映画 Ron's Gone Wrong ロン 僕のポンコツ･ボット

2021年　英米国

素数　素因数分解　合成数　約数　

スマホのような機能に加え，その人に合った友達まで見つけてくれるというロボット型デバイス「Bボット」をほとんどの中学生が持つようになっているという近未来．友達がいなくて寂しい思いをしていた中学生のバーニーが，誕生日にもらったポンコツのBボットと一緒に本当の友情を探そうとするSFコメディです．

数学の授業のシーンで，素数の定義，最初の10個の素数，素数と合成数の例，素因数分解のし方が登場します．

click to enlarge

まず素数の定義です．

Prime number is a number that only divides by 1 and itself（素数は1とそれ自身でのみ割り切れる数）
prime numbers have two factors（素数は2つの約数を持つ）

→   can't be even numbers（偶数ではない）

と書かれていますが，2が素数の中で唯一の偶数なので "except 2（2以外は）" と言及しておかなければいけませんね．

[クイズ]  ではここで問題です．上の授業の板書をよく見て考えてください．（正解は文末）

Q1. 最初の10個の素数は，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17の後，隠れている残り3つは何でしょう？

Q2. 向かって右側の30と10の上にある赤い文字のCはどういう意味でしょう？

Q3. 教師の後ろに隠れている素数の例は何でしょう？

さて，これまで何回か紹介した最大素数はさらに大きなものが見つかり，2022年5月現在では，2018年に発見された$2^{82589933}-1$が最大で，24862048桁にもなっています．

他にも，素因数分解の一意性，無限に存在すること，暗号への応用，素数ゼミなど，素数の話題にはキリがありませんが，今回は，素数計数関数 (Prime-counting function)，素数定理 (Prime number theorem) について見てみましょう．

素数計数関数 

素数計数関数は，正の実数$x$に対して，$x$以下の素数の個数を対応させる関数で，$\pi(x)$で表します．

例1. $x=2$のとき，2以下の素数は2だけなので，$\pi(2)=1$　

例2. $x=10$のとき，10以下の素数は2, 3, 5, 7の4つなので，$\pi(10)=4$

例3. $x=100$のとき，100以下の素数は25個あるので，$\pi(100)=25$

素数計数関数　x=100まで（by WolframAlpha）

これぐらいまでは手計算でなんとか求められますが，もっと大きな数になると困難です．そこで次の定理があります．

ガウスの素数定理

$x$が十分大きな整数であるとき，素数計数関数$\pi(x)$は$\displaystyle \frac{x}{\ln x}$（$\ln x$は自然対数）で近似できる，すなわち次の近似式が成りたつというのが，ガウスが予想した素数定理です．$$\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$$これら2つのグラフ（$x=10^8$まで）を重ねると次のようになります．

x=10^8まで（by WolframAlpha）

値が大きくなるにつれて離れていくように見えますが，それぞれの値の比は1に近づきます．この定理のおかげで大きな数になってもそれ以下の素数の個数の近似値を$\displaystyle \frac{x}{\ln x}$で求めることができます．

では素数定理の証明というよりは直感的な理由を見てみましょう（厳密な証明ではありません）．十分大きな整数$x$が素数である確率$\displaystyle p(x)=\frac{\pi(x)}{x}$を考え，$\displaystyle \frac{1}{p(x)} \sim \ln x$を示せば，$\displaystyle\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$が成りたつことがいえます．

$x$が素数2の倍数でない確率は$\displaystyle \left( 1-\frac{1}{2}\right)$，素数3の倍数でない確率は$\displaystyle \left( 1-\frac{1}{3}\right)$，……なので，$x$が素数である (素数の倍数でない) 確率は次式になります．$$p(x)=\left( 1-\frac{1}{2} \right) \left( 1-\frac{1}{3} \right) \left( 1-\frac{1}{5} \right)\cdot\cdot\cdot\cdot\left( 1-\frac{1}{p_x} \right)\quad\quad\quad  \left( p_xはxより小さい最大の素数 \right)$$

ここでこの逆数を考えます．次式の1行目と2行目の積の各因数は初項1，公比$\displaystyle \frac{1}{p}$の等比級数の和になっています．\begin{eqnarray}\frac{1}{p(x)} &=&\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{5}} \cdot\cdot\cdot\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{p_x}}  \\&=& \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdot\cdot\cdot\cdot \right) \left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdot \cdot \cdot \cdot \right) \left(1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdot \cdot \cdot \cdot \right) \cdot\cdot\cdot\cdot\left(1+\frac{1}{p_x}+\frac{1}{p_x^2}\cdot\cdot\cdot\cdot\right)\\ &\sim& 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdot\cdot\cdot\cdot +\frac{1}{x} \end{eqnarray}上式の2行目を展開するとすべての項がいくつかの素数の累乗の積の逆数になります．どんな整数もいくつかの素数の累乗の積になるので，$x$が十分大きければ3行目のような整数の逆数の和に近似できます（∞なら等式が成立 i.e. リーマンゼータ関数のオイラー積表示）．ここで下のグラフより次の近似式も成り立ちます．$$\displaystyle1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdot\cdot\cdot\cdot +\frac{1}{x}\sim \int_1^x{\frac{1}{t}}dt=\ln x$$

よって，$\displaystyle \frac{1}{p(x)} \sim \ln x$を示すことができたので，$\displaystyle\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$が成りたつことがいえました．

因みに，もっと正確に$x$以下の素数の個数を求めようと，素数定理の誤差を研究したリーマンは素数公式（リーマンの明示公式ともいう）を発見しました．

[参考]

Mathematics in Movies
https://people.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/

ガウスの素数定理
https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/04/08/120132

[クイズの答]
A1.   19, 23, 29
A2.   Composite Number（合成数）の頭文字 
A3.   7（映画を観れば分かります）

映画 Marry Me

2022年　米国

sum  reciprocal  even  factor

婚約者の浮気を知って失望した人気女性歌手 Kat Valdez が，コンサート中に "MARRY ME!" と書いた看板をもっていた男性高校教師 Charlie Gilbert といきなり結婚すると言い出し，言われた方もOKしたことでいろいろな騒動が起こるという話です．

Charlie の授業中，白板に書かれた問題と生徒の解答です．

Find the sum of reciprocals of the even factors of 16
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{8+4+2+1}{16}=\frac{15}{16}$

これは「16の約数のうち偶数であるものの逆数の総和を求めよ」という問題です．16の約数は 1, 2, 4, 8, 16 で，そのうちの偶数は 2, 4, 8, 16 なので，それらの逆数をすべて加えると上の解答が得られます．

画面にあったその次の問題も解いてみましょう．

Find the sum of reciprocals of the even factors of 20.

