Monday, 23 September 2019

ドラマ 監察医 朝顔 第10話

落下運動

子どもを抱いたまま階段から落ちて自分だけ亡くなっていた母親の死因を,監察医らが解剖や落下実験などで解明しようとします.ドラマの中では話題になりませんでしたが,背景に数式の書かれたホワイトボードがありました.その式をよく見ると,水平方向に押されて落下し,着地した瞬間の速度を求める計算であることが分かりました.
$m = 47$ kg $+8.3$ kg $=55.3$ kg
高さ$h$を$3$mとする
$v$ [m/s] $= g$ [m/s2]
$v = \sqrt{2gh}$ より
$v = \sqrt{2×9.8×3} = 14\sqrt{0.3}$
また,$h=\frac{1}{2}gt^2$ より
$3 = \frac{1}{2}×9.8×t^2 = \frac{1}{2}9.8t^2$
$t^2 =3×\frac{2}{9.8} = \frac{6}{9.8}=0.612...$
$\fallingdotseq 0.6$
$t = \sqrt{0.6}$
$v_x = v_0$
$v_y = gt = 9.8\sqrt{0.6}$
$v_0 = 5$ m/s とすると
$v^2 = v_x^2+v_y^2
=5^2+(9.8\sqrt{0.6})^2$
$= 25+(96.04×0.6)
= 25+57.624$
$= 82.624$
$v= \sqrt{82.624}=9.089...\fallingdotseq 9.1$ m/s
着地した瞬間の水平方向の速度を$v_x$,垂直方向の速度を$v_y$として,その合成速度$v$を求めています.

3行目の $v$ [m/s] $= g$ [m/s2] は明らかなミスですね.「$h$ [m] 落下した瞬間の速度$v$ [m/s] は,重力加速度を$g$ [m/s2]とすると」とすべきでしょう.

5行目の$v$は$v_y$ですね.この後,落下にかかった時間$t$を求め,$v_y = gt$からまたもや$v_y$を求めています.しかも,途中で$t^2$を丸めたことによる誤差が出て,初めの$14\sqrt{0.3}$と後の$9.8\sqrt{0.6}$は異なる値になってしまっています.正確には前者で,$t^2$を丸めなければどちらも$14\sqrt{0.3}$になるはずです(計算してみてください).

そうすると,着地した瞬間の速度は次のようになります.
$v^2 = v_x^2+v_y^2=5^2+(14\sqrt{0.3})^2= 25+(196×0.3)= 25+58.8= 83.8$
$v= \sqrt{83.8}=9.1542...\fallingdotseq 9.15$ [m/s]

ところで最初に親子の体重の和があるので,この後さらに着地時の衝撃力を計算するはずだったと思われます.

着地時の物体は、$mv$ [kg·m/s] という運動量を持ち,着地後は着地面からの力 $F$ [N] を一瞬の時間 $∆t$ [s] だけ受け、運動量は0になります.このときの力$F$を衝撃力といい,次式で求められます.
$F =\displaystyle\frac{mv}{∆t}$ [N]
水平方向に押されて,高さ3mから落下したとするこの計算の場合,着地後に速度が0になるまで仮に0.1秒かかったとすると,
$F =\displaystyle\frac{mv}{∆t}=\frac{55.3×9.15}{0.1}\fallingdotseq 5060$ [N] 
となり,落ちてぶつかったところに約5000 [N],およそ500 [kgf] ぐらいの衝撃を受けたものと推測されます.

[参考]
衝撃力の計算
http://higgs.phys.kyushu-u.ac.jp/~koji/shougeki.pdf

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