+y+z)\{(x+y)^2-(x+y)z+z^2\}-3xy(x+y+z)$
　$=(x+y+z)(x^2+2xy+y^2-zx-yz+z^2-3xy)$
　$= (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

暗黙の了解で実数の範囲まで因数分解しましたが，後ろの(    )内の2次式をさらに複素数の範囲まで1次式の積に因数分解できます(代数学の基本定理)．まず$x$について降べきの順にします．$$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=x^2-(y+z)x+y^2+z^2-yz$$これを$(x-\alpha)(x-\beta)$とするために，$x$についての2次方程式 $x^2-(y+z)x+y^2+z^2-yz=0$ を解きます．解の公式を使って，

\begin{eqnarray} x&=&\frac{(y+z)\pm \sqrt{(y+z)^2-4(y^2+z^2-yz)}}{2}\\ &=&\frac{(y+z)\pm \sqrt{-3(y-z)^2}}{2}\\ &=&\frac{(y+z)\pm (y-z)\sqrt{3} i}{2}\\ &=&\frac{1\pm \sqrt{3} i}{2}y+\frac{1\mp \sqrt{3} i}{2}z\\ \end{eqnarray}

これが$\alpha$と$\beta$になりますから，

\begin{eqnarray} x^3+y^3+z^3-3xyz&=&(x+y+z)\left( x-\frac{1\pm \sqrt{3} i}{2}y-\frac{1\mp \sqrt{3} i}{2}z \right)\\&=&(x+y+z)\left(x+\frac{-1\mp \sqrt{3} i}{2}y+\frac{-1\pm \sqrt{3} i}{2}z\right)\\ \end{eqnarray}この$y$と$z$の係数は，1の虚数3乗根 $\omega$ と $\omega^2$ になるので，これを使って次のようにすっきりと表すこともできます．$$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+\omega y+\omega^2 z)(x+\omega^2 y+\omega z)$$この式はさらに3次方程式の解の公式(カルダノの公式)を求めるのに応用されていきます．

[参考]

カルダノの公式、フェラーリの公式

https://ameblo.jp/acny32995/entry-12713779833.html

小説 地球へのSF

日本SF作家クラブ編　2024年　早川書房

Rose Malade, Perle Malade

新城カズマ

中国前漢の時代(紀元前200頃)，淮南(わいなん)王の劉安(りゅうあん)による思想書｢淮南子(えなんじ)｣編纂の物語です．

(賢者のひとりである) 左呉の答えて曰く、幼き日に親しくしたる商人より聞き及ぶに身毒と波斯の更に西、埃及(えじぷと)なる大国あり。その地には夏至の日に陽光がその底まで達するという珍しき井戸あり、 一方その井戸より正確に真北にあたる井戸を同日正午に測れば日差しは僅かに傾くあるを見出したり。即ち我らも南北二つの井戸を観察せば、陽の角度を以て大地の丸みと大きさを算出し得んと。 

(中略) ｢うむ 、一理あるな｣ と劉安も応えて早速必要な観察の手配をした。

ほどなく結果がもたらされた。夏至の正午に陽光が真っ直ぐ底まで届く井戸が南越国に見出され、その真北に当たる井戸に射す陽の傾き具合が一千里先まで調べられた。賢者たちは算棒と算珠をあやつり、天下の大きさを求めた。天下は球体でありその半径がおよそ一万五千九百四十五里、後に謂う六千三百七十八キロメートルであると知れた。劉安は大きくうなずいた。(P17)

左呉が｢商人より聞き及｣んだのは，古代エジプトの学者エラトステネスが，シエネという街で夏至の日に太陽光が井戸の底まで届くことを知り，アレキサンドリアで夏至の太陽南中時に鉛直に立てた棒とその影が作る角度を測って，2点間の距離から地球の周長を計算したという話のことです．

エラトステネスは，約900km離れた2点で計測した角度7.2°が360°の1/50であることから，周長を約900km×50 ≒45000kmと算出しています．下に述べる地球の公称半径から計算すると，その周長は約40000kmなので，当時としてはかなり正確だったといえます．