これは解答がありませんでした．20の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 20 で，そのうちの偶数は 2, 4, 10, 20 なので，その逆数の和は次のようになります．$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}=\frac{9}{10}$$

しかし，もっと大きい数になると約数の個数が増えるので，このやり方では大変です．そこで上手に計算する方法を考えます．例えば，$360=2^3 3^2 5^1$について考えてみましょう．約数の個数は$4\times3\times2=24$個もあります．約数の総和は$$(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1)=\sum_{i=0}^{3}2^{i} \sum_{j=0}^{2}3^{j}\sum_{k=0}^{1}   5^{k}\tag{1}$$これは等比数列の和の積になるので，$$=\frac{2^4-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=1170$$この式(1)は展開すると24個の約数はそれぞれ $$2^i3^j5^k \quad (i, j, kは整数，0≤i≤3, 0≤j≤2, 0≤k≤1)\tag{2}$$と表せます．その逆数は$$\frac{1}{2^i3^j5^k}=\frac{2^{3-i}3^{2-j}5^{1-k}}{2^3 3^2 5^1}$$となるので，360の約数の逆数の総和は次のようになります．$$\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=0}^{3}2^{3-i} \sum_{j=0}^{2}3^{2-j}\sum_{k=0}^{1} 5^{1-k}=\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=0}^{3} 2^{i} \sum_{j=0}^{2}3^{j} \sum_{k=0}^{1} 5^{k}$$$$=\frac{1}{360}\cdot\frac{2^4-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{1170}{360}=\frac{13}{4}$$

さて，次に約数のうち偶数であるものの逆数の総和です．$360=2^3 3^2 5^1$の約数$2^i3^j5^k$の中で，$i=0$のときだけが奇数になりますから，式(1)から$2^0$を除いた次の式が，偶数の約数の総和になります．$$(2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1)=1092$$この式を展開すると18個の約数はそれぞれ式(2)と同じ$2^i3^j5^k$と表せますが，$1≤i≤3$になります．すると360の約数のうち偶数であるものの逆数の総和は次のようになります．$$\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=1}^{3} 2^{3-i}\sum_{j=0}^{2} 3^{2-j}\sum_{k=0}^{1}  5^{1-k}=\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=0}^{2}2^{i} \sum_{j=0}^{2} 3^{j}\sum_{k=0}^{1}  5^{k}$$$$=\frac{1}{360}\cdot\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{546}{360}=\frac{91}{60}$$この方法なら，もっと大きな数でも約数のうち偶数であるものの逆数の総和を求めることができます．以上まとめて公式として書くと以下のようになります．

正の偶数 $n=2^k p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdot\cdot\cdot p_m^{k_m} \quad (k, k_iは整数，1≤k，0≤k_i，p_iは奇素数)$のとき，$n$の約数のうち偶数であるものの逆数の総和は，$$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}2^{i} \sum_{j_1=0}^{k_1} p_1^{j_1}\sum_{j_2=0}^{k_2}  p_2^{j_2}\cdot\cdot\cdot\sum_{j_m=0}^{k_m}  p_m^{j_m}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2^k-1}{2-1}\cdot\frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{k_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\cdot\cdot\frac{p_m^{k_m+1}-1}{p_m-1}$$

この公式を使っていくつか$n$の約数のうち偶数であるものの逆数の総和を確認してみましょう．

$n=16=2^4$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{16}\cdot\frac{2^4-1}{2-1}=\frac{15}{16}$$

$n=20=2^2 5^1$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{20}\cdot\frac{2^2-1}{2-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$$

$n=1080=2^3 3^3 5^1$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{1080}\cdot\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^4-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{1680}{1080}=\frac{14}{9}$$

$n=441000=2^3 3^2 5^3 7^2$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{441000}\cdot\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^4-1}{5-1}\cdot\frac{7^3-1}{7-1}=\frac{809172}{441000}=\frac{3211}{1750}$$このように数が大きくなると，約数のうち偶数であるものの逆数をすべて加えるより速く計算できます．

[参考]

Mathematics in Movies
https://people.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/

漫画 数字で遊ぼ。

絹田村子　2018年　小学館

デデキンドの切断　ベクトル空間

抜群の記憶力だけで京都の吉田大学（京大がモデル）の理学部に現役合格した横辺建己が，入学後最初に受けた数学の講義をまったく理解できなかったことがショックでそのまま2年も留年してしまいますが，3年目からようやく友達もできてやり直し，その後数学科に進学して奮闘するという話です．

第1巻　第1話　極限は突然に

初日につまづいたからといって2年も留年するのはあまりリアルではないと思いますが，横辺建己にそこまでショックを与えたのはどんな内容だったのでしょうか．その入学後初日2時間目の講義は「微分積分学」で，デデキンドの切断を使って実数の連続性を示す準備となる，有理数の切断の話でした．

板書1

板書2

板書2の見えない部分を推測すると，次のようになると思われます．

$\exists a \in A \ s.t. \forall b \in A, \ b \leq a$　　…①
または 
$\exists a' \in A' \ s.t. \forall b'$ $\in A', \ a' \leq b'$　　…②
このとき切断(A, A')は，①のときは有理数aを定め，②のときは
有理数a'を定める
注意：①と②は同時に起らない

以上を分かり易く言い換えてみます．
(板書1)
有理数の全体$\mathbb{Q}$をその部分集合A（下組）とA'（上組）に分け（切断し），Aのどの元もA'のどの元より小さくなるようにする．
(板書2)
ある有理数が定まる切断は次の2通りのどちらかになる．
①Aに最大元$a$があり，A'には最小元がない．このとき有理数$a$が定まる．
②Aに最大元がなく，A'には最小元$a'$がある．このとき有理数$a'$が定まる．

③Aに最大元がなく，A'にも最小元がない場合，対応する有理数が定まらないので，実数を対応させることになります．実数の切断は①または②の場合しかないので，実数の全体$\mathbb{R}$が連続であるという話につながっていきます．

第2巻　第6話　酒と泪と男とベクトル

横辺建己が入学3年目になってやり直しを決意し，実在する書籍「理系のための線型代数の基礎」（永田雅宜著）のベクトル空間のところを読んでいます．

横辺「わ，わからない．ベクトルって矢印のことじゃないのかーーっ」 

a, b, cはベクトル，α，βはスカラー

矢印は物理で力や速度などに使われますが，ベクトル空間の一例にすぎません．一般には，足し算とスカラー倍ができて，上の8つの性質（最後の$1a=a$を除いて7つという場合もあり）を満たすベクトルの集まりをベクトル空間といいます．易しくいうと，$n$次元成分表示$(a_1,a_2,…,a_n)$と対応できるものの集まりはすべてベクトル空間になります．

例えば，$n$次元デカルト座標や$n$個のデータは$(a_1,a_2,…,a_n)$，複素数$a+bi$は$(a, b)$，上の多項式$x^2+2x+3$は$(1, 2, 3)$と表せるので，その集まりはすべてベクトル空間になります．なので，高校教科書では$\vec{a}$，$\vec{b}$のように上に矢印をつけますが，線形代数の専門書では矢印をつけず，太字で表すのが一般的です．

余談ですが，$n$個のデータが2つあって各々の平均との差（偏差）を表すベクトルを$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$とするとき，これら2つのデータの相関係数は次式で求められます．これは2つのベクトルのなす角の余弦になるので，正の相関が強いと同方向の$\cos{0°}=1$，負の相関が強いと逆方向の$\cos{180°}=-1$に近くなります．$$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \ |\boldsymbol{b}|}$$

(参考)

実数の連続性（実数のデデキント切断）
https://wiis.info/math/real-number/definition-of-real-number/continuity-of-real-number/

ベクトル空間と基底
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hisamoto/1W/hisamoto-1W17-03.pdf

