小説 真夏の異邦人

 

喜多喜久　2014年　集英社

正五角形　正十七角形

大学のサークル｢超常現象研究会｣のフィールドワークで，自分の出身地である村に行った星原俊平が，山の中でまるで宇宙人のような不思議な少女と出会って恋をしつつ，村で起こった凄惨な事件の真相を追うという話です．

｢おお、できているな!｣ 戻ってきた天川さんは満足気に頷き、ぐるりと周囲を見回した。｢では、予定通り、森の中で宇宙人の出現を待つことにする。牛を中心に正五角形を描く形で行くぞ｣ P213

｢待てい!    実は今朝、例のオカルトサイトに新しい書き込みがあったのだ。なんでも、青森で正十七角形のミステリーサークルが出現したらしい。しかも、内部からは謎の金属片まで発見されている。｣ P305

正多角形の定規とコンパスによる作図可能性の解明には長い歴史があります．正5角形が作図可能であることは，紀元前3世紀頃の数学書『ユークリッド原論』の中で示されましたが，正17角形が作図可能であることは，1796年になってようやくガウスが発見しました．詳しく見てみましょう． 

ガウス-ワンツェルの定理 (Gauss-Wantzel theorem)

正$n$角形 ($n$ ≥ 3) が定規とコンパスで作図できるための必要十分条件は，$n$が次のように素因数分解されることである．$$n=2^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{r}$$(ここで$s$は0以上の整数， \(p_1, p_2, \dots, p_r\) は互いに異なるフェルマー素数)

フェルマー素数とは，\(p = 2^{2^k} + 1\) （$k$は0以上の整数）の形で表される素数のことで，現在知られているフェルマー素数は3, 5, 17, 257, 65537の5つのみです．

<作図できる例>

$n$= 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, ... , 257, 65537, ... 

<作図できない例>

$n$= 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, ... 

正n角形を作図する手順

1. 単位円の中心$O$を通る直線と円との交点を最初の頂点$A_{0}$とする．

2. 半径$OA_{0}$上に$OH=\cos\frac{2\pi}{n}$となる点$H$をとる．

3. 点$H$を通り、半径$OA_{0}$に垂直な直線と単位円との交点を，頂点$A_{1}$，$A_{n-1}$とする．

4. 残りの頂点をとって結ぶ．

n=5の場合

正17角形の作図には $\cos \frac{2\pi}{17}$ の値が必要

複素数平面上で方程式 $z^{17}=1$ の解を $1,z_1,z_2,\dots ,z_{16}$ とおくと，下図より

$1+z_1+z_2+\dots +z_{16}=0\tag{1}$
ただし，$z_k=\cos \dfrac{2k\pi}{17}+i\sin \dfrac{2k\pi}{17}$　($k$は0から16までの整数)

正17角形

ここで $\theta =\dfrac{2\pi}{17}$ とおくと，$z_k=\cos k\theta+i\sin k\theta$ なので(1)より，

$1+\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 16\theta =0$

$\cos (17-k)\theta=\cos k\theta$ なので，

$1+2(\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta) =0$

$∴\cos \theta+\cos 2\theta +\dots +\cos 8\theta =-\dfrac{1}{2} \tag{2}$

(A) まず初めに(2)の左辺を，$a=\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta$，$b=\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta $ の2つに分けて$a$の値を求めます．

(2)より$a+b=-\dfrac{1}{2}$

次に $ab$ を計算しますが，ここで積和公式 $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}\{\cos (\alpha +\beta)+\cos (\alpha -\beta)\}$ と $\cos (17-k)\theta=\cos k\theta$ を用いれば，例えば $\cos 8\theta\cos 7\theta=\frac{1}{2}(\cos 15\theta+\cos \theta)=\frac{1}{2}(\cos 2\theta+\cos \theta)$ のように計算できるので，

$ab=(\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta ) (\cos 3\theta+\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta )$

$=\cos \theta\cos 3\theta+\cos \theta\cos 5\theta+\cos \theta\cos 6\theta+\cos \theta\cos 7\theta$
$\quad+\cos 2\theta\cos 3\theta+\cos 2\theta\cos 5\theta+\cos 2\theta\cos 6\theta+\cos 2\theta\cos 7\theta$
$\quad+\cos 4\theta\cos 3\theta+\cos 4\theta\cos 5\theta+\cos 4\theta\cos 6\theta+\cos 4\theta\cos 7\theta$
$\quad+\cos 8\theta\cos 3\theta+\cos 8\theta\cos 5\theta+\cos 8\theta\cos 6\theta+\cos 8\theta\cos 7\theta$