「ちーがくんと地学の未来を考える｣より

この小説での値を見てみましょう．国際天文学連合(IAU)による地球の公称赤道半径は6378km，極半径は6357kmなので，地球の半径が｢6378kmであると知れた｣というのは，いくらフィクションとはいえこの時代にしては正確すぎますね．地球の半径の実質的な最初の測定値は10世紀アラビアの天文学者ビールーニーの6340kmで，その後さらに精度が上がって現在の値になっています．

[参考]

エラトステネスが棒1本で地球の全周を求めた方法
https://spreading-earth-science.com/how-to-find-the-size-of-the-earth/

小説 22歳の扉

青羽 悠　2024年　集英社

複素力学系　フラクタル　カオス

京都の大学の理学部に入学した田辺朔（たなべさく）が，いくつかのサークルが集まる旧文学部棟の地下で営業している学内バーのマスターを引き継ぐことになり，そこでいろいろな人と出会って成長していく学生生活を描いた話です．

僕が読んでいたのは複素力学系、とくにフラクタル幾何学と呼ばれる分野のものだった。ある時間の状態が、前の時間の状態からシンプルなルールに沿って決まる。では、そのルールを何度も反復させると、やがてどんな状態に辿り着くのか。その疑問が出発点の学問だった。 

結果は多様で、まるで予測できない結果(=カオス)を生むことも、結果が同じ構造を繰り返す(=フラクタル)こともあった。 同じ構造を何度も繰り返す。再帰的。その振る舞いはどこか奇妙で、僕はそこに興味を向け続けることができた。理解するためには他の知識も必要だったから、僕には自然とやるべきことが増えた。

複素力学系とは何でしょう．上の文中の ｢ある時間の状態が、前の時間の状態からシンプルなルールに沿って決まる｣ というのは ｢数列の漸化式 $x_{n+1}=f(x_n)$ または関数 $y=f(x)$ に値を代入して次の値が決まる｣ ことを意味し，そのルールで変化していく物事を数式を使ってモデル化する数学の分野を力学系といい，その対象が複素数なら複素力学系となります．

複素力学系では ｢そのルールを何度も反復させると、やがてどんな状態に辿り着くのか｣ を複素平面上で調べます．ある複素数 $z_0$（初期値）を関数 $w=f(z)$ に代入し，得られた値をまた同式に代入して次の値を得るということを繰り返していくと，初期値 $z_0$ や $f(z)$ の違いによって，ある値に近づいていったり (収束)，無限に遠くへ離れていったり (発散)，｢同じ構造を繰り返す (フラクタル)｣ や，｢まるで予測できない結果( カオス)｣ の状態になったりすることがあります．

その例として有名なものが $f(z)=z^2+C$ という関数です．これで繰り返し得られた (発散しない) 値を複素平面上で点をとっていくと，フラクタル図形で有名なマンデルブロ集合（$z_0=0$ と固定したときの $C$ の集合）や，ジュリア集合（$C$ を固定したときの $z_0$ の集合）になります．

マンデルブロ集合（左）と $C=-0.5+0.6i$ のときのジュリア集合（右）
WolframAlphaで作成

フラクタル図形とは，どんなに拡大･縮小しても同じ形が現れる（自己相似性の）図形のことで，これを研究するのが文中に出てきた ｢フラクタル幾何学｣ であり，この主人公が読んでいた分野になります．2次元，3次元，4次元の世界などというあの ｢次元｣ が非整数になるのが特徴で，この話は小説 ｢神様のパラドックス｣ に出てきました．

因みに，整数が対象なら離散力学系といいますが，その例として小説 ｢夜中に犬に起こった奇妙な事件｣ に生物の個体数についての話が出てきました．さらに実数が対象なら連続力学系といいますが，これは小説 ｢禁忌の子｣ に出てきた死後直腸温変化の話が当てはまりそうです．

[参考]

カオスとフラクタル
山口昌哉著 1986年 ブルーバックス

複素力学系入門
https://azisava.sakura.ne.jp/math/complex_dynamics.html

小説 禁忌の子

山口未桜　2024年　東京創元社

死亡推定時刻

主人公の救急医武田航(わたる)に瓜二つの身元不明の遺体が運び込まれたため，その死因や自分との関係を旧友で医師の城崎響介と一緒に調査をしていくという話．鍵を握る人物に会おうとした矢先，相手が密室内で死体となって発見された場面です．

