第5章 魔力の胎動
青江「体重60キロの成人の体内合計カリウムが120グラムの時、その体内放射能を求めよ――これでどうだ?」
奥西「少し簡単すぎませんか」
青江「いいんだよ。 サービス問題だ。このあたりで点を取らせないと落第者が増える。ただでさえ環境分析化学は単位が取りにくいってことで人気がないのに」奥西「但し書きはアボガドロ定数だけでいいですね」
青江「カリウムの同位体存在度と半減期も付けてやってくれ」
奥西「そんなの、学生なら覚えてて当然じゃないですか」
環境分析化学の問題としては「簡単すぎ」だそうで，放射線取扱主任者試験でも基本問題のうちのひとつだそうです．しかし，こんな話を知らない人にとってはさっぱりわかりませんよね．小説に解答がなかったので解説してみます．有効数字は3桁で計算しましょう．以下の3つがこの問題の「但し書き」です（小説には書かれていません）．
①アボガドロ定数…物質1mol中の粒子(原子／分子など)の個数． 6.02×10^23 [mol^(-1)]
②同位体存在度(比)…物質の中にある同位体の含有率．カリウムの同位体は24種類あるが，そのうち3種類が自然に常時存在しており，安定同位体｢カリウム39｣が 93.2581%，放射性同位体｢カリウム40｣が 0.0117%，安定同位体｢カリウム41｣が 6.7302%．
③半減期…放射性物質の量が半分になるのにかかる時間．カリウム40の半減期は $t_{1/2}$=12.5×10^8 [年] だが，これに 60秒×60分×24時間×365日 を掛けると $t_{1/2}$=3.94×10^16 [秒]．
まず「体重60kgの成人の体内合計カリウムが120グラム」とありますが，ヒトの体内のカリウムの量は体重の0.2%とわかっているので，60000 [g] ×0.002=120 [g] となっています．
解く前の予備知識です．放射能は，放射性同位元素が放射性崩壊によって別の元素に変化する能力を意味します．その能力とは何かというと，具体的には単位時間に放射性崩壊する原子の個数，すなわちその瞬間の原子数の減少速度（秒速何個の速さで減るか）[単位：ベクレル Bq] を意味します．
なのでこの問題を言い換えると「体重60kgの成人は120gのカリウムを持つが，その中の放射性同位体カリウム40の原子数の減少する速さは秒速何個か」ということになります．
原子量は，同位体の(相対質量×存在比)の和で，その物質 1mol は何gになるかを表します．よって但し書き②より，カリウムの原子量は，
$39×0.932581+40×0.000117+41×0.067302≒39.1$
となり，カリウムは1molあたりの質量が39.1gになるということがわかります．
さらに但し書き②より，カリウム120gの中のカリウム40の質量は
$120×0.000117≒0.0140\ [g] $
なので，1molに対する割合は 0.0140÷39.1であり，アボガドロ定数とこれを掛けると，カリウム40 の 0.0140g の原子数が分かります．$$6.02×10^{23}×0.0140÷39.1 ≒2.16×10^{20}$$これを t=0 のときの原子数 $N_0$ とします．
さて，t 秒後のカリウム40の原子数を$N$，これが単位時間に崩壊していく割合すなわち崩壊定数を $\lambda$ とすると，原子数が減っていく速さについて，次の微分方程式が成り立ちます．$$\frac{dN}{dt}=-\lambda N$$変数分離してこれを解くと
$$\int\frac{1}{N}dN=-\lambda \int dt$$
$$\ln N=-\lambda t +C_1$$
$$N=Ce^{-\lambda t}$$t=0 のとき $N=N_0$ なので $C=N_0$ となり，上の式は次のようになります．$$N=N_0 e^{-\lambda t}$$質量が半減したとき，すなわち $t=t_{1/2}$ のとき，$N=\frac{N_0}{2}$ なので，$$\frac{N_0}{2}=N_0 e^{-\lambda t_{1/2}}$$$$e^{\lambda t_{1/2}}=2$$$$\lambda t_{1/2}=\ln2$$$$\lambda=\frac{\ln2}{t_{1/2}}$$これに$\ln2=0.693$，但し書き③より $t_{1/2}=3.94×10^{16}$ を代入すると，$$\lambda=\frac{0.693}{3.94×10^{16}}≒1.76\times10^{-17}$$よって，原子数が$N_0$の瞬間に減っていく原子数は，$$\lambda N_0=1.76\times10^{-17}\times2.16×10^{20}≒3.80 \times10^3$$以上より，カリウム120gの放射能は約3800 [ベクレル Bq]，すなわちカリウム120gは秒速約3800個の速さで原子数が減少することが分かりました．
これを約4000Bq とするサイトがいくつかあり，その理由を調べてみると，以下の文章が見つかりました．
カリウム40 の天然存在比は 0.0117%、半減期は 1.277×10^9年（約13億年）であるので、アボガドロ数を 6.02×10^23 、1年を3.15×10^7 秒として計算すると、日本人の標準的な体重 60kg 中の値は 3640Bq となる。体内中のカリウムの含有量の不確かさを考慮すれば、有効数字は１桁として、単に 4000Bq と表記するのが適当と思われる。（「人体中の放射能による内部被爆について」東京大学大学院総合文化研究科 鳥井寿夫）
[Reference]
カリウム，放射性物質，放射性崩壊，原子量，放射能，アボガドロ定数，同位体存在度(比)，半減期
Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%A0
放射能を求める式
https://radioisotope-f.hatenablog.com/entry/65649695
人体中の放射能による内部被爆について
http://atom.c.u-tokyo.ac.jp/torii/radioactivity_of_the_human_body.pdf
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