動画 積分するアイドル見つけました

予備校のノリで学ぶ｢大学の数学・物理｣　 2021年　YouTube　

定積分の計算

アイドルグループ「乃木坂46」の林瑠奈が黒板に定積分の計算を書き，答が884になって，その語呂合わせが姓の「ハヤシ」になるという動画です．まず次の計算をします．$$\displaystyle\int_0^{\frac{-1+\sqrt{1769}}{2}}(4x+2)dx$$式変形は丸覚えという感じで，鼻歌を歌いながらすらすらと書いていきます．動画の通り，高校数学Ⅱの知識で884を導きました．この問題は数学の先生に教わったそうです．

この後にもう1問，今度は「100倍難しい」という三角関数を含む定積分の計算を書きます．その問題がこちらです．$$\displaystyle\int_{-1768}^{1768}\frac{\sin^2(46\pi x)}{1+e^x}dx\tag{1}$$

（2問目）三角関数を含む計算

書かれた計算はこの図の通りで答えは884なんですが，いきなり式(1)と次の式(2)が等しいことを当然のように話を進めています．$$\displaystyle\int_{-1768}^{1768}\frac{\sin^2(46\pi x)}{2}dx\tag{2}$$これが成り立つのならその理由が必要です．式(2)で良いなら，動画の通りに高校数学Ⅲの方法で計算できますが，式(1)をそのまま計算するのは難しいですね．

(1)の不定積分をWolframAlphaで確かめようとしたところ，このままではエラーになってしまったので，$x$の係数を$\pi$にしてみたら，次のような結果になりました．

$_2F_1(a , b ; c ; x)$は超幾何関数

このように，不定積分は超幾何関数や虚数単位 $i$ を含む難しい式になります．超幾何関数の定義は，$$_pF_q(a_1,…,a_p;b_1,…,b_q;x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(a_1)_n(a_2)_n⋯(a_p)_n x^n}{(b_1)_n(b_2)_n⋯(b_q)_n n!}$$$$ここで，(a)_0=1, \quad (a)_n=a(a+1)(a+2)⋯(a+n-1)$$という式なので，xの係数が$\pi$のとき，上の式の中の超幾何関数は，次の式になります．$$_2F_1(1, -2\pi i; 1-2\pi i; -e^x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(1)_n(-2\pi i)_n (-e^x)^n}{(1-2\pi i)_n n!}$$これをこのまま計算するのは困難なので，WolframAlphaに(1)の積分計算をしてもらったら，確かに884になりました．

次はグラフで(1)と(2)が等しいことを確かめてみます．

緑が $y=\displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}$…①，赤が $y=\displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{2}$…②，青が $y=\displaystyle\frac{1}{1+e^x}$…③です．xの係数を46πにすると周期が短すぎて密になって波が見えないので，xの係数はπにしています．x<0のとき①は②の2倍に近く，x>0のとき①は0に近いことと，③が(0, $\frac{1}{2}$)に関して点対称であることを考えると，①の下と②の下の面積は等しいということが分かります．

とりあえずグラフを考えて式(1)と(2)が等しいことは分かりましたが，この動画ではその証明がないのですっきりしません．初めから式(2)を計算したほうが良かったと思います．

　

＜2022/03/26追記＞

｢YAHOO!知恵袋｣にこの話題があり，式(1)と(2)が等しいことの証明がありました．

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14247755234

[Reference]

積分するアイドル見つけました【乃木坂46×ヨビノリ】
https://www.youtube.com/watch?v=xsoroPOe9gk&t=915s

hypergeometric function
https://ncatlab.org/nlab/show/hypergeometric%20function

映画 X+Y 僕と世界の方程式

2015年　英国

2進数

他人とのコミュニケーションを苦手とする少年が，ずば抜けた数学の才能によって国際数学オリンピックの英国代表になったという実際にあった話をモデルにしたドラマです．その中の数学の授業での一コマです．

問題
Teacher : Twenty random cards are placed in a row, all face down. A move consists of turning a face down card, face up and turning over the card immediately to the right. Show that no matter what the choice of card to turn, this sequence of moves must terminate.

(筆者訳) 教師：20枚のカードが一列ですべて裏向きに置かれている．いずれかの裏向きのカードを表向きにして，すぐ右のカードをひっくり返すという動作を繰り返す．どのようにカードを選んでも，この一連の動作は必ず終わることを示しなさい．

教師に指名され，黒板の前に立った主人公の少年 Nathan は，話しにくそうにしながらも次のように説明していました．

(英語略･筆者訳) カードではなく数字だとして考える．裏向きを1，表向きを0とすると，最初は全部1が並んでいる．その後，例えば次のようになったとすると，これは2進数と考えられる．

10011010

この動作をすると，例えば11は00になり，

10000010

10は01になる．

10000001

上から下へ，この2進数の値は狭義単調減少になる（減っていく）． （注：「広義単調減少」は，減っていくが同じ値を繰り返すこともある）
これはこの一連の動作が必ず終わることを意味する．なぜなら，正の整数から整数がずっと減り続けて負の数にならないようにすることはできないから．

2進数表記にして考えるのは分かり易いですね．この後 Nathan は教師から褒められ，教室にいた生徒たちから賞賛の拍手を浴びていました．

さてこの問題，毎回どれか裏向きのカードを表向きにしてその右のカードをひっくり返していくわけですから，次の2種類の動作しかありません．

裏裏 → 表表（上の解答では11→00）

裏表 → 表裏（上の解答では10→01）

これを繰り返すと，偶数枚の時は最後に全部表向きで終わり，奇数枚の時は最後に右端だけ裏向きで終わります．この問題でのカードの枚数は20枚ということでしたが，$n$枚の場合に，終わるまでの最少動作数minと最多動作数maxを考えてみました．

例えば，$n$=3枚の時，最少で終わるのは 111→001 の1回で，最多で終わるのは 111→100→010→001 の3回になります．また，$n$=4枚の時，最少で終わるのは 1111→0011→0000 の2回で，最多で終わるのは 1111→1100→1010→1001→0101→0011→0000 の6回になります．さらにいくつかの場合を調べてみると次の表のようになります．

これを$n$の式で表すと次式になります．　( [    ]はガウス記号 )$$\min=\left [ \frac{n}{2}\right ]$$ $$\max=\frac{1}{2}n(n-1)$$なので，この問題の$n=20$枚の場合は，$$\min=\left [ \frac{20}{2}\right ]=10$$ $$\max=\frac{1}{2}\times20\times(20-1)=190$$すなわち，少なくて10回，多くて190回の動作で全部表向きになります．

[Reference]

X+Y (Clip) - Nathan solves math problem | Pinnacle Films
https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8

ドラマ 科捜研の女 season21 第1話 マリコの選択

2021年　テレビ朝日

3次元空間　ねじれの位置

京都府警科学捜査研究所を舞台として，法医研究員榊マリコを中心に，科学を駆使して凶悪犯罪を解決していくというドラマです．いつもは理科の話が多いのですが，被害者の元妻が数学の大学教員であることから，珍しく数学の話題が出てきました．

土門「水城和穂さん，ご主人の身元確認をされたのはあなたですね」
水城「その，『ご主人』て言い方，今はもうジェンダー的にアウトです」

数学とは関係ありませんが，確かに「ご主人」や「奥さん」という言葉は「ジェンダー的にアウト」だとすればどう呼んだらいいか難しいですね．この機会に少し調べてみたら，日本語ジェンダー学会の理事の方は「夫さん」「妻さん」という言い方を推奨されていました．今はまだ違和感がありますが，これが何年か後に普通の日本語として受け入れられているかも知れません．因みに，私は「カミさん」という言葉を使っていましたが，これも目上の人を表す「上様（かみさま）」が変化してできたものだそうで「アウト」．「妻」だけが適切な言葉だそうです．

