小説 天地明察

和算/算術/算学　関孝和　勾股弦

作品中に問題が3問あり、その都度先を読まずに解いてみました。

①辺の長さがが9, 12, 15の直角三角形に2点で内接する半径の等しい二つの円が互いに外接しているとき、円の直径を求める問題。

これは半径をr、一方の円の接線の長さをxとでもおいて連立方程式をつくれば正解の30/7はすぐに出たのですが、他サイトに他の解法がいろいろ紹介されていました。

②大正方形と小正方形が図のように重なっていて、2つの正方形の対角線の長さの比が30/7のとき、それぞれに内接する小円と大円が重なっている部分を図のように二等分する線分の長さを求める問題。

これは一見して2つの正方形の対角線の長さの比は√(2):1のはずなのでおかしいと思ったら、やはりその後に問題が間違っていたことが書かれていました。因みに√(2):1で計算すると、この長さは小円の半径を1とした場合、√(2)-1になります。ただこれは算術の名人に出すにはあまりにも簡単です。

③15個の大きさの異なる円があり、それらの周の長さはある数列になっていて、小さい順にa(1)からa(15)としたとき、a(1)+a(2)=10, a(5)+a(6)+a(7)=27.5, a(11)+…+a(15)=40のとき、a(1)を求める問題。

これは等差数列か等比数列かと思って解こうとしましたが正解が出ないので他サイトを検索してみたところ、この数列の一般項をnの2次式と置いて行列を用いて解いていました。ただし、この出典はある神社の算額に実際に書かれていた問題で、小説ではこの値を変えたものでした。ところがオリジナルの問題ではきちんと解が得られるのに、この小説で変えられた値で解くとうまくいかないようです。詳細はこちら。

映画では間違いがなければいいのですが。