$=\frac{1}{2}(\cos 4\theta+\cos 2\theta+\cos 6\theta+\cos 4\theta+\cos 7\theta+\cos 5\theta+\cos 8\theta+\cos 6\theta$
$\quad+\cos 5\theta+\cos \theta+\cos 7\theta+\cos 3\theta+\cos 8\theta+\cos 4\theta+\cos 9\theta+\cos 5\theta$
$\quad+\cos 7\theta+\cos \theta+\cos 9\theta+\cos \theta+\cos 10\theta+\cos 2\theta+\cos 11\theta+\cos 3\theta$
$\quad+\cos 11\theta+\cos 5\theta+\cos 13\theta+\cos 3\theta+\cos 14\theta+\cos 2\theta+\cos 15\theta+\cos \theta)$

$=\frac{1}{2}(\cos 4\theta+\cos 2\theta+\cos 6\theta+\cos 4\theta+\cos 7\theta+\cos 5\theta+\cos 8\theta+\cos 6\theta$
$\quad+\cos 5\theta+\cos \theta+\cos 7\theta+\cos 3\theta+\cos 8\theta+\cos 4\theta+\cos 8\theta+\cos 5\theta$
$\quad+\cos 7\theta+\cos \theta+\cos 8\theta+\cos \theta+\cos 7\theta+\cos 2\theta+\cos 6\theta+\cos 3\theta$
$\quad+\cos 6\theta+\cos 5\theta+\cos 4\theta+\cos 3\theta+\cos 3\theta+\cos 2\theta+\cos 2\theta+\cos \theta)$

$=\frac{1}{2}\times 4 (\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta +\cos 4\theta +\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta +\cos 8\theta)$

$=-1$

解と係数の関係より，$a,b$は２次方程式 $x^2+\dfrac{1}{2}x-1=0$ の解になるので，この方程式を解くと
$$x=\dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$$
上図より$a>b$なので，
$$a=\cos \theta+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cos 8\theta =\dfrac{-1+ \sqrt{17}}{4}$$

(B) 次に$a$を $c=\cos \theta+\cos 4\theta$，$d=\cos 2\theta +\cos 8\theta $ の2つに分けて$c，d$の値を求めます．

$c+d=a$

$cd=(\cos \theta+\cos 4\theta )(\cos 2\theta +\cos 8\theta )$

$=\cos \theta\cos 2\theta+\cos \theta\cos 8\theta+\cos 4\theta\cos 2\theta+\cos 4\theta \cos 8\theta $

$=\dfrac{1}{2}(\cos3\theta+\cos \theta+\cos9\theta+\cos 7\theta+\cos6\theta+\cos 2\theta+\cos12\theta+\cos 4\theta)$

$=\dfrac{1}{2}(\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta +\cos 4\theta +\cos 5\theta +\cos 6\theta +\cos 7\theta +\cos 8\theta)$

$=-\dfrac{1}{4}$

解と係数の関係より，$c,d$は２次方程式 $x^2-ax-\dfrac{1}{4}=0$ の解になるので，この方程式を解くと，
$$x=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2+1}}{2}$$
上図より$c>d$なので，
$$c=\cos \theta+\cos 4\theta =\dfrac{a+ \sqrt{a^2+1}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}$$
$$d=\cos 2\theta +\cos 8\theta =\dfrac{a- \sqrt{a^2+1}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{8}$$

(C) 最後に，$\cos \theta$の値を求めます．

$\cos \theta+\cos 4\theta =c$

$\cos \theta \cos 4\theta$を求めるために，

$(\cos \theta +\cos 4\theta)^2=\cos ^2\theta +2\cos \theta \cos 4\theta +\cos ^24\theta$

$=\dfrac{2+\cos 2\theta +\cos 8\theta}{2}+2\cos \theta \cos 4\theta$

となることを使うと，

$\cos \theta \cos 4\theta =\dfrac{c^2}{2}-\dfrac{2+d}{4}=\dfrac{2c^2-d-2}{4}$

解と係数の関係より，$\cos \theta,\cos 4\theta$ は2次方程式 $x^2-cx+\dfrac{2c^2-d-2}{4}=0$ の解になるので，この方程式を解くと，$$x=\dfrac{2c\pm\sqrt{-4c^2+4d+8}}{4}=\dfrac{c\pm\sqrt{-c^2+d+2}}{2} $$
上図より$\cos \theta>\cos 4\theta$なので，
$$\cos \theta=\dfrac{c+\sqrt{-c^2+d+2}}{2}$$
となり，$c, d$をこの式に代入すると$\cos \theta$の値が得られます．

$$\cos\frac{2\pi}{17}= \frac{1}{16}\left(-1 + \sqrt{17} + \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} + 2\sqrt{17 + 3\sqrt{17} - \sqrt{34 - 2\sqrt{17}} - 2\sqrt{34 + 2\sqrt{17}}}\right)$$

グラフ電卓で近似値を確認

[参考]

初等数学入門　大学入試問題とその背景　正17角形の作図