物語の中の数学 Math in Stories　(旧)マスメディアの中の数学 : 8月 2019

2019年8月17日土曜日

ドラマ　あなたの番です　第6話

2019年　日本テレビ

複素積分　リー代数

あるマンションに引っ越してきた夫婦が，そこの住民の「交換殺人ゲーム」に巻き込まれるというミステリーです．そこに住む女性の一人が数学科の大学生で，部屋に数式の書かれたホワイトボードがあります．

(そのホワイトボードを目にして)
手塚菜奈｢これは？｣
黒島沙和｢専攻が数学科なんですけど，ノートだけじゃ書ききれない計算とかあって…｣
手塚菜奈｢へえー｣
( ホワイトボードを裏返しながら)
黒島沙和｢今日のメインは，こっちです｣

｢専攻が数学科なんです｣という言い方は少しおかしいですね．さて，ホワイトボードには主に5つの数式がありました．

①複素関数

$f(z)=z^m$ の積分路とその積分計算です．

まず①-2前半の計算，半円

$C_2$ に沿った積分を，

$z=e^{(\pi-t)i}$ とおき，途中

$\pi-t=s$ と置換していますが，置換した後の積分区間を

$\pi$ から0に変えるべきところを，0から

$\pi$ のままになっていて，m : even（mが偶数）のときの値が正しくは

$-\frac{2}{m+1}$ なのに

$\frac{2}{m+1}$ になっています．

$z=e^{ti}$ とおけば，あとでもう一度置換する必要はなく，間違いはなかったと思います．そうすればこの計算は次のようになります．

$\begin{eqnarray} \int_{C_2} z^m dz&=& \int_0^{\pi} e^{mti} ie^{ti} dt \\ &=& i\int_0^{\pi} e^{(m+1)ti}dt \\ &=& i\int_0^{\pi} \{ \cos{(m+1)t}+i\sin{(m+1)t} \}dt \\ &=& i \left[\frac {\sin{(m+1)t}}{m+1}-i\frac {\cos{(m+1)t}}{m+1}\right]_0^{\pi} \\ &=& \frac{1}{m+1}\{ \cos{(m+1)\pi}-1\} \\ &=& \begin{cases} \ \ \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\ -\frac{2}{m+1} & ( m : even) \\ \end{cases} \end{eqnarray}$
次に①-2後半の計算，折れ線

$C_3$ に沿った積分は，最後の部分がはっきり映らなかったので，確認のため，書き加えておきます．

$\begin{eqnarray} \int_{C_3} z^m dz&=& \int_{-1}^0 \{t-(t+1)i\}^m (1-i) dt + \int_0^1\{t+(t-1)i\}^m (1+i) dt \\ &=& \int_{-1}^0 (1-i)\{(1-i)t-i\}^m dt + \int_0^1 (1+i)\{(1+i)t-i\}^m dt \\ &=& \left[\frac { \{(1-i)t-i \}^{m+1} }{m+1}\right]_{-1}^0+\left[\frac { \{(1+i)t-i \}^{m+1} }{m+1}\right]_0^1 \\ &=& \frac{(-i)^{m+1}-(-1)^{m+1}+1^{m+1}-(-i)^{m+1}}{m+1} \\ &=& \begin{cases} \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\ \frac{2}{m+1} & ( m : even) \\ \end{cases} \end{eqnarray}$
以上の計算は，①-1積分路の図のすぐ下の式，

$\int_{C_2} z^m dz = \int_{-1}^1 t^m dt = \begin{cases} \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\ \frac{2}{m+1} & ( m : even) \\ \end{cases}$ を確認するためだったのでしょうが，正しくは

$\int_{C_2} z^m dz = -\int_{-1}^1 z^m \frac{dz}{dt} dt = \begin{cases} \ \ \ \ 0 & ( m : odd ) \\ -\frac{2}{m+1} & ( m : even) \\ \end{cases}$
と書くべきでしょう．ただ，コーシーの積分定理より，特異点のない周回積分の値は0になるので，