小説／漫画／ドラマ 黒猫の三角

　

2002年　講談社文庫　森博嗣
2012年　幻冬舎コミックス漫画文庫　皇名月
2015年　フジテレビ系列　『瀬在丸紅子の事件簿〜黒猫の三角〜』

線形代数　マトリクス　クロネッカーのデルタ　(Kronecker Delta)

ぞろ目の年月や年齢にこだわった連続殺人事件の話です．タイトルの黒猫の三角は，クロネッカーのデルタ（ギリシャ文字で大文字が$\varDelta$）をかけています．

｢香具山さんは文系だから、知らないわよね。小島遊君、君は線形代数は単位ちゃんと取った?」
｢どうして?」
｢マトリクス、教わったでしょう?」
｢行列ですね?」
｢そう」紅子が頷く。「マトリクスの対角項だけを1にする。それ以外はすべて0にしたい。どうやってそれを書き表したら良いかしら?」
｢えっと……、単位マトリクスのことですか?　斜めに1を並べて書いて、あとは0をひたすら入れるんじゃあ…… 」
｢ニ次元で、しかも小さなマトリックスなら、それで書ける」紅子が頷いた。 ｢でも、一般式で表記したいときがあるでしょう？　ほらほら，とっても有名な……」
｢ああ、クロネッカのデルタ！」練無が叫んだ。
｢何それ?」紫子がメガネを持ち上げてきいた。いつもより、ずっとインテリに見える。「クロネコのデルタ?」
｢ね……」紅子がにっこりと微笑む。「三角じゃないけど、小文字のデルタを書いて、そのあとにi、jとか、さらにkとか、添え字を書く。それで、たとえば、デルタijと書かれていれば、それは、もしiとjが同じ整数なら、全体が1になる、もし違う整数なら全体が0になる、という関数なの。ようするに、数が同じならON、違えばOFF。その関数の名前が、クロネッカ・デルタっていう。これ、もの凄く有名だから，理系の大学生なら，まず知らない人はいないでしょう？」

クロネッカーのデルタは，2つの数$i$, $j$に対して0または1の値をとる次のような関数です．（$\delta$は小文字のデルタ）
$$\begin{eqnarray} \delta_{ij}=   \begin{cases}     1 & ( i = j ) \\     0 & ( i \neq j )   \end{cases} \end{eqnarray}$$
すなわち，2数がぞろ目のときは1になり，そうでないときは0になるという関数です．いくつかの式や値をまとめてひとつに表す方法として使われます．

いくつか例を見てみましょう．

①例えば高校で習う平面上の座標軸に関する基本ベクトル $\vec{ e_1 }=(1,0)$，$\vec{ e_2 }=(0,1)$の内積は， $$\vec{ e_1 }\cdot\vec{ e_1 }=1, \quad \vec{ e_1 }\cdot\vec{ e_2 }=0,\quad \vec{ e_2 }\cdot\vec{ e_1 }=0,\quad \vec{ e_2 }\cdot\vec{ e_2 }=1$$ となるので，これらをひとつにまとめて， $$\vec{ e_i }\cdot\vec{ e_j }=\delta_{ij}$$ と表すことができます．

②この小説に出てきたのは行列(matrix)の話です．2行2列だと一般に次のような形をしています． $$\begin{eqnarray} \left(   \begin{array}{cc}     a & b \\     c & d \\   \end{array} \right) \quad \quad \quad \left(   \begin{array}{cc}     a_{ 11 } & a_{ 12 } \\     a_{ 21 } & a_{ 22 } \\   \end{array} \right) \end{eqnarray}$$ 行列も数字と同じようにかけ算ができます．数字の1にあたる働きをするものを単位行列(identity matrix)といい，右下がりの対角線上がすべて1，他は0になります． $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3行3列ならこんな形です． $$\begin{eqnarray} \left(   \begin{array}{ccc}     1 & 0 & 0 \\     0 & 1 & 0 \\     0 & 0 & 1  \end{array} \right) \end{eqnarray}$$ これがn行n列になると，書くのは大変なうえ，スペースもとりますが，クロネッカーのデルタを使えば次のように簡潔に書くことができます． $$\begin{eqnarray}  \left(   \begin{array}{cccc}     1 & 0 & \ldots & 0 \\     0 & 1 & \ldots & 0 \\     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\     0 & 0 & \ldots & 1   \end{array} \right) = (\delta_{ij}) \end{eqnarray}$$
③WolframMathWorldには複素関数の積分の例もありました． $$\delta_{mn}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} z^{m-n-1}dz$$ 右辺の$\oint$は周回積分，$\gamma$は単位円のような閉曲線で，m=nのとき1になり，m≠nのとき0になります．コーシーの積分定理・公式からすぐいえるのですが，少し計算して確かめてみましょう．$z=e^{it}$とおきます． $$\begin{eqnarray} \oint_{\gamma} z^{m-n-1} dz&=& \int_0^{2\pi} e^{(m-n-1)it} ie^{it} dt \\ &=& i\int_0^{2\pi} e^{(m-n)it}dt \\ \end{eqnarray}$$ m=nのとき $$\begin{eqnarray} &=& i\int_0^{2\pi} dt \\ &=& i\left[ \ t \ \right]_0^{2\pi} \\ &=& 2\pi i \\ \end{eqnarray}$$ m≠nのとき $$\begin{eqnarray} &=& i\int_0^{2\pi} \{ \cos{(m-n)t}+i\sin{(m-n)t} \}dt \\ &=& i \left[\frac {\sin{(m-n)t}}{m-n}-i\frac {\cos{(m-n)t}}{m-n}\right]_0^{2\pi} \\ &=& 0 \\ \end{eqnarray}$$ クロネッカーのデルタを考案したドイツの数学者クロネッカー(Leopold Kronecker)は，無限集合論を確立した数学者カントールを，その業績だけでなく人間性をも厳しく批判し，精神的に追い込んだことが有名で，数学史上の悪役みたいなイメージがあります．一方，このドラマに登場したのはとても可愛いクロネッコー，いえクロネコでした．

[参考]
Kronecker Delta
https://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html