水城「そもそも離婚した時点で，彼と私はねじれの位置だったんですから」
土門「ねじれの位置？」
水城「3次元空間における2本の直線の関係は3種類．同一平面上にあれば平行か，もしくは1点のみで交わる交差．同一平面にない場合はすべてねじれの位置．交わることも同じ方向に進むこともない．だから離婚したの」

ねじれの位置は，簡単にいえば立体交差です．すなわち，交わらないし平行でもない2本の直線の関係のことです．従って，3次元空間内では，「平行」か「交わる」か「ねじれの位置」か，3つのうちのいずれかしかありません．

このセリフは人間関係を比喩していますね．平行なら考えが同じ方向を向いている，交わるなら合意できる点がある，ねじれの位置ならそのどちらでもないといった感じでしょうか．

南京玉すだれ

さて，なぜ「ねじれの位置」というのでしょう．細長くて柔らかいものをねじると，両端が逆方向に回転されることによって変形しますが，まとめた2本の棒をねじると，両方の先端がずれて立体交差状態になります．これが「ねじれの位置」と呼ばれるようになった理由だと思われます．例えば南京玉すだれ．これはねじることによって，「ねじれの位置」の棒が多数出来上がります．また，人間の腕の骨は2本あることで，ねじることができるようになっていますね．

因みに，神戸のポートタワーは，遠くから見ると一葉双曲面に見えますが，地面に対して垂直な軸に対して少しねじれの位置になる柱を多数使っていて，まるで向きの違う2本の柱が回転してできているように見えます．その様子をGeoGebraで作ってGIFにしてみました．

ところで，中学1年生の練習問題でときどき目にするすっきりしない問題があります．立方体の2辺の関係を，「平行」か「垂直」か「ねじれの位置」のいずれかで答えさせるものです．例えば右図の辺ABとFGは「ねじれの位置」が正解とされています．しかし，
2直線が交わっていないときは，それらを方向を変えずに移動させ，お互いが交わったときにできる角を，この2直線のなす角という
ので，この2辺のなす角は90°です．従って，この辺ABとFGは「ねじれの位置」かつ「垂直」ということになります．ところが，中学では「ねじれの位置」にある2直線のなす角は定義されていないので，辺ABとFGを「垂直」と答えなくてよいというわけです．中学で定義されていないというならこのような問題を出すべきではないですね．このことをしっかり認識している問題集では「垂直に交わる」と表現しています．

[参考]

日本語ジェンダー学会　改まった場における他人の配偶者の呼びかた
https://gender.jp/gender-essay/essay201003/

テレビドガッチ　パートナーを呼ぶ言葉「妻・嫁・女房・奥さん・家内・カミさん」正しいのは？
https://topics.tbs.co.jp/article/detail/?id=5148

ドラマ 天国と地獄 〜サイコな2人〜

森下佳子(脚本)　2021年　TBS

∅　クウシュウゴウ

被害者の手のひらに∅と書かれてある連続殺人事件が起こり，一緒に階段を落ちた刑事と容疑者の魂が入れ替わり，事件の証拠品に「暗闇の清掃人∅」という漫画が見つかり，『クウシュウゴウ』を名乗る謎の人物も登場するという，少しややこしいサスペンスドラマです．

法では裁けない悪人たちを始末する闇の清掃人
コードネームは『クウシュウゴウ』
"そんな人はいないよ"という意味だ
彼は誰にも気づかれずこの世の掃除をしていく
この世にそんな人はいないよというサインだけを残し（第8話より） 

数学で集合といえば，整数全体とか東京都民とか，属するかどうかがはっきりわかるものの集まりで，属するものひとつひとつを要素または元といいます．例えば10以下の正の偶数という集合は，次の2つの表し方があります．

｛2, 4, 6, 8, 10｝（外延=すべての要素を書きだす方法）
｛ｘ|ｘは10以下の正の偶数｝（内包=条件を示す方法）

『クウシュウゴウ』は「空集合」，すなわちひとつも要素を持たない集合のことで，∅ または｛ ｝で表します．上のセリフの中の「この世にそんな人はいないよというサイン」∅ は，ノルウェー語のアルファベットのひとつであり，ギリシャ文字のΦではないので，ファイと読まず，empty setと読む方がいいでしょう．

空集合は何も中身をもたない集合なので，あまり考える対象にならないのかなと思いますが，これが注目されるのは，冪集合（べきしゅうごう）(=Power Set) すなわち部分集合の全体を考えるときです．

どんな集合も空集合と自分自身を部分集合に持ちます．このことを次のように表します（Aはある集合）．$$\varnothing \subset A,\quad A\subset A$$

例えば，集合A={a, b｝の部分集合の全体は，{ {  },  {a},  {b},  {a, b} }または{ ∅,   {a},  {b},  A }という「集合の集合」で，その要素の個数は$2^2=4$個になります．

また，集合A={a, b, c｝の部分集合の全体は，{ ∅,  {a},  {b},  {c},  {a, b},  {b, c},  {c, a},  A }という「集合の集合」で，その要素の個数は$2^3=8$個になります． 

以上のように，部分集合の全体の集合は，その要素の個数が$2^n$すなわち2の冪になるので，冪集合と呼ばれていて，その中には必ず「クウシュウゴウ ∅」が含まれています． 

似た例として，6 (=2×3) の約数の全体は．$\lbrace1, 2, 3, 6\rbrace=\lbrace2^0\times 3^0, 2^1\times3^0, 2^0\times3^1, 2^1\times3^1\rbrace$という集合になりますが，これは2つの因数2と3をそれぞれ使わない（0乗）か使う（1乗）かの2択になり，2択するものが2種類あるので，その要素の個数は$2^2=4$個になります． 

上と同様の例を考えると，30 (=2×3×5) の約数の全体は．$\lbrace1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\rbrace$＝$\lbrace2^0\times 3^0\times5^0, 2^1\times3^0\times 5^0, 2^0\times3^1\times 5^0, 2^0\times3^0\times 5^1, 2^1\times3^1\times5^0, 2^1\times3^0\times5^1, 2^0\times3^1\times5^1, 2^1\times3^1\times 5^1\rbrace$という集合で，2択するものが3種類あるので，その要素の個数は$2^3=8$個になります．

因みに，要素を1つだけ持つ集合は単集合といいます．例えば｛0｝とか ｛1｝などですが，｛∅｝は空集合か単集合のどちらでしょう？ 　これは∅というただ1つの要素を持つ単集合です．∅＝｛ ｝なので，｛｛ ｝｝も単集合です．すなわち，空集合だけを要素に持つ集合は空集合ではないということになります．ちょっと紛らわしいですね．

[参考]

空集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88

ドラマ 先生を消す方程式 第1話

鈴木おさむ(脚本)　2020年　TV朝日 

定積分

半数以上が東大に進学する偏差値の高いある高校で，半年の間に3人の教師がやめてしまったというクラスの担任になった数学教師が，赴任初日から精神的な攻撃や物理的な攻撃をする生徒たちに対して全く動じる気配を見せないため，生徒たちがこの教師を殺してしまおうとする話です．

