相対性理論 $E=mc^2$
小学4年生のアオヤマ君が，突如街に現れたペンギンたちについて，歯科医院のお姉さんが関係しているらしいことがわかり，その謎の解明のため探究していく話です．
ぼくはソファに座って、図書館の人にすすめてもらった「相対性理論」の本を読んでいた。歯科医院の先生にもらった雑誌ではよく分からなかったので、他の本を読んで研究しようと思ったのだ。
本を読みながら、ぼくはノートに「E=mc²」とメモをした。ふしぎな式だ。
ぼくは父に方程式の理論を教えてもらったことがあるので、この式の意味が分かる。小学校二年生の頃まで、「=」(イコール)は「答えは?」という意味だと思っていた。 たとえば「2+2の答えは?」というように。でもそれは間違いだった。「=」は、左側と右側が同じ値になるという意味なのだった。 (P73)
[予備知識]
光子は質量を持たないので，質量を持つ粒子のエネルギーの式 ($E=\frac{1}{2}mv^2$) や運動量の式 ($p=mv$) は使えませんが，波長と振動数から光子のエネルギーや運動量を表すことができます．
光子の波長を$\lambda$，振動数を$\nu$ (ニュー)とすると，真空中の光速度$c$は，$$\lambda\nu=c\tag{1}$$アインシュタインの光量子仮説より，光子のエネルギー$E$は，振動数を$\nu$，プランク定数を$h$として，$$E=h\nu\tag{2}$$光子の運動量$p$は，波長$\lambda$に反比例して，$$p=\frac{h}{\lambda}\tag{3}$$式$(2)$より，$h=\frac{E}{\nu}$なので，これを式$(3)$に代入し，$$p=\frac{E}{\lambda\nu}\tag{4}$$$(1)$をこの式$(4)$に代入すると，次の関係式が成り立ちます．$$p=\frac{E}{c}\tag{5}$$
[証明]
静止系において，質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．
 |
| 静止系 |
光子は質量を持ちませんが，光子を吸収したことによる物体の質量の増加量を1個につき$m$とすると，$$M+2m=M'\tag{A}$$
一方，運動系において、質量$M$の物体が，左右から1個ずつ合計2個の光子を吸収し，質量が$M'$になったとします．下向きに速度$v$ (ブイ)で動いている運動系から観測すると，物体も光子も上向きに速度$v$で動いているように見えます．
 |
| 運動系 |
2個の光子の上向きの運動量は$$2\cdot p \cdot\sin\theta=2\cdot p \cdot\frac{v}{c}$$$(5)$をこの式に代入すると，$$2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}$$光子を吸収する前は，質量$M$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$Mv$を持ちます．光子を吸収した後は，質量$M'$の物体が上向きに速度$v$で動いているので，上向きの運動量$M'v$を持ちます．運動量保存則より，$$Mv+2\cdot \frac{E}{c} \cdot\frac{v}{c}=M'v$$$$M+2\cdot \frac{E}{c^2} =M'\tag{B}$$$(A)と(B)$は等しいので，$$m=\frac{E}{c^2}$$$$E=mc^2$$
[参考]
文系編集者がわかるまで書き直した 世界一有名な数式 ｢$E=mc^2$｣ を証明する
福江 純 (著) 2020年 日本能率協会マネジメントセンター
0 件のコメント:
コメントを投稿