Tuesday, 24 December 2019

小説 ラブ・ケミストリー

喜多喜久著  2011年 宝島社

ε-δ(イプシロン-デルタ)論法 フェルマーの最終定理 ギリシャ語数詞

有機化学における全合成を研究する大学院生が,いろいろとアドバイスをくれる「死神」や親友の助けを得て,学問と恋愛に奮闘する話です.
数学や物理は「言っている言葉が理解できない」状態だった。 ε-δ論法やインピーダンスといった、完璧にわけの分からない概念に悩まされるのは、もうこりごりだった。
高校の数学では,「限りなく近づく」などの言い方で,関数の極限や連続性について学習しますが,解析学では極限や連続などをより厳密に論じるためにε-δ論法が登場します.

高校の数学で登場する,$x$が限りなく$a$に近づくとき,$f(a)$の極限は$b$であるという意味の$$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b$$という式は,ε-δ論法では次のように表されます.$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$$
この式を意訳すると次のようになります.「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$が与えられても、ある正の数$\delta$をうまく決めて、 $x$と$a$との距離を$\delta$より小さくすれば, $f(x)$と$b$との距離を$\varepsilon$より小さくできる」

簡単な例をひとつ見てみましょう.$$\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2 = 9$$をε-δ論法で証明してみます.そのためには,
$|x-3|<\delta$ ならば $|x^2-9|<\varepsilon$
となるような$\delta$をうまく決めればいいわけです.$$|x^2-9|=|x+3|\cdot|x-3|=|x-3+6|\cdot|x-3|<(\delta+6)\delta$$となるので,$(\delta+6)\delta=\varepsilon$となる$\delta$を求めます.$$\delta^2+6\delta-\varepsilon=0$$この2次方程式を解くと,$\delta>0$より,$$\delta=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$$よって,$\delta$をこの値にすれば,
$|x-3|<\delta$ のとき,$|x^2-9|<(\delta+6)\delta=\varepsilon$
となります.すなわち$$\forall \varepsilon >0, \exists \delta >0, |x-3|<\delta \Rightarrow |x^2-9|<\varepsilon$$を示すことができました.

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