(鑑識の)宗形が「直腸温を測りましょうか」と言いながら温度計をカバンから取り出した。
宗形「34.8度ですね。大体の予想とも合致してると思います」
武田「つまり、どういうことや」
城崎「直腸温を用いた死亡推定時刻の推定、っていうのは直腸温が元の37度から、1時間に0.8度下がるだろう、っていう理論がもとになっているんだ。国試でもやったでしょ」
武田「とすると、大体3時間前…………12時半頃やな」
城崎「前後にしっかり幅を持たせて、死亡推定時刻は11時半から午後1時半の間、というところでどうでしょうか?」
宗形「おっしゃる通りです」

この計算では「1時間に0.8度下がるだろう、っていう理論」なので，体温は死後経過時間$t$の一次関数 $T=37-0.8t$ になっています．すると $T=34.8$ のとき $t=2.75$ になるので「大体3時間前」と予想しているわけです．

これがニュートンの冷却法則に従うなら，死後の体温$T$は室温との差に比例して室温に近づいていきます．この場合，死後経過時間を$t$とし，その時の体温を$T$，室温を25°と仮定し，比例定数を$k$とすると，次の微分方程式が成り立ちます．$$\frac{dT}{dt}=k(T-25)$$変数分離してこれを解くと$$\int\frac{1}{T-25}dT=k \int dt$$$$\ln (T-25)=k t +C_1$$$$T-25=e^{C_1}e^{k t}$$$$T=25+Ce^{k t}\tag{1}$$ここで $t=0$ のとき$T=37$ ですから，$37=25+C$より $C=12$ になり，最初の5時間で0.8×5=4度下がるとすれば，$t=5$ のとき，$T=37-4=33$ となるので，$$33=25+12e^{5k}$$$$e^{5k}=\frac{2}{3}$$$$k=\frac{\ln \left( \frac {2}{3} \right)}{5}=-0.081......$$よって式(1)はこうなります．$$T=25+12e^{-0.081t}$$このグラフは$T$が減少していく指数関数となり，下の赤いグラフになります． 青色のグラフは一次関数 $T=37-0.8t$ です．34.8°のとき，点Aは(2.50, 34.8)，点Bは(2.75, 34.8)なので，誤差はまだ小さいですが，時間がたつに連れて大きくなるので，現実的ではありませんね．

さて，「法医学は考える: 事件の真相を求めて」（赤石 英 著　1967年），「法医学」（若杉長英 著　金芳堂　1983年）などによると，直腸温降下曲線は下図のような逆S字型になるそうです．通常の直腸温は，腋で測るよりやや高く37.2°ぐらいなので，そこからこのように下がっていきます．

「法医学」若杉長英著より

死亡直後では体内の熱産生が未だ完全に停止していないためその低下は緩徐であるが，次第に急激となり，外界温度に近づくに従って，再び緩徐となり，直腸内温度の下降曲線は逆S字状を呈する．(「法医学」P13)

S字型のグラフといえばロジスティック関数が有名です．基本的なロジスティック関数はこの式になります．$$T=\frac{1}{1+e^{-t}}$$

これを，室温をやはり25°と仮定し，左右反転･拡大縮小･平行移動させるために，$$T=25+\frac{L}{1+e^{-k(t-p)}}$$という形にして，定数L, k, pを調節し，上の下降曲線を近似してみました．この場合，点Aは(3.85, 34.8)，点Bは(3, 34.8)になります．$$T=25+\frac{13.5}{1+e^{0.33(t-6.8)}}$$

室温以外にも多くの条件によって違いが出て来ますが，これが事実に近い直腸温度変化だとしても，一次関数で近似して上の台詞のように「前後にしっかり幅を持たせて」（この場合は前後1時間の幅を考えて）推定すればそう問題はないのでしょうね．

[参考]

