お笑い タブレット純 算数文章題

速さ・時間・距離

▼和也くんは，午後3時10分に時速4キロの速さで家を出発しました。信号もない一本道を歩き続けましたが，1時間20分歩いたところで忘れ物に気づき，回れ右して家に戻りました．家にいた彼のお兄さんは，午後4時ちょうどに和也くんの忘れ物に気づき，届けてあげようと時速2キロで出発しました．二人は何時何分に出会うでしょうか．

算数の文章題は，ありそうで実はあり得ないような問題が確かに多いですね．ツッコミどころ満載なので，お笑いネタにするのはいいアイデアだと思います．この問題のツッコミどころはこんな感じでしょうか．
・人が長時間ずっと等速で歩くという前提自体が実際にはあり得ない．
・普通，家の周りにずっと信号のないような一本道はない．
・忘れ物が何なのか気になる．
・わざわざ「回れ右」しなくても向きを変えられる．
・時速2kmで追いかけるのはあまりにも遅すぎる．弟が気づいて引き返さなければいつまでも追いつけない．

ではこの問題を解いてみましょう．小学生はまだ一次関数を習っていないので，まずその前提で解きます．和也くんが忘れ物に気づいたのは出発して1時間20分後＝4/3時間後なので，家から4×(4/3)＝16/3kmの地点にいます．そのときの時刻は午後4時30分ですが，兄は出発して30分＝1/2時間経っているので，家から4×(1/2)＝1kmの地点にいます．その距離の差を2人の速さの和で割ると出会うまでの時間が求められます．(16/3－1)÷6＝13/18時間後＝43分20秒後なので，出会う時刻は午後5時13分20秒ということになります．

ついでに中学2年生の練習問題として一次関数を使って解いてみましょう．出発してからの時間をx，家からの距離をyとします．和也くんが戻るときを表すグラフは，時速－4kmで(8/3, 0)を通ることからy＝－4x＋32/3（式①）．兄の動きを表すグラフは，時速2kmで(5/6, 0)を通ることからy＝2x－5/3（式②）．①②の連立方程式を解くとx＝37/18．午後3時10分の37/18時間後＝2時間3分20秒後なので，出会う時刻は午後5時13分20秒ということになります．分かり易いようにグラフも描いてみました．

こちらの塾のCMにも算数文章題が出てきます。映像化すると面白いです。

アニメ 終物語（オワリモノガタリ）

オイラーの等式　ラグランジュの恒等式　他多数

第1話の最初にオイラーの等式が話に出ましたが，そのときの画面には他にもいろいろな公式や等式が登場しました。
・二次方程式の解の公式
　(－b±√(b^2－4ac))/(2a)
・二項定理
　(a＋b)^nの展開式
・正接の加法定理
　tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)
・テーラー展開
 　関数のべき関数近似公式
・オイラーの等式
　e^(iπ)＋1＝0．オイラーの公式にθ＝πを代入したもの．
・フーリエ展開
　関数の三角関数近似公式
・スターリングの公式
　大きな自然数の階乗n!の概略を評価する公式．
 　logn!＝nlogn－n＋Οlogn
 　Οはギリシャ文字オミクロン：ランダウの記号．
・フレネル積分
　sin(x^2)の－∞から∞の積分＝√(π/2)．(sinx)^2の積分は高校の数学Ⅲでできますが，sin(x^2)の積分は複素変数の関数（解析関数)の積分を使わなくては求められません．（高木貞二著「解析概論」参照）
・ラグランジュの恒等式
　2つのベクトルの「大きさの平方の積」と「内積の平方と外積の大きさの平方の和」が等しいという式で，

(Σai^2)(Σbi^2)＝(Σaibi)^2＋Σ(aibj－ajbi)^2

なのですが，画面にはこの最後の項が(Σaibj－ajbi)^2と誤った表記になっていました（図をクリックして拡大してみてください）．2次元で考えると，2つのベクトルを(a, b), (c, d)とすれば次の式になって分かり易くなります．

(a^2＋b^2)(c^2＋d^2)＝(ac＋bd)^2+(ad－bc)^2

この式は，ブラーマグプタの二平方恒等式またはフィボナッチの二平方恒等式と呼ばれています．

　

