映画 gifted／ギフテッド

このブログの100作品目です！

2017年　監督： Marc Webb　脚本： Tom Flynn

ガウス積分

亡き姉の子で数学の才能を持つメアリーを育てているフランクは，母から彼女に英才教育を受けさせるよう勧められますが，彼女を普通に育てようとして奮闘する話です．

大学の講義室の黒板に次の内容が書かれてあり，メアリーが間違いを指摘します．

Problem
Show that $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{x^2/2\sigma^2}dx=\sqrt{2\pi}|\sigma|$
Hint: First show that
$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{(x^2+y^2)/2\sigma^2}dxdy=2\pi\sigma^2$ 

メアリー「You forgot the negative sign on the exponent.（指数に－をつけるの忘れてる）」
シーモア「Mary, why didn't you say anything?（メアリー，どうして言わなかったの？）」
メアリー「Frank says I'm not supposed to correct older people. Nobody likes a smart-ass.（フランクが年上の間違いを正すなって．嫌われるから）」

最後の"smart-ass”は字幕にありませんでした．直訳すると｢賢い尻｣ですが，｢知ったかぶり｣というような意味です．

メアリーは最初の式の $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{x^2/2\sigma^2 }dx$ に－を付け足して $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx$ に訂正していましたが，その下の式の中の$(x^2+y^2)$の前にも－が必要です．

ガウス積分

この証明すべき等式で$\sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}$のとき，すなわち $$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$$ をガウス積分といい，関数$y=e^{-x^2}$とx軸とで挟まれる部分の面積が$\sqrt{\pi}$=1.77245であることを示しています．この証明は他のサイトでも見つかりますが，この映画に出てきた$\sigma$のついたままの等式の導出を確認してみましょう．

z=exp(-(x^2+y^2))

求める積分の値を $I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx$ とおき，$I=\sqrt{2\pi}|\sigma|$を示します．
$$\begin{align} I^2&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx\\ &=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2/2\sigma^2}dy\\ &=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}dxdy \end{align}$$ このとき，$I^2$は右上図の盛り上がった曲面とxy平面で挟まれた部分の体積を表しています．ここで $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$ と置換すると， $$\begin{align} I^2&=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2/2\sigma^2}rd\theta dr\\ &=2\pi\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-r^2/2\sigma^2}rdr\\ &=2\pi \left[ -\sigma^2 e^{-r^2/2\sigma^2} \right] _0^{\infty}\\ &=2\pi\sigma^2 \end{align}$$ よって，この等式を示すことができました． $$I=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx$=\sqrt{2\pi}|\sigma|$$ ところでこの式は，平均0で標準偏差$\sigma$の正規分布（ガウス分布）の$\sqrt{2\pi}|\sigma|$倍を表す式になっています．これを，平均μ，標準偏差σの正規分布を表す式に変形してみましょう．

平均0で標準偏差1の標準正規分布

まず，確率密度関数の－∞から∞までの積分は1にならなければいけないので，両辺を$\sqrt{2\pi}|\sigma|$で割ります． $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}|\sigma|}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2\sigma^2}dx=1$$ これを平均μになるように平行移動すると， $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}|\sigma|}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}dx=1$$ となり，平均μで標準偏差σの正規分布を表す式に変形できました．