法医学

若杉長英 (著)　金芳堂　1983年

法医学は考える: 事件の真相を求めて

赤石 英 (著)　講談社現代新書　1967年

ロジスティック関数とは？

https://freshrimpsushi.github.io/jp/posts/1775/

漫画 はじめアルゴリズム ３巻 #21 数学少女･剛田ハチ

三原和人　2018年　講談社

極方程式　媒介変数表示

小学5年生の関口ハジメが天才的な数学の才能を持つことを，老数学者の内田豊に見いだされ，成長していくという話です．数学検定を受けたときにハジメから借りたコンパスをわざわざ家まで返しに来た剛田ハチへのお礼に，キーホルダーと同じ形のグラフを表す式をプレゼントする場面です．

ハジメ「これやってみて」
ハチ    「？　グラフ問題　……」
　　    「あ　これ…　私のキーホルダーの……　すごい…」
ハジメ「コンパス持ってきてくれたお礼！」

3つの式がセットでひとつのグラフの方程式だと誤解しそうですが，１行目は極方程式で，２行目と３行目がセットで媒介変数表示なので，どちらか一方だけで同じグラフを表します．

極方程式は，動径がx軸となす角をθとするときの原点からの距離rをθの関数で表します．例えば，原点中心で半径1の円は原点からの距離rが常に1なので，デカルト方程式（xy方程式）では $x^2+y^2=1$，極方程式では r=1 になります．

上式の場合は，a=4なので r=sin4θ，すなわち原点からの距離rが sin4θ（周期$\frac{\pi}{2}$）になります．これは，θが0から2πまで増加（動径が1回転）する間に0→1→0→−1→0の間の値（花びら2枚分）を4回繰り返しますから，y=sinx と r=sinθ のグラフは次のようになります．

y=sin4x

r=sin4θ

Geogebraで作成したので，角度を変えながらゆっくり見たい人はこちらを見てください．

一方，媒介変数表示は，xy平面上の点の座標を他の変数の関数で表したものです．例えば，$x=t$, $y=t^2$なら，点$(t, t^2)$の軌跡になるので，$y=x^2$になります．上式の場合は，点 (sin4θcosθ，sin4θsinθ) の軌跡になり，上と同じグラフになります．

因みに，剛田ハチの持っていたキーホルダーはこれでした．

ドラマ 御上先生 第４～5話

第4話　2025/02/09放送

数列

今回の数学の授業の場面では，問題も解答も板書にありました．間違いではないのですが，(2)の1行目の $\log_2 (a_k)$ には(  )がついていて，2行目の $\log_2a_n$ には(  )がついていません．この場合，(　)はなくていいですね．

小問(1)(2)(3)とだんだん難易度が上がるのがよくあるパターンなのですが，(1)(2)に比べて(3)が少し易しいように感じました．毎回単元が変わるので，入試問題の演習をしているという設定なのでしょう．

　

＜2025/02/18追記＞

第5話　2025/02/16放送

72の法則

高校生ビジネスプロジェクトコンクールでの生徒たちのプレゼンの中に，72の法則が登場しました．

｢これにかかる年月はなんと576年．定期預金で実直に暮らしていく道も，72の法則によって，こうして絶たれたのです｣

台詞にはありませんが，100万円を年利率0.125%の複利で200万円に増やすには，576年かかることをいっています．72の法則が悪者のように聞こえますが，これはただの便利な計算方法であって，72を年利率で割れば約何年で元金が2倍になるかが簡単に分かるという法則です．実際，72÷0.125=576になります．

正確には複利計算になるので，年利率r(%)でn(年)預けて元金A(円)が2倍の2A(円)になったとして次の方程式を解きます（$\ln$は自然対数$\log_e$を意味します）．

$$\begin{eqnarray}
2A&=&A\left(1+\frac{r}{100}\right)^n\\
\ln2&=&n\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)\\
n&=&\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{r}{100}\right)}\\
\end{eqnarray}$$

これにr=0.125を代入すると，n=554.864......となり，実際は約555年かかるということが分かります．なので，72の法則によってだいたいの年数は出せますが，正確な値を求めるためにはこの方程式を解くことになります．

因みに，このような倍加時間（または倍増時間）を英語で doubling time というのに対し，半減期は half life といいます．Half time という場合もありますが，スポーツの試合の前後半の間の意味で使うことが多いので，ちょっと紛らわしいですね．