小説 ラブ・ケミストリー

2011年　喜多喜久著 　宝島社

ε-δ(イプシロン-デルタ)論法　フェルマーの最終定理　ギリシャ語数詞

有機化学における全合成を研究する大学院生が，いろいろとアドバイスをくれる｢死神｣や親友の助けを得て，学問と恋愛に奮闘する話です．

数学や物理は「言っている言葉が理解できない」状態だった。 ε-δ論法やインピーダンスといった、完璧にわけの分からない概念に悩まされるのは、もうこりごりだった。

高校の数学では，「限りなく近づく」などの言い方で，関数の極限や連続性について学習しますが，解析学では極限や連続などをより厳密に論じるためにε-δ論法が登場します．

高校の数学で登場する，$x$が限りなく$a$に近づくとき，$f(a)$の極限は$b$であるという意味の $$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b$$ という式は，ε-δ論法では次のように表されます． $$\forall \varepsilon >0,　\exists \delta >0,　|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$$

この式を意訳すると次のようになります．「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$が与えられても、ある正の数$\delta$をうまく決めて、 $x$と$a$との距離を$\delta$より小さくすれば， $f(x)$と$b$との距離を$\varepsilon$より小さくできる」

簡単な例をひとつ見てみましょう． $$\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2 = 9$$ をε-δ論法で証明してみます．そのためには，

$|x-3|<\delta$ ならば $|x^2-9|<\varepsilon$

となるような$\delta$をうまく決めればいいわけです． $$|x^2-9|=|x+3|\cdot|x-3|=|x-3+6|\cdot|x-3|<(\delta+6)\delta$$ となるので，$(\delta+6)\delta=\varepsilon$となる$\delta$を求めます． $$\delta^2+6\delta-\varepsilon=0$$ この2次方程式を解くと，$\delta>0$より， $$\delta=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$$ よって，$\delta$をこの値にすれば，

$|x-3|<\delta$ のとき，$|x^2-9|<(\delta+6)\delta=\varepsilon$

となります．すなわち $$\forall \varepsilon >0,　\exists \delta >0,　|x-3|<\delta \Rightarrow |x^2-9|<\varepsilon$$ を示すことができました．