映画 ST赤と白の捜査ファイル

空気抵抗を加味した放物運動

主人公の赤城左門が，追ってに追われてビルからビルへ飛び移ろうとするときに頭の中に浮かんだとされる数式です．手書きだったので非常に読みづらかったのですが，その後出典らしきものを見つけたので，見えにくかった数式が全部分かりました．以下がその画面に登場した数式です．

md^2x(t)/dt^2=-γdx(t)/dt

md^2z(t)/dt^2=mg-γdz(t)/dt

x(0)=z(0)=0

x'(0)=v0cosθ, z'(0)=v0sinθ

x(t)=(mv0cosθ)/γ･(1-exp(-γt/m))

z(t)=-mgt/γ+(m/γ)^2(g+γv0sint/m)(1-exp(-γt/m))

放物運動ですが，ちゃんと空気抵抗を加味して考えています． 質量m, 重力加速度g, 抵抗係数γ>0, 初速度v0, 投射角度θとし，動体の空気抵抗は運動の向きの逆向きで速度の大きさに比例すると仮定します．最初の2式は，水平方向と垂直方向に分けて表した微分方程式，次の2式は初期条件，最後の2式は微分方程式の解を表しています．空気抵抗を加味しているので，軌跡は放物線になりません．

このあと赤城左門は，「解けた！いける！」と言って，ビルからビルへのジャンプに成功します．しかし，ビルとビルとの間が7mで，手前1mから向かいのビルの端の先1mのところまで合計9mを跳ぶので，これを成功したとなると，走り幅跳びの世界記録8m90cmを上回ることになってしまいます．

出典にはこの微分方程式を解く手順が書かれてなかったので，以下に解いてみました．

漫画 暗殺教室 第14巻

立方体の切断　正6角錐　3角錐

▼数学テスト最終問題「右の図のように、１辺aの立方体が周期的に並び、その各頂点と中心に原子が位置する結晶構造を体心立法格子構造という。NaやKなど、アルカリ金属の多くは、体心立法格子構造をとる。体心立法格子構造において、ある原子A0に着目したとき、空間内のすべての点のうち、他のどの原子よりもA0に近い点の集合が作る領域をD0とする。このとき、D0の体積を求めよ。」

この漫画に登場する問題はZ会が監修しているそうです。確かに実在する元素を題材にすれば現実味はありますが、数学の問題としては理解しにくいですね。まず点A0が立方体の中心でも頂点でも話は同じだということうことを確認しないと、A0を立方体の中心として考えてもいいということが言えません。この問題を分かりやすく言い換えてみました。

「1辺aの立方体の中心をA0とし、頂点をA1～A8とする。この立方体を、1辺a/2の8個の立方体に分割し、それぞれを、A0と頂点Anを結ぶ線分の垂直2等分面で切断して残った立体の体積を求めよ。」


赤羽業（あかばねカルマ）は計算せずに正解を得ましたが、上から2つ目の図のように、分割された１つの立方体は、切り口である黄色の正6角形で1/2にされていることに気づけば、求める体積も全体の1/2になることが容易に分かります。

さて勝負に負けた浅野学秀（あさのがくしゅう）の解答です。切り離す立体の図は漫画の中にありましたが（上から3つ目）、その体積は正6角錐１つと合同な三角錐3つの和になります。その体積を求めて8倍したものを、元の立方体の体積a^3から引けば解が得られます。

簡単にするために1辺を1とすると、正6角形の1辺は√(2)/4、正6角錐の高さは√(3)/4になるので、その体積は、
√(2)/4×√(6)/8×1/2×6×√(3)/4×1/3=3/64
3つの三角錐の底面は底辺と高さが1/4の直角三角形、三角錐の高さは1/2、同じものが3つだから、
　1/4×1/4×1/2×1/2×1/3×3=1/64
これらの和は
　3/64+1/64=1/16
これを8倍すると
　1/16×8=1/2
従って、求める体積は(1-1/2)a^3=(1/2)a^3ということになります。

ところでこのような領域の分け方をボロノイ分割（Voronoi tessellation）といい、平面上では2点を結ぶ線分の垂直2等分線が境界になりますが、この問題では空間内なので2点を結ぶ線分の垂直2等分面が境界になっています。この問題の分割で得られた立体は切頂8面体（truncated octahedron 正8面体の各頂点を切り落とした立体）またはケルビン14面体（Kelvin's 14-hedron）といい、空間充填多面体（space-filling polyhedron）の1つとして知られています。