第1話で，2019年東大入試理系数学第1問，数学Ⅲの定積分の計算問題がそのまま使われました．

生徒は30秒以内に解けと無理をいいますが，この教師はいとも簡単に解いて生徒たちを驚かせます．

実際に解いてみましたが，展開した4つの項のうち2つで異なる置換積分をしなければならないので，かなり面倒な計算になりました．詳しい解説は多数のサイトでアップされていますので，そちらを参照してください．

気になったところを3点．

①3項目の計算の[　]の中，$t^{1/2}+t^{-1/2}$ の $-1/2$ が見えにくい．（拡大してみてください）

②4項目の $dx=(1+\tan^2\theta)d\theta$ は，次の行で被積分関数が $\sin^2\theta$ になることを考えると $dx=\frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$ の方が自然ではないか．

③その次の行，積分区間の上端 $\pi/4$ が見えにくい．（拡大してみてください）

似たような問題で，もっと簡単そうに見えて実はそうではないという例を紹介しましょう．$$\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$$小説 ｢秘密｣でこの不定積分を紹介しました．これもかなり大変な計算になります．いろいろな方法がありますが，最も簡単に計算する方法は$x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$と置換する方法です．これは$x=\sinh{t}$（双曲線関数）なんですが，これを知らなくても数学Ⅲの知識で計算できます．

実はこれ，放物線 $y=\frac{1}{2}x^2$ の$x=0$から$1$までの長さを求める計算になります．「放物線の長さ」で検索すると解説が多数アップされていますので，この方法を探してみてください．因みに正解は次のようになります．(lnは自然対数）$$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})=1.14779......$$

映画 リトルプリンス 星の王子さまと私（英語版）

2015年　フランス

ベクトル　方程式

時は現代（公開は2015年），1943年サン＝テグジュペリ原作「星の王子さま」の中でその王子さまと出会ったという元飛行士の老人と，その話に夢中になった隣に住む9歳の少女との交流を通して描かれた「星の王子さま」の後日談ともいえる作品です．

Vector

名門校への進学を期待されて母親に決められた細かいスケジュールで学習するこの女の子が表紙に｢La Geometrie Analytique（幾何解析）｣と書かれた本で勉強をしているときに，この数式が映りました．

9歳の子がハイスクールで習うベクトルの問題を解いています．左上の$-\overrightarrow{ AP }$は次の行で$\frac{3}{4}\overrightarrow{ AB }$となっていますが，その下の$\overrightarrow{ PQ }$で$\overrightarrow{ AB }$との和が$\frac{1}{4}\overrightarrow{ AB }$となっているので，正しくは1行目が$\overrightarrow{ PA }$，2行目が$-\frac{3}{4}\overrightarrow{ AB }$でしょう．

さて，問題を推測してみましょう．「平行四辺形ABCDの辺AB，BC，CD，DAを3:1に内分する点をそれぞれP，Q，R，Sとするとき，四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ．」でしょうか．$\overrightarrow{ SR  }=\overrightarrow{ PQ}$なら，四角形PQRSは平行四辺形になります．

これが3:1ではなく，内分する4点がすべて中点の時は，四角形ABCDがどんな四角形でも四角形PQRSは平行四辺形になります (Varignon's theorem)．

[訂正] 2020/9/22追記

上の解答でPからQへ行くのに，PB→BQと行かずにわざわざPA→AB→BQと行っているのが気になっていたのですが，どうやら別の部分が間違っていると考えれば，適切な別の問題が推測できることがわかりました．「平行四辺形ABCDの辺AB，CDを3:7に外分する点をそれぞれP，Rとし，辺BC，DAを3:1に内分する点をそれぞれQ，Sとするとき，四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ．」この場合，右上の2行目，3行目の3項目を$\frac{3}{4}\overrightarrow{ DC }$と修正し，次の行と最後の行を$\overrightarrow{ PQ }=\frac{7}{4}\overrightarrow{ AB }+\frac{3}{4}\overrightarrow{ BC }$，$\overrightarrow{ SR }=\frac{3}{4}\overrightarrow{ AD }+\frac{7}{4}\overrightarrow{ DC }$と修正すれば正しい解答になります．

Equation

別の学習シーンで"Equation（方程式）"という歌が流れているときに，図のような数式が映りました．

方程式らしく中に＝があって，似たような式が両辺に書かれていますが，上から下への変形が一致していないので，単に雰囲気を伝えるだけの目的で使われた数式だと思われます．今どきほとんどの映画やドラマでは，一瞬だけのシーンであっても正しい数式が使われているので，かえって珍しいです．

次に挿入歌"Equation"（英語版）でずっとバックに流れている部分の歌詞ですが，Youtubeの動画，歌詞を紹介するサイトなどで異なったものになっています．例えば Youtubeでは以下のようになっています．

minus 2 times minus 3 6Y you end up with 5
expose 3Y times 2 XXY rewrite equation 1

何回も聴き直したり，人に聴いてもらったりした結果，正しくは次の歌詞ではないかと思います．和訳も考えてみました．

minus 2 times minus 3 6 why you end up with 5
x plus 3y times 2 x 6y rewrite equation 1 

(-2)×(-3)は6だよ，どうして5になったの？
x+3y×2はxと6yだよ，方程式1を書き直してね

英語版とは全く異なる原作の仏語の歌詞にも意味の分かりにくい部分がありました．

1 plus 1 font 2
2 plus 1 fait 3
3 moins 1 sous le M toit
Tu me dis racine

この中の M toit は直訳すると｢M型の屋根｣ですが，ルート記号√ がMを変形したような形になっているのと，その次の歌詞が｢ルートを教えて｣なので，和訳は下のような感じではないでしょうか．

因みに，ルート記号√ は一般に root の r を変形したものと言われていますが，文字を図形と考えると，先のとがった点の数は r が1個，Mと√ は3個なので，Mの方が√ に近いとも言えます．

$1+1=2$
$2+1=3$
M型屋根（のような記号）の下に$3-1$
ルートを教えてほしいな

[参考]

The Little Prince - "Equation" - English version + Lyrics
https://www.youtube.com/watch?v=i2fezyjs_aY

#Alexandria C.H.#  Equation
https://alexandriach.wordpress.com/2016/01/31/equation/

小説／漫画／ドラマ 黒猫の三角

森 博嗣　2002年　講談社文庫
皇名月　2012年　幻冬舎コミックス漫画文庫　
『瀬在丸紅子の事件簿〜黒猫の三角〜』　2015年　フジテレビ　

線形代数　マトリクス　クロネッカーのデルタ　(Kronecker Delta)

