映画 Marry Me

2022年　米国

sum  reciprocal  even  factor

婚約者の浮気を知って失望した人気女性歌手 Kat Valdez が，コンサート中に "MARRY ME!" と書いた看板をもっていた男性高校教師 Charlie Gilbert といきなり結婚すると言い出し，言われた方もOKしたことでいろいろな騒動が起こるという話です．

Charlie の授業中，白板に書かれた問題と生徒の解答です．

Find the sum of reciprocals of the even factors of 16
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{8+4+2+1}{16}=\frac{15}{16}$

これは「16の約数のうち偶数であるものの逆数の総和を求めよ」という問題です．16の約数は 1, 2, 4, 8, 16 で，そのうちの偶数は 2, 4, 8, 16 なので，それらの逆数をすべて加えると上の解答が得られます．

画面にあったその次の問題も解いてみましょう．

Find the sum of reciprocals of the even factors of 20.

これは解答がありませんでした．20の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 20 で，そのうちの偶数は 2, 4, 10, 20 なので，その逆数の和は次のようになります．$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}=\frac{9}{10}$$

しかし，もっと大きい数になると約数の個数が増えるので，このやり方では大変です．そこで上手に計算する方法を考えます．例えば，$360=2^3 3^2 5^1$について考えてみましょう．約数の個数は$4\times3\times2=24$個もあります．約数の総和は$$(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1)=\sum_{i=0}^{3}2^{i} \sum_{j=0}^{2}3^{j}\sum_{k=0}^{1}   5^{k}\tag{1}$$これは等比数列の和の積になるので，$$=\frac{2^4-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=1170$$この式(1)は展開すると24個の約数はそれぞれ $$2^i3^j5^k \quad (i, j, kは整数，0≤i≤3, 0≤j≤2, 0≤k≤1)\tag{2}$$と表せます．その逆数は$$\frac{1}{2^i3^j5^k}=\frac{2^{3-i}3^{2-j}5^{1-k}}{2^3 3^2 5^1}$$となるので，360の約数の逆数の総和は次のようになります．$$\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=0}^{3}2^{3-i} \sum_{j=0}^{2}3^{2-j}\sum_{k=0}^{1} 5^{1-k}=\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=0}^{3} 2^{i} \sum_{j=0}^{2}3^{j} \sum_{k=0}^{1} 5^{k}$$$$=\frac{1}{360}\cdot\frac{2^4-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{1170}{360}=\frac{13}{4}$$

さて，次に約数のうち偶数であるものの逆数の総和です．$360=2^3 3^2 5^1$の約数$2^i3^j5^k$の中で，$i=0$のときだけが奇数になりますから，式(1)から$2^0$を除いた次の式が，偶数の約数の総和になります．$$(2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1+3^2)(5^0+5^1)=1092$$この式を展開すると18個の約数はそれぞれ式(2)と同じ$2^i3^j5^k$と表せますが，$1≤i≤3$になります．すると360の約数のうち偶数であるものの逆数の総和は次のようになります．$$\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=1}^{3} 2^{3-i}\sum_{j=0}^{2} 3^{2-j}\sum_{k=0}^{1}  5^{1-k}=\frac{1}{2^3 3^2 5^1}\sum_{i=0}^{2}2^{i} \sum_{j=0}^{2} 3^{j}\sum_{k=0}^{1}  5^{k}$$$$=\frac{1}{360}\cdot\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{546}{360}=\frac{91}{60}$$この方法なら，もっと大きな数でも約数のうち偶数であるものの逆数の総和を求めることができます．以上まとめて公式として書くと以下のようになります．

正の偶数 $n=2^k p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdot\cdot\cdot p_m^{k_m} \quad (k, k_iは整数，1≤k，0≤k_i，p_iは奇素数)$のとき，$n$の約数のうち偶数であるものの逆数の総和は，$$\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{k-1}2^{i} \sum_{j_1=0}^{k_1} p_1^{j_1}\sum_{j_2=0}^{k_2}  p_2^{j_2}\cdot\cdot\cdot\sum_{j_m=0}^{k_m}  p_m^{j_m}=\frac{1}{n}\cdot\frac{2^k-1}{2-1}\cdot\frac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{k_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\cdot\cdot\frac{p_m^{k_m+1}-1}{p_m-1}$$

この公式を使っていくつか$n$の約数のうち偶数であるものの逆数の総和を確認してみましょう．

$n=16=2^4$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{16}\cdot\frac{2^4-1}{2-1}=\frac{15}{16}$$

$n=20=2^2 5^1$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{20}\cdot\frac{2^2-1}{2-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}$$

$n=1080=2^3 3^3 5^1$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{1080}\cdot\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^4-1}{3-1}\cdot\frac{5^2-1}{5-1}=\frac{1680}{1080}=\frac{14}{9}$$

$n=441000=2^3 3^2 5^3 7^2$のとき，$$\displaystyle \frac{1}{441000}\cdot\frac{2^3-1}{2-1}\cdot\frac{3^3-1}{3-1}\cdot\frac{5^4-1}{5-1}\cdot\frac{7^3-1}{7-1}=\frac{809172}{441000}=\frac{3211}{1750}$$このように数が大きくなると，約数のうち偶数であるものの逆数をすべて加えるより速く計算できます．

[参考]

Mathematics in Movies
https://people.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/