漫画 数学女子 第1巻

2次形式　係数行列　直交行列　対角化
　K大学理学部数学科の女子学生が主人公の漫画です。このKは鹿児島大学だそうですが、私も異なるK大学理学部数学科出身なので、初めは「オッ、これは？！」と思ってしまいました。
　いきなり表紙に線形代数の主軸変換の問題が描かれています。主軸変換とは、例えばax^2+bxy+cy^2をa'x^2+c'y^2に変形すること、つまり2次形式の一般形を標準形に変形することをいいます。グラフでは、ax^2+bxy+cy^2=dという2次曲線を回転させてa'x^2+c'y^2=d'という2次曲線にすることを意味します。
　この表紙に載っている問題の第3問は途中で見えなくなっていましたが、たぶん「標準形を求めよ」ということでしょう。この問題を別紙で解いてみました。
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理学部　数学科　後期試験　線形代数
学籍番号　1032　　氏名　内山まな
演習1
2次形式F(X,Y)=X^2-2√3XY-Y^2について
(1) 係数行列Aを求めよ
(2) Aを直交行列で対角化せよ
(3) F(X,Y)に適当な変換を行い標準形を求めよ
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　他サイトに裏表紙の数式の間違いを指摘するブログを見つけたので紹介しておきます。

ドラマ ドラゴン桜

置換積分
　偏差値の低い生徒の東大受験がテーマのドラマです。早速第1話の冒頭から数学の授業シーンがありました。定積分の問題
∫₁²x√(2-x)dx
で、2-x=tと置換し
∫₁⁰(2-t)√(t)(-1)dt
として解く、高校の数学Ⅲの教科書にあるような基本的な問題でした。
 　数学Ⅲの教科書で置換積分の例題としてよく登場するものに
y=±1/√(1-x^2), y=1/(1+x^2)
があります。前者はx=sintまたはx=cost、後者はx=tantで置換しますが、これらは実は逆三角関数（Inverse Trigonometric Function）の導関数、すなわち、
d/dx(arcsinx)=1/√(1-x^2)，d/dx(arccosx)=-1/√(1-x^2)，d/dx(arctanx)=1/(1+x^2)
なので、このことを知っていれば、これらの積分が置換積分を用いることなしにできます。例えば、
∫₀¹1/(1+x^2)dx=[arctanx]₀¹=arctan1-arctan0=π/4
というように容易に計算することができます。
 　逆三角関数は世界中最も多くの国で普及している高校カリキュラム「国際バカロレアディプロマプログラム(IB Diploma Program)」のMathematics Higher Level（主に理系向き）で扱われています。日本でも高校の数学Ⅲあたりで扱えばいいのではないかと思います。

映画 ルパン三世（実写版）

petaminx（正12面体パズル）
　立方体パズルのルービックキューブ(Rubik's cube)よりもさらに複雑な正12面体(dodecahedron)パズルを、峰不二子があっという間に仕上げてしまいます。正12面体パズルには、易しい順にmegaminx, gigaminx, teraminx, petaminxと4種類ありますが、この映画に登場したものは最も難しいpetaminxでした。因みにmega=10^6, giga=10^9, tara=10^12, peta=10^15を意味しますが、それぞれのパズルの組合せの数を調べてみたら以下の通りでした。
Rubik's cube (3*3*3 original) 4.33*10^19
megaminx 1.01*10^68
gigaminx 3.65*10^263
teraminx 1.15*10^573
petaminx 3.16*10^996
とてもこの映画のように数分で仕上げられるものではありません。他にも正4面体(tetrahedron)やサッカーボールのような32面体（切頂20面体=truncated icosahedron）のパズルもありますが、複雑すぎてとてもやる気が起こりませんね。
　因みに正多面体(regular polyhedron)は正4, 6, 8, 12, 20面体と5種類あって、プラトンの立体(Platonic Solid)と呼ばれています。凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものは、半正多面体(semi-regular polyhedron)またはアルキメデスの立体(Archimedean solid)といって13種類あり、前述の切頂20面体もこれに含まれます。この形のサッカーボールは日本のモルテン社がアルキメデスの立体をヒントに開発したものだそうですが、2006年ワールドカップからは新しいボールが使われているようです。

