小説 本と鍵の季節

米澤穂信　2018年　集英社

微分方程式

高校2年生で図書当番をしている堀川次郎と松倉詩門が，いろいろな謎の解明に挑戦していく話を集めた短編集です．そのの中のひとつ，｢金曜に彼は何をしたのか｣ に彼らが未習のはずの微分方程式が登場しました．

西日が真正面から目に飛び込んでくる。カーテンが開けてあるせいで、日光を遮るものがないの だ。黒板はすぐ右手にあり、チョークで微分方程式が走り書きしてあった。このドアは、教室の前の方のドアということになる。僕と松倉は、互いに目配せを交わし合う。(P183)

どんな式が書かれてあったのか気になりますね．残念ながらこの話にはその数式は出てきませんでした．微分方程式は以前，高校数学Ⅲで学習していましたが，今 (2026年現在) では教科書の本文にはなく，＜発展＞の内容になっています．

微分方程式は，未知の関数の導関数を含む等式，言い換えれば $y'(=\frac{dy}{dx})$ や $y''(=\frac{d^2y}{dx^2})$ を含む等式のことで，それを満たす関数$y$を求めることを ｢微分方程式を解く｣ といいいます．例えば，$$y'=2x \tag{例1}$$という微分方程式の解は，$$y=\int 2x dx=x^2+C \quad (Cは任意の定数)$$ になります．つまり，不定積分を求めることは簡単な微分方程式を解くことと同意です．

微分方程式にはいろいろな型がありますが，その中でも最も易しい型が上の例を含む ｢一階線形微分方程式｣ になります．これは，世界で最も多くの国や地域の高校で採用されている国際バカロレア(IB)ディプロマプログラム(DP)の数学でも学習する内容ですので，例を少し見てみましょう．

次の形をしている微分方程式を一階線形微分方程式といいます．

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\tag{0}$$

この式の$P(x)=0$，$Q(x)=2x$とすれば上の(例1)になります．

この式の$P(x)=-2x$，$Q(x)=0$とすれば次の微分方程式になります．

$$\frac{dy}{dx}-2xy=0\tag{例2}$$

$$\frac{dy}{dx}=2xy$$

$$\int \frac{1}{y}dy=\int 2xdx$$

$$\ln {|y|}=x^2+C_1 \quad (C_1は任意の定数)$$

$$y=Ce^{x^2} \quad (Cは任意の定数)$$

となって，微分方程式 (例2) が解けました．このように，左辺に$y$の積分，右辺に$x$の積分に分けられる形を変数分離形といいます．

もう一つ，$P(x)$も$Q(x)$も0でない例を見てみましょう．

$$\frac{dy}{dx}+y=e^x\tag{例3}$$

$e^x$ を両辺に掛けると，

$$e^x\frac{dy}{dx}+e^xy=e^{2x}$$

$$\frac{d}{dx}(e^xy)=e^{2x}$$

$$e^xy=\int e^{2x}dx$$

$$e^xy=\frac{1}{2}e^{2x}+C \quad (Cは任意の定数)$$

$$y=\frac{1}{2}e^{x}+Ce^{-x}$$

(例3)の両辺に掛けた$e^x$を積分因子といいます．求め方はこちら．

[参考]

Oxford IB Diploma Programme: IB Mathematics: analysis and approaches, Higher Level