ぞろ目の年月や年齢にこだわった連続殺人事件の話です．タイトルの黒猫の三角は，クロネッカーのデルタ（ギリシャ文字で大文字が$\varDelta$）をかけています．

｢香具山さんは文系だから、知らないわよね。小島遊君、君は線形代数は単位ちゃんと取った?」
｢どうして?」
｢マトリクス、教わったでしょう?」
｢行列ですね?」
｢そう」紅子が頷く。「マトリクスの対角項だけを1にする。それ以外はすべて0にしたい。どうやってそれを書き表したら良いかしら?」
｢えっと……、単位マトリクスのことですか?　斜めに1を並べて書いて、あとは0をひたすら入れるんじゃあ…… 」
｢ニ次元で、しかも小さなマトリックスなら、それで書ける」紅子が頷いた。 ｢でも、一般式で表記したいときがあるでしょう？　ほらほら，とっても有名な……」
｢ああ、クロネッカのデルタ！」練無が叫んだ。
｢何それ?」紫子がメガネを持ち上げてきいた。いつもより、ずっとインテリに見える。「クロネコのデルタ?」
｢ね……」紅子がにっこりと微笑む。「三角じゃないけど、小文字のデルタを書いて、そのあとにi、jとか、さらにkとか、添え字を書く。それで、たとえば、デルタijと書かれていれば、それは、もしiとjが同じ整数なら、全体が1になる、もし違う整数なら全体が0になる、という関数なの。ようするに、数が同じならON、違えばOFF。その関数の名前が、クロネッカ・デルタっていう。これ、もの凄く有名だから，理系の大学生なら，まず知らない人はいないでしょう？」

クロネッカーのデルタは，2つの数$i$, $j$に対して0または1の値をとる次のような関数です．（$\delta$は小文字のデルタ）
\begin{eqnarray}
\delta_{ij}=
  \begin{cases}
    1 & ( i = j ) \\
    0 & ( i \neq j )
  \end{cases}
\end{eqnarray}
すなわち，2数がぞろ目のときは1になり，そうでないときは0になるという関数です．いくつかの式や値をまとめてひとつに表す方法として使われます．

いくつか例を見てみましょう．

①例えば高校で習う平面上の座標軸に関する基本ベクトル $\vec{ e_1 }=(1,0)$，$\vec{ e_2 }=(0,1)$の内積は，$$\vec{ e_1 }\cdot\vec{ e_1 }=1, \quad \vec{ e_1 }\cdot\vec{ e_2 }=0,\quad \vec{ e_2 }\cdot\vec{ e_1 }=0,\quad \vec{ e_2 }\cdot\vec{ e_2 }=1$$となるので，これらをひとつにまとめて，$$\vec{ e_i }\cdot\vec{ e_j }=\delta_{ij}$$と表すことができます．

②この小説に出てきたのは行列(matrix)の話です．2行2列だと一般に次のような形をしています．\begin{eqnarray}
\left(
  \begin{array}{cc}
    a & b \\
    c & d \\
  \end{array}
\right)
\quad \quad \quad
\left(
  \begin{array}{cc}
    a_{ 11 } & a_{ 12 } \\
    a_{ 21 } & a_{ 22 } \\
  \end{array}
\right)
\end{eqnarray}行列も数字と同じようにかけ算ができます．数字の1にあたる働きをするものを単位行列(identity matrix)といい，右下がりの対角線上がすべて1，他は0になります．\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}3行3列ならこんな形です．\begin{eqnarray}
\left(
  \begin{array}{ccc}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1  \end{array}
\right)
\end{eqnarray}これがn行n列になると，書くのは大変なうえ，スペースもとりますが，クロネッカーのデルタを使えば次のように簡潔に書くことができます．\begin{eqnarray}
 \left(
  \begin{array}{cccc}
    1 & 0 & \ldots & 0 \\
    0 & 1 & \ldots & 0 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & \ldots & 1
  \end{array}
\right)
= (\delta_{ij})
\end{eqnarray}
③WolframMathWorldには複素関数の積分の例もありました．$$\delta_{mn}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} z^{m-n-1}dz$$右辺の$\oint$は周回積分，$\gamma$は単位円のような閉曲線で，m=nのとき1になり，m≠nのとき0になります．コーシーの積分定理・公式からすぐいえるのですが，少し計算して確かめてみましょう．$z=e^{it}$とおきます．\begin{eqnarray}
\oint_{\gamma} z^{m-n-1} dz&=& \int_0^{2\pi} e^{(m-n-1)it} ie^{it} dt \\
&=& i\int_0^{2\pi} e^{(m-n)it}dt \\
\end{eqnarray}m=nのとき\begin{eqnarray}
&=& i\int_0^{2\pi} dt \\
&=& i\left[ \ t \ \right]_0^{2\pi} \\
&=& 2\pi i \\
\end{eqnarray}m≠nのとき\begin{eqnarray}
&=& i\int_0^{2\pi} \{ \cos{(m-n)t}+i\sin{(m-n)t} \}dt \\
&=& i \left[\frac {\sin{(m-n)t}}{m-n}-i\frac {\cos{(m-n)t}}{m-n}\right]_0^{2\pi} \\
&=& 0 \\
\end{eqnarray}クロネッカーのデルタを考案したドイツの数学者クロネッカー(Leopold Kronecker)は，無限集合論を確立した数学者カントールを，その業績だけでなく人間性をも厳しく批判し，精神的に追い込んだことが有名で，数学史上の悪役みたいなイメージがあります．一方，このドラマに登場したのはとても可愛いクロネッコー，いえクロネコでした．

[参考]
Kronecker Delta
https://mathworld.wolfram.com/KroneckerDelta.html

小説 パズルの軌跡 穂瑞沙羅華の課外活動

機本伸司　2009年　角川春樹事務所

16進数　級数

大学を卒業して就職したばかりの青年と，飛び級で同じ大学を卒業してから普通の高校生になった物理学の天才少女が，ある企業の依頼で，同時期に多数起こった失踪事件を追うという話です．

16進数

窓は一つしかない。その横に、テンキーが並んでいる。いや、正確にはテンキーではなく、十六進数の特殊キーである。つまり、0から9までの数字の他に、AからFまで、アルファベットのキーがある。
沙羅華は、先生の方をちらりと見た。
「ドアのパスワードは、変えてないわよ」と先生が言う。「前にあなたと相談したときのまま」
沙羅華は軽くうなずくと、人さし指で "221B"と押した。

16進数は，ドラマ「すべてがFになる」にも登場しました．10進数が0～9という10個の数字を使って，$1$の位，$10$の位，$10^2$の位…と表され，2進数は0と1という2つの数字を使って，$1$の位，$2$の位，$2^2$の位…と表されるように，16進数は0～9とA～F(10から15)という数字と文字を15個使って，$1$の位，$16$の位，$16^2$の位…と表されます．

例えば，10進数表記の$$8731=8×10^3+7×10^2+3×10+1×1$$を2の累乗の和で表すと，\begin{eqnarray}
8731&=& 8192+512+16+8+2+1 \\
&=&  2^{13}+2^9+2^4+2^3+2+1
\end{eqnarray}なので，2進数表記では$10001000011011$となります．

この小説に登場した16進数表記の 221B を10進数表記で表すと，\begin{eqnarray}
221B &=&2×16^3+2×16^2+1×16+B×1 \\ &=&2×16^3+2×16^2+1×16+11×1 \\
&=&  8731
\end{eqnarray}なので，16進数表記の 221B は，10進数表記の 8731 を意味します．

10進数は人間にとって分かり易いが，コンピューターでは 0か1 (on/off) の2進数が扱い易い．しかし桁数が大きくなってしまう．そこで16進数なら桁数が少なくて済むし，2の累乗なのでコンピューターでも扱い易い．というわけでコンピューターでは16進数がよく使われているそうです．

10進数の4桁は，数字の並べ方が$10^4=10000$通りに対して，16進数の4桁は，$16^4=65536$通りあり，セキュリティ面では約6.55倍の強さがあるといえます．