小説 風が強く吹いている

楕円
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ひさしく覚えなかった高揚が、走（かける）の心と体を震わせた。
だがここは、永遠の楕円を描く競技場のトラックではない。
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　陸上競技のトラックは楕円(ellipse)というより楕円状(oval)ですね。国際陸上競技連盟(International Association of Athletics Federations = IAAF)の公認トラックは線分2本と半円2個でできていて、線分の長さが84.39m、円の半径が36.50m。円の外側0.30mのところを走って1周400mになるようにしているので、その計算は次のようになります。
84.39×2＋2π×36.80＝400.00m
　もしトラックが本物の楕円ならどうなるでしょうか。長軸をa、短軸をbとすると楕円の媒介変数表示は
x=acost, y=bsint
となります。公認トラックの端から端＋0.3m×2の距離が
2a=84.39＋36.80×2＝157.99m

なので、この1/2のa=78.995mの長軸を持つ楕円で周長が400mになるものを求めてみましょう。楕円の面積はπabと簡単に求められるのですが、周長は難しい計算になります。媒介変数表示の曲線の長さの公式より
4∫[0 to π/2](Sqrt(a^2(cost)^2+b^2(sint)^2)dt＝400
を解けばいいのですが、これは第二種完全楕円積分といって初等的な計算では求められません。そこでグラフ電卓を使って求めると、短軸が46.17mになりました。この楕円を実際のトラックに重ねてみると図のようになります。公認トラックの図はIAAF official websiteから引用しましたが、そこではoval trackとなっていました。図の下のキャプションは、「図1.2.3A 400m標準トラック（半径36.50m）の形と寸法（単位はm）」という意味です。

アニメ デュラララ!!×2承 第6話

解析概論　十二進法　忌み数字
　ロシア人女性の殺し屋ヴァローナが、まるで雑誌をめくるようにあの難しい解析概論を読みながら、13がなぜ不吉な数と言われるのかを説明していました。
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諸説存在します。最後の晩餐、ユダの座った13番目の席が有名。ただし、キリスト教だけが原典にあらず。
北欧の神々の伝承、12人の神による調和、13番目に現れたロキが調和を乱した。
古代、12進法を使っていた国々、13番目は12の調和を破壊、忌み数字。
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　1, 2, 3, 4, 6, 12と約数の多い12は調和を意味する数とされていたため、その12に1を加えた素数13は調和を乱すと考えられていたようです。この13は忌み数または忌み数字、英語ではbaker's dozen, devil's dozen, witch's dozenとも呼ばれています。
　ヴァローナが読んでいた解析概論は、日本の数学界ではバイブルともいえる本で、日本初の世界的数学者である髙木貞二が書いたものです。大学の理系の教科書としてよく使われていて、第1版は1938年発行、私は1975年の第17刷を持っています。このアニメのようにとてもペラペラとめくりながら読める本ではありません。表紙が緑色がかっていたので、改訂第3版軽装版だと思われます。内容がはっきりわかるほど細かく描写されていたので、思わずそのページを調べてしまいました。P.16-17をめくって24-25、28-29をめくって30-31、144-145をめくって304-305をめくって328-329でした。つまり、めくっているのにページ数は飛んでいました。こんな細かいところまで調べるような人は他にいないだろうと思ったら、こちらにいました（笑）。

