動画 積分するアイドル見つけました

YouTube 「積分するアイドル見つけました」

2021年　YouTube　予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」

定積分の計算

アイドルグループ「乃木坂46」の林瑠奈が黒板に定積分の計算を書き，答が884になって，その語呂合わせが姓の「ハヤシ」になるという動画です．まず次の計算をします．$$\displaystyle\int_0^{\frac{-1+\sqrt{1769}}{2}}(4x+2)dx$$式変形は丸覚えという感じで，鼻歌を歌いながらすらすらと書いていきます．動画の通り，高校数学Ⅱの知識で884を導きました．この問題は数学の先生に教わったそうです．

この後にもう1問，今度は「100倍難しい」という三角関数を含む定積分の計算を書きます．その問題がこちらです．$$\displaystyle\int_{-1768}^{1768}\frac{\sin^2(46\pi x)}{1+e^x}dx\tag{1}$$

（2問目）三角関数を含む計算

書かれた計算はこの図の通りで答えは884なんですが，いきなり式(1)と次の式(2)が等しいことを当然のように話を進めています．$$\displaystyle\int_{-1768}^{1768}\frac{\sin^2(46\pi x)}{2}dx\tag{2}$$これが成り立つのならその理由が必要です．式(2)で良いなら，動画の通りに高校数学Ⅲの方法で計算できますが，式(1)をそのまま計算するのは難しいですね．

(1)の不定積分をWolframAlphaで確かめようとしたところ，このままではエラーになってしまったので，$x$の係数を$\pi$にしてみたら，次のような結果になりました．

$_2F_1(a , b ; c ; x)$は超幾何関数

このように，不定積分は超幾何関数や虚数単位 $i$ を含む難しい式になります．超幾何関数の定義は，$$_pF_q(a_1,…,a_p;b_1,…,b_q;x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(a_1)_n(a_2)_n⋯(a_p)_n x^n}{(b_1)_n(b_2)_n⋯(b_q)_n n!}$$$$ここで，(a)_0=1, \quad (a)_n=a(a+1)(a+2)⋯(a+n-1)$$という式なので，xの係数が$\pi$のとき，上の式の中の超幾何関数は，次の式になります．$$_2F_1(1, -2\pi i; 1-2\pi i; -e^x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(1)_n(-2\pi i)_n (-e^x)^n}{(1-2\pi i)_n n!}$$これをこのまま計算するのは困難なので，WolframAlphaに(1)の積分計算をしてもらったら，確かに884になりました．

次はグラフで(1)と(2)が等しいことを確かめてみます．

緑が $y=\displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}$…①，赤が $y=\displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{2}$…②，青が $y=\displaystyle\frac{1}{1+e^x}$…③です．xの係数を46πにすると周期が短すぎて密になって波が見えないので，xの係数はπにしています．x<0のとき①は②の2倍に近く，x>0のとき①は0に近いことと，③が(0, $\frac{1}{2}$)に関して点対称であることを考えると，①の下と②の下の面積は等しいということが分かります．

とりあえずグラフを考えて式(1)と(2)が等しいことは分かりましたが，この動画ではその証明がないのですっきりしません．初めから式(2)を計算したほうが良かったと思います．

[2022/03/26追記]

｢YAHOO!知恵袋｣にこの話題があり，式(1)と(2)が等しいことの証明がありました．

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14247755234

[Reference]

積分するアイドル見つけました【乃木坂46×ヨビノリ】
https://www.youtube.com/watch?v=xsoroPOe9gk&t=915s

hypergeometric function
https://ncatlab.org/nlab/show/hypergeometric%20function