級数

＜著者あとがき＞
こうして"究極の疑間"に挑戦し続ける彼女の姿は、数学に出てくる"級数"に似ているかもしれません。整数nの値が一つ増えるごとに、解も変化していくわけです。
そして彼女はまだ、大きく揺らいでいる。果たして何らかの値に"収束" するのか、それとも"発散"するのか……。そんなふうに"極限値"を探りながら、彼女の旅は続くことになりそうです。

ヒロインの生き方を級数で比喩しているわけですが，級数は数列の和を意味し，有限和はそのひとつひとつがまた数列になりますから，用語は数列でも級数でも良かったと思います．また「解も変化していく」という表現よりは「値も変化していく」の方が適切でしょう．

級数の極限で簡単なものを見てみましょう．$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+･･･$$は，初項$\frac{1}{2}$，公比$\frac{1}{2}$の無限等比級数ですから，n項までの和$$S_n=1-\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n $$からその極限を考えると，$\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n$は限りなく0に近づくので，$$\lim_{n \to \infty} S_n=1$$とするのが高校までのやり方ですが，より厳密なε-N論法を使ってこのことを証明してみましょう．

上の$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=1$という式は，ε-N論法では次のように表されます．$$\forall \varepsilon >0,　\exists N\in\mathbb{ N },　\forall n \gt N \Rightarrow |S_n-1|<\varepsilon$$この式を意訳すると次のようになります．「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$が与えられても、ある自然数$N$をうまく決めれば，それより大きい自然数nでは， $S_n$と$1$との差を$\varepsilon$より小さくできる」$$|S_n-1|=|1-\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n-1|=\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n<\varepsilon$$が成り立てばいいので，$$\left( \frac{ 1 }{ 2 } \right )^n<\varepsilon$$を解くと，$$n>\log_{\frac{1}{2}}\varepsilon$$Nをこの値より小さい最大の自然数にすれば，証明したい式が成り立ちます．例えば$\varepsilon=10^{-4}$が与えられたとすると，$\log_{\frac{1}{2}}10^{-4}=13.28･･･$となるので，N=13と決めれば，それより大きい自然数nはすべて$|S_n-1|<\varepsilon$を満たします．

[参考]
パソコンはなぜ16進数を好むのか？
http://www.buturigaku.net/sub03_Spot/ICT/hex.html

小説 ラブ・ケミストリー

2011年　喜多喜久著 　宝島社

ε-δ(イプシロン-デルタ)論法　フェルマーの最終定理　ギリシャ語数詞

有機化学における全合成を研究する大学院生が，いろいろとアドバイスをくれる｢死神｣や親友の助けを得て，学問と恋愛に奮闘する話です．

数学や物理は「言っている言葉が理解できない」状態だった。 ε-δ論法やインピーダンスといった、完璧にわけの分からない概念に悩まされるのは、もうこりごりだった。

高校の数学では，「限りなく近づく」などの言い方で，関数の極限や連続性について学習しますが，解析学では極限や連続などをより厳密に論じるためにε-δ論法が登場します．

高校の数学で登場する，$x$が限りなく$a$に近づくとき，$f(a)$の極限は$b$であるという意味の$$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = b$$という式は，ε-δ論法では次のように表されます．$$\forall \varepsilon >0,　\exists \delta >0,　|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon$$

この式を意訳すると次のようになります．「どんなに小さい正の数 $\varepsilon$が与えられても、ある正の数$\delta$をうまく決めて、 $x$と$a$との距離を$\delta$より小さくすれば， $f(x)$と$b$との距離を$\varepsilon$より小さくできる」

簡単な例をひとつ見てみましょう．$$\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2 = 9$$をε-δ論法で証明してみます．そのためには，

$|x-3|<\delta$ ならば $|x^2-9|<\varepsilon$

となるような$\delta$をうまく決めればいいわけです．$$|x^2-9|=|x+3|\cdot|x-3|=|x-3+6|\cdot|x-3|<(\delta+6)\delta$$となるので，$(\delta+6)\delta=\varepsilon$となる$\delta$を求めます．$$\delta^2+6\delta-\varepsilon=0$$この2次方程式を解くと，$\delta>0$より，$$\delta=-3+\sqrt{9+\varepsilon}$$よって，$\delta$をこの値にすれば，

$|x-3|<\delta$ のとき，$|x^2-9|<(\delta+6)\delta=\varepsilon$

となります．すなわち$$\forall \varepsilon >0,　\exists \delta >0,　|x-3|<\delta \Rightarrow |x^2-9|<\varepsilon$$を示すことができました．

漫画 ぼくたちは勉強ができない 第1話

筒井大志　2017年　集英社

微分

週刊「少年ジャンプ」に連載されている漫画で，理系科目の得意な文系志望の女子生徒と文系科目の得意な理系志望の女子生徒に苦手科目を教える男子生徒が奮闘する話です．アニメを観た後に気になって漫画を読んでみました．

先生「はい，じゃあこの問題，解けた人から前に出て解いてもらおうかな」
$f(x)=x^3+ax^2+bx$
$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき，極小値$-\frac{2\sqrt{3}}{9}$
$a=$，$b=$
また，関数$f(x)$の最大値は？  

（緒方理珠が黒板に解答を書く）
$a=0,  b=-1$
$x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき，最大値$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
先生「ぜ…全部正解です．でも…緒方さん，途中式は…？」
理珠「途中式…．すみません，とばして解いてしまいました」

y=x^3-x のグラフ

途中式を確認してみましょう．
$f'(x)=3x^2+2ax+b$ なので，
$f'\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=1+\frac{2a}{\sqrt{3}}+b=0\tag{1}$
$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\sqrt{3}}{9}+\frac{a}{3}+\frac{\sqrt{3}b}{3}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}\tag{2}$
この2式より，$a=0,  b=-1$ となり，

$f(x)=x^3-x$

$f'(x)=3x^2-1$

よって，$x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$のとき，極大値$\frac{2\sqrt{3}}{9}$
となるので，「最大値」ではなく，正しくは「極大値」ですね．

ここで，$a+b\sqrt{3}$（$a$，$b$は有理数）という形の数全体は「$a+b\sqrt{3}=0$ ならば $a=b=0$」（代数学の用語を使っていうと，有理数体Qに$\sqrt{3}$ を添加してできる拡大体の元は代数的独立）なので，$a=0,  b=-1$を出すには，式(1), (2)のどちらかだけで十分ですね．つまりこの問題は条件過多になっています．

気になったので，アニメの方の第1話を観てみたら，似た問題が使われていました．

関数$f(x)=-x^3+ax^2+bx+6\quad(-3≦x≦1)$ が，
$f(2)=0$
$x=1/\sqrt{3}$のときに極大値を取る
の2点を満たすとき，$a$，$b$の値を求めよ．
（緒方理珠が黒板に解答を書く）
先生「ぜ…全部正解です．でも…緒方さん，途中式は…？」
理珠「途中式…．すみません，見た瞬間，答えが分かったので，とばしてしまいました」

途中式を確認してみましょう．
$f(2)=0$より，
$-8+4a+2b+6=0\tag{3}$
$f'(x)=-3x^2+2ax+b$ なので，
$f'\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-1-\frac{2a}{\sqrt{3}}+b=0\tag{4}$
この2式より，$a=0,  b=1$ となる