映画 イミテーションゲーム／エニグマと天才数学者の秘密

アラン･チューリング　暗号 組合せ
　ナチスドイツの暗号を解読した数学者アラン･チューリングの話です。
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Trailer
"One hundred and fifty nine milion milion milion possible settings. It's unbreakable."
"Let me try and we'll know for sure."
字幕1
「暗号の組合せは150×10の18乗以上。解読不能だ。」
「私が解読してみせる。」
字幕2
「1.5×10^21通りのパターンが可能なのだ。解読は不可能だとされている。」
「私がやってみないとわかりません。」
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　以上は2種類の字幕つき予告編ですが、正確には159×10の18乗（または1.59×10^20）です。ネット上に英語の脚本があったので確認してみると、暗号の組合せをアランが概算で
「150×10の18乗以上。Over one hundred and fifty million million million possible settings.」
と答えたのに対し、ヒュー･アレグザンダーが
「もう少し正確には159だ。One hundred fifty nine, if you'd rather be exact about it.」
と答えます。さらにヒューは
「159と0が18個だ。One five nine with eighteen zeroes behind it.」
と続けていました。159×10の18乗は直訳すると"One hundred and fifty nine times ten raised to the power of eighteen."となります。日本の万進法では「一垓五千九百京」といいます。一垓は10^20、一京は10^16です。
　ところで、159×10の18乗のような表し方を科学表記(scientific notation)と言います。似たような表記を調べてみたら以下の5つがありました。
(1) 科学表記(scientific notation)
（有効数字で構成される数）×（10の累乗）の形，例えば
159×10^18
15.9×10^19
と表す方法を科学表記といい，前半の数を仮数部(coefficient, significand, mantissa)，10を基数(radix)または底(base)，累乗の部分を指数部(exponent)といいます。基数または底は10とは限りません。
(2) 指数表記(exponential notation)
　科学表記のうち，仮数部mを1≦|m|＜10にした形，すなわち日本の「中学数学1」教科書の表現によると（整数部分が１けたの数）×（10の累乗）の形，例えば
1.59×10^20
と表す方法を、正規化された科学表記(normalized scientific notation)といい，指数表記(exponent notation)ともいいますが，この場合も単に科学表記と呼ぶことが多いようです。
(3) 工学表記(engineering notation)
　科学表記のうち，仮数部の整数部分を1～3桁で表し，指数部を10^3ごとに（指数を3の倍数で）表す方法を工学表記といいます。例えば上の例は
159×10^18
になります．
(4) 浮動小数点表記(floating point notation)
　科学表記は，コンピューター用語では浮動小数点表記ともいい，この数全体を浮動小数点数(floating point number)といいます。標準規格IEEE方式では基数2，IBM方式は基数16で表すのが特徴です。
(5) E表記(E notation)
　電卓で，指数の代りに1.59E20と表す方法。因みにグラフ電卓のMODEにNormal, Sci, Engとあるのは，それぞれ10進表記，指数表記，工学表記を表しています。また，同じくMODEにあるFloat 0123456789で有効数字の桁数を指定できます。
　以上の表記に対して数の普通の表記を特に10進表記(decimal notation)または標準形(standard form)という場合があります。ちなみに欧米では10の累乗の呼び方にshort scaleとlong scaleというのがあって、10^9から呼び方が違い、10^18はshort scaleではQuintillion、long scaleではTrillionと言います。

ドラマ デート ～恋とはどんなものかしら～

ミレニアム問題　円周率　P versus NP問題　素数　フィボナッチ数列
　このドラマは理系大学院出身の女性が主役なので、数学の話題がたくさん登場しました。
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■第1話
①次に経歴についてですが、東京大学大学院数理科学研究科でミレニアム問題の解明について研究した後、内閣府経済総合研究所に入所、現在は横浜研究所で地方自治体の公共施設における民間型不動産価値から見た公民連携手法に関する数理モデルの応用を研究しています。
②あの人とても数学教師とは思えない。小学校で 円周率を3と教えるべきか3.14と教えるべきか真剣に話しているの。バカみたい。円周率は3でも3.14でもない。πよ。
③大学時代に至っては清水けいすけと数えきれないほど研究室で2人きりで一晩中P versus NP問題の解読に挑んだものだわ。
④私、あなたのデータにときめいていたんだと思います。1979年7月23日生まれ、181cm、67kg。好きな数字ばっかり！全部素数なんです！こんなに素数が並ぶなんて奇跡ですよ。宇宙の真理が潜んでいるようでわくわくします。
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■第6話
⑤妻は長年ミレニアム問題っていう、ある数学の難問に取り組んでいてね。ある時「解けるかもしれない」と言い出したんだ。ノーベル賞級なんだよ。
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■第9話
⑥89という数字は私の大好きな数字の1つなんです。あのフィボナッチ数列の第11項目の数字であるということはご存じでしょうが、さらにですよ！どんな数字であっても各位の2乗を足すと必ず1か89になるんです。すごいでしょう！
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①「ミレニアム問題」とは、アメリカのクレイ研究所が提示した、2000年現在で未解決の7つの数学の問題のことです。詳細はこちら。
③「P versus NP問題」は、ミレニアム問題のうちの1つです。分かりやすいと思った簡単な説明はこちら。
⑤ミレニアム問題は7つの問題をまとめた呼称なので、この言い方は少しおかしいですね。ノーベル数学賞は残念ながらありません。ノーベルの恋敵が数学者だったことがその理由だという本当か嘘かわからないような話があります。
⑥「第11項目」を「だいじゅういちこうもく」と言っていましたが、これは「11番目の項」という意味なので、「だいじゅういちこうめ」と言うべきですね。
　「どんな数字であっても各位の2乗を足すと必ず1か89になる」の意味が分からなかったので調べてみると、「どんな数も各位の2乗を足して得られた数を、また同じことをして繰り返せば、必ず1になるかまたは4,16,37,58,89,145,42,20のループになる」という意味でした。この最後に1になる数をHappy Numberと言い、この最後にループになる数をUnhappy NumberまたはSad Numberと言います。従って、89はUnhappy Numberということになります。
　例えば，5と7を考えてみましょう．5の場合は，
5^2=25
2^2+5^2=4+25=29
2^2+9^2=4+81=85
8^2+5^2=64+25=89
従って，5はUnhappy Numberです．7の場合は，
7^2=49
4^2+9^2=16+81=97
9^2+7^2=81+49=130
1^2+3^2+0^2=1+9+0=10
1^2+0^2=1+0=1
従って，7はHappy Numberです．Lucky 7とはよく言ったものです．では不吉とされる13はどうでしょう．計算してみてください．すぐに分かりますよ．

