相対性理論 $E=mc^2$
小学4年生のアオヤマ君が，街に突如出現したペンギンたちは歯科医院のお姉さんが関係しているらしいことを知り，その謎の解明のため調査研究していくことで成長していくという話です．
ぼくはソファに座って、図書館の人にすすめてもらった「相対性理論」の本を読んでいた。歯科医院の先生にもらった雑誌ではよく分からなかったので、他の本を読んで研究しようと思ったのだ。
本を読みながら、ぼくはノートに「E=mc²」とメモをした。ふしぎな式だ。
ぼくは父に方程式の理論を教えてもらったことがあるので、この式の意味が分かる。小学校二年生の頃まで、「=」(イコール)は「答えは?」という意味だと思っていた。 たとえば「2+2の答えは?」というように。でもそれは間違いだった。「=」は、左側と右側が同じ値になるという意味なのだった。 (P73)
[予備知識]
光子は質量を持たないので，質量を持つ粒子のエネルギーの式 $E=\frac{1}{2}mv^2$ や運動量の式 $p=mv$ は使えませんが ($m$は質量，$v$は速度)，波長と振動数から光子のエネルギーや運動量を表すことができます．
真空中の光子の速度$c$は，その波長を$\lambda$ (ラムダ)，振動数を$\nu$ (ニュー)として次式で表せます．$$c=\lambda\nu\tag{1}$$アインシュタインの光量子仮説より，光子のエネルギー$E$は，プランク定数を$h$，振動数を$\nu$として次式で表せます．$$E=h\nu\tag{2}$$光子の運動量$p$は，波長$\lambda$に反比例するので次式が成り立ちます．$$p=\frac{h}{\lambda}\tag{3}$$ $(2)$より$h=\frac{E}{\nu}$なので，これを$(3)$に代入し，$$p=\frac{E}{\lambda\nu}\tag{4}$$さらに$(1)$を$(4)$に代入すると，次の関係式が成り立ちます．$$p=\frac{E}{c}\tag{5}$$
[証明]
静止系において，質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．
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| 静止系 |
光子は質量を持ちませんが，光子を吸収したことによる物体の質量の増加量を1個につき$m$とすると，$$M+2m=M'\tag{A}$$
一方，運動系において、質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．下向きに速度$v$ (ブイ)で動いている運動系から観測すると，物体も光子も上向きに速度$v$で動いているように見えます．
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| 運動系 |
2個の光子の上向きの運動量は$$2\cdot p \cdot\sin\theta=2\cdot p \cdot\frac{v}{c}$$$(5)$をこの式に代入すると，$$2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}$$光子を吸収する前は，質量$M$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$Mv$を持ちます．光子を吸収した後は，質量$M'$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$M'v$を持ちます．運動量保存則より，$$Mv+2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}=M'v$$$$M+2\cdot \frac{E}{c^2} =M'\tag{B}$$$(A)と(B)$を比較して，$$m=\frac{E}{c^2}$$$$\therefore E=mc^2$$
[参考]
文系編集者がわかるまで書き直した 世界一有名な数式 ｢$E=mc^2$｣ を証明する
福江 純 (著) 2020年 日本能率協会マネジメントセンター