ここでも，$a=0,  b=1$を出すには，式(4)だけで十分ですね．つまりこの問題も条件過多になっています．しかもこの問題，$f(2)=0$といいながら，$x=2$は定義域 $(-3≦x≦1)$ に入っていません．この定義域を与えることも必要ないでしょう．

アニメ ぼくたちは勉強ができない！

筒井大志　2019年　TOKYO MX　

三角関数

週刊「少年ジャンプ」に連載された漫画のアニメ化で、大学入試の受験勉強に奮闘する高校生たちの話です。

訂正前

オープニング映像で三角関数のある問題の解答が一瞬現れます．この解答から推測すると，$\theta$の関数$f(\theta)$が与えられていて，$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$，$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$を求め，$0≦\theta≦\pi$において$f(\theta)$がとりうる最大の整数を求めなさいという問題のようです．

その解答は，

$f(\theta)=11\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta$ を考える．

$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=1$，$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{7-5\sqrt{3}}{2}$ である．　　　  

となっていたのですが，計算してみたら値が一致しません．その後の式変形も
\begin{eqnarray}
f(\theta)&=& 5\cos2\theta-5\sin2\theta+6 \\
&=&  5\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{3\pi}{4} \right)+6
\end{eqnarray}となっていて，もとの$f(\theta)$とは一致しないので，最初の$f(\theta)$の式が間違っているのではないかとよく考えてみたら，正しくは$$f(\theta)=11\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta$$であり，元の式は "$+\sin^2\theta$" が抜けていることが分かりました．これなら$f\left(\frac{\pi}{4}\right)$，$f\left(\frac{\pi}{3}\right)$も最初の値になります．

正しい$f(\theta)$で後の式変形も確かめてみましょう．
\begin{eqnarray}
f(\theta)&=& 11\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta \\
&=&10\cos^2\theta-10\cos\theta\sin\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta \\
&=&10 \cdot \frac{1+\cos2\theta}{2}-10 \cdot \frac{\sin2\theta}
{2}+1 \\
&=& 5\cos2\theta-5\sin2\theta+6 \\
&=& 5\sqrt{2}\left\{\sin2\theta\cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) +\cos2\theta\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} \right\}+6 \\
&=&  5\sqrt{2}\left(\sin2\theta\cos\frac{3\pi}{4}+\cos2\theta\sin\frac{3\pi}{4} \right)+6 \\
&=&  5\sqrt{2}\sin\left(2\theta+\frac{3\pi}{4} \right)+6
\end{eqnarray}よって、$0≦\theta≦\pi$における最大値は$5\sqrt{2}+6=13.071...$となるので，最大の整数は13ということになります．

1度目の訂正後

もうひとつ別の部分で、最初のミスを後で訂正していたことが分かりました。右が訂正後です．$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$が、次の式に訂正されています。$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$
$f(\theta)$の方も訂正されたらここに追記したいと思います．


＜2019/12/15 追記＞

2度目の訂正後

#11 (2019/12/14 土曜深夜 放送分) で  $f(\theta)$ に $+\sin^2\theta$ が加えられ，訂正されました．しかし残念なことに，1度目に訂正した$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$が，また元の$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$に戻ってしまいました．$f(\theta)$ の訂正に，1度目の訂正をする前の原稿を使ってしまったのでしょう．


＜2019/12/22 追記＞

3度目の訂正後

翌週放送の，#12 (2019/12/21 土曜深夜 放送分) で，$$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$が修正され，正しい$$\sin\theta\cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$$に戻りました．これでようやくすべて間違いのない状態になりました．良かったです．このことは，私から直接指摘はしていないので，他の視聴者からの指摘なのか，スタッフ自らが気付いたのか聞いてみたいものです．

ドラマ 監察医 朝顔 第10話

2019年9月16日放送　フジテレビ

落下運動

子どもを抱いたまま階段から落ちて自分だけ亡くなっていた母親の死因を，監察医らが解剖や落下実験などで解明しようとします．ドラマの中では話題になりませんでしたが，背景に数式の書かれたホワイトボードがありました．その式をよく見ると，水平方向に押されて落下し，着地した瞬間の速度を求める計算であることが分かりました．

$m = 47$ kg $+8.3$ kg $=55.3$ kg
高さ$h$を$3$mとする
$v$ [m/s] $= g$ [m/s²]
$v = \sqrt{2gh}$ より
$v = \sqrt{2×9.8×3} = 14\sqrt{0.3}$

また，$h=\frac{1}{2}gt^2$ より
$3 = \frac{1}{2}×9.8×t^2 = \frac{1}{2}9.8t^2$
$t^2 =3×\frac{2}{9.8} = \frac{6}{9.8}=0.612...$
$\fallingdotseq 0.6$
$t = \sqrt{0.6}$

$v_x = v_0$
$v_y = gt = 9.8\sqrt{0.6}$
$v_0 = 5$ m/s とすると
$v^2 = v_x^2+v_y^2
=5^2+(9.8\sqrt{0.6})^2$
$= 25+(96.04×0.6)
= 25+57.624$
$= 82.624$
$v= \sqrt{82.624}=9.089...\fallingdotseq 9.1$ m/s

着地した瞬間の水平方向の速度を$v_x$，垂直方向の速度を$v_y$として，その合成速度$v$を求めています．

3行目の $v$ [m/s] $= g$ [m/s²] は明らかなミスですね．「$h$ [m] 落下した瞬間の速度$v$ [m/s] は，重力加速度を$g$ [m/s²]とすると」とすべきでしょう．

5行目の$v$は$v_y$ですね．この後，落下にかかった時間$t$を求め，$v_y = gt$からまたもや$v_y$を求めています．しかも，途中で$t^2$を丸めたことによる誤差が出て，初めの$14\sqrt{0.3}$と後の$9.8\sqrt{0.6}$は異なる値になってしまっています．正確には前者で，$t^2$を丸めなければどちらも$14\sqrt{0.3}$になるはずです（計算してみてください）．

そうすると，着地した瞬間の速度は次のようになります．

$v^2 = v_x^2+v_y^2=5^2+(14\sqrt{0.3})^2= 25+(196×0.3)= 25+58.8= 83.8$

$v= \sqrt{83.8}=9.1542...\fallingdotseq 9.15$ [m/s]

ところで最初に親子の体重の和があるので，この後さらに着地時の衝撃力を計算するはずだったと思われます．

着地時の物体は、$mv$ [kg·m/s] という運動量を持ち，着地後は着地面からの力 $F$ [N] を一瞬の時間 $∆t$ [s] だけ受け、運動量は0になります．このときの力$F$を衝撃力といい，次式で求められます．

$F =\displaystyle\frac{mv}{∆t}$ [N]

水平方向に押されて，高さ3mから落下したとするこの計算の場合，着地後に速度が0になるまで仮に0.1秒かかったとすると，

$F =\displaystyle\frac{mv}{∆t}=\frac{55.3×9.15}{0.1}\fallingdotseq 5060$ [N] 

となり，落ちてぶつかったところに約5000 [N]，およそ500 [kgf] ぐらいの衝撃を受けたものと推測されます．

[参考]
衝撃力の計算
http://higgs.phys.kyushu-u.ac.jp/~koji/shougeki.pdf