ドラマ スペシャリスト3

ハノイの塔

上からアルファベットの文字が"cosidemple"と書かれてある10段のハノイの塔の操作中、51手目の状態が"simple code"になり、これが事件解決ためのヒントになるという話です。

n段のハノイの塔の最小移動回数f(n)は2^n-1になりますが、まずこれを求める漸化式の解き方が画面に出ます。n段の移動には、①まずn-1段を移動する（f(n-1)手）、②一番下のn段目を移動する（1手）、③またn-1段を移動する（f(n-1)手）という操作になるので、漸化式はそれらの和で次のようになります。
f(n)=2f(n-1)+1
これを解くと、
f(n)=2^1(2f(n-2)+1)+1
=2^2(2f(n-3)+1)+2+1
=2^3f(n-3)+2^2+2+1
…
=2^(n-1)f(1)+2^(n-2)+2^(n-3)+…+2+1
=2^(n-1)+2^(n-1)-1
=2^n-1
よって、f(n)=2^n-1となりますが、ドラマでは主人公がこの式を知っていたようで、2^n-1から紙に書き始めます。
2^n-1
2^10-1=2×2×2×…×2×2-1
=1024-1
=1023
その後、なぜかいきなり
2^5+2^4+2^1+2^0
51
と計算して、「51手」とつぶやき、10段のハノイの塔を実際に操作して、51手目の状態が"simple code"になることに気がつきます。
ただ、これは実際に操作しなくても計算で次のように求めることができます。
f(1)=1, f(2)=3, f(3)=7, f(4)=15, f(5)=31, f(6)=63
ですから、51=f(6)の途中=f(5)+20=f(5)+1+19=f(5)+1+f(5)の途中=f(5)+1+f(4)+4=f(5)+1+f(4)+1+3=f(5)+1+f(4)+1+f(2)
すなわち、まず31手で上の5段を移し、次の1手（32手目）で6段目を移し、次の15手（47手目まで）で上の4段を移し、次の1手（48手目）で5段目を移し、あと3手（51手目まで）で上の2段を移します。これでどんな状態になるかを分かり易く右図にまとめてみました。（WolframAlphaで"Tower of Hanoi 10-disk 51 step"と入力したらちゃんと51手目の状態が表示されました。WolframAlphaはすごい！）

それにしても，主人公がなぜ2^5+2^4+2^1+2^0を理解したのかが疑問に残りました。

小説 φは壊れたね （その2）

φ　関数　空集合　
以前の同じ小説の投稿の第2弾です。
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「φっていうのは、何に使う記号ですか？」鵜飼は西之園と国枝を見てきいた。
「決まっていません」西之園が答える。「よく使うというと、関数の名前かしら」
「空集合」国枝が珍しく口をきいた。
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　よく使うということはないですが、φ関数というものがあります。nを正の整数としてφ(n)は、n以下の整数のうちnと互いに素な（1以外に公約数を持たない）ものの個数を表します。例えば、4以下の正の整数で4と互いに素なものは1と3の2個なので
φ(4)=2
となります。n=12なら、12以下で12と互いに素なものは1と5と7と11の4個なので
φ(12)=4
となります。nが素数pのときは、1からp-1までのすべてがpと互いに素なので
φ(p)=p−1
となります。
　素数も含めて正の整数すべての場合でφ(n)を求める式は少し難しいですが、分かりやすい式はこちらにあります。簡単に言えば、nを素因数分解したときの素因数をp(1)、p(2)、…p(k)としたとき、nと(1-1/p(i))をすべて掛け算したものになります。例えば、4=2^2なのでp(1)=2だから、
φ(4)=4(1-1/2)=2
となります。n=12なら、12=2^2*3なのでp(1)=2、p(2)=3だから、
φ(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4
となり、上の結果と一致します。これなら大きな数でも求められますね。例えば、n=480のとき、480以下の整数のうち480と互いに素なものをすべて数えるのは大変ですが、この式を使うと、480=2^5*3*5なので、
φ(480)=480(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=128
と容易に求められます。

歌詞 "Math Song" by One Direction

add  multiply  divide  sum
これは"What Makes You Beautiful"の替え歌ですが、One Directionが実際に歌っています。
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You're insecure, so half of four,
Your old brains are not what they were before,
Add two threes, it's fine for us,
'Cause we're young and we can still remember stuff
Everyone else can multiply by 60,
Everyone else can add two
And Now take off one hundred and add on 24,
Then divide by two and add on seven more
And if you're struggling now it's not hard to tell
You don't know, (o oh) your maths skills are terrible
If only you had a mind like me
You'd understand how to divide the sum by three,
And then just add on the age of this OAP
You don't know, (o oh) your maths skills are terrible (o oh)
It's really kinda pitiful
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この通り計算するとこうなります。
4/2=2
2+3+3=8
8*60=480
480+2=482
482-100+24=406
406/2+7=210
210/3=70
70+60=130 ←Answer
最後の+60は動画を見なければ分かりません。OAPは高齢年金者(Old Age Pensioner) の略です。歌詞の日本語訳はこちらにあります。

エッセイ 思考の整理学

ガウス　ニュートン　アルキメデス
この本には世界三大数学者が全員登場します。

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ガウスという大数学者がいた。ある発見をした記録の用紙に「1835年1月23日朝7時、起床前に発見」などと書きいれた。

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　ガウスは、1796年3月30日朝、目が覚めた時に正十七角形がコンパスと定規で作図できることを発見したということが有名なので、そのことだと思ったら年月日が違いました。1835年の発見が何か気になったので調べてみると、それはガウスの法則（Gauss' law）という、電磁気学における電荷と電場の関係をあらわす方程式だということが分かりました。この本では中国の欧陽脩が述べた「三上＝考えがよく浮かぶ3つの場所」すなわち「枕上、馬上、厠上」を紹介しています。ガウスは（朝の）「枕上」の例ということになります。「馬上」は「乗り物に乗っている時」、「厠上」は「便所の中」です。

　日本の高校の教科書に登場するだけでもガウスの名を冠するものはいろいろありますね。

ガウス記号＝実数xに対してx以下の最大の整数（床関数という）

ガウス平面＝複素数平面

ガウス分布＝正規分布

ガウス関数＝正規分布関数
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万有引力のニュートンは次のように言ったと伝えられている。
「世間では私のことをどう思っているか知らないが、自分では、自分のことを浜辺で遊んでいる子供みたいだと思っている。時々珍しい小石や貝を見つけて喜んでいるが、向こうにはまったく未知の真理の大海が横たわっているのだ」。
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　ニュートンは万有引力で有名ですが、数学ではライプニッツと並んで微積分法の発見者として知られています。ライプニッツとは同時代に生きていて、どちらの発見が早かったのかかなりの論争があったようですが、結局それぞれが独立に発見したことになっています。また、高校数学で登場する二項定理の指数を整数から実数へ一般化したことでも知られています。ニュートンの冷却法則については以前のブログで述べました。
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ギリシャのアルキメデスが、比重の原理を発見したときにユーリーカと叫んだといわれる。伝説によると、入浴中に思いついたことになっている。
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　「ユーリーカ(＝Eureka)」は「分かったぞ」という意味です。この本ではさらに「三中＝いい考えの浮かぶ状態」として「無我夢中、散歩中、入浴中」を紹介しています。この場合は「入浴中」の例ですね。アルキメデスは正96角形を用いて円周率を計算し、22