映画 君に届け

2010年　東宝　原作：椎名軽穂『君に届け』（2006年～集英社）

北海道の高校が舞台です．数学の授業の最後に問題を出しておいてノートに解答を書くよう指示して先に退室した先生から，黒沼爽子がノートを集めて持ってくるよう指示された…のではないかと思われます（こんな先生，あまりいないと思いますが…）．

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黒沼爽子「数学のノートを集めますので，持って来てください」
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かなり板書が読みづらかったのですが，こんな内容でした．
三角形の性質

＜問題＞
∠C＞∠Bである△ABCで，∠Aの2等分線と辺BCとの交点をPとし，点Aから辺BCに下した垂線をAQとすると，2∠PAQ＝∠C－∠Bとなることを証明せよ．
（以下の解答部分は文字を背景色にしていますので，自分で解いた後にドラッグして見てください）
＜解答＞
APは∠Aの2等分線より，∠BAP＝∠CAP
∠APB＝∠CAP＋∠C　…　①
∠APC＝∠BAP＋∠B　…　②
①②より，∠APB－∠APC＝∠C－∠B
仮定より，∠APB＝180°－∠APC
　　　　　∠APC＝90°－∠PAQ
よって
∠C－∠B＝∠APB－∠APC
　　　　＝180°－2∠APC
　　　　＝180°－2(90°－∠PAQ)
　　　　＝2∠PAQ
以上は板書の左半分に書かれてあった問題と解答ですが，右半分にあった生徒に出題されたであろう問題は読み取れませんでした．

上の問題はあまり見たことがなかったので，検索してみたらこちらにひとつ見つかりました．

この結果がどんな三角形でも成り立つことを確認できるものをGeogebraで作ってみました．頂点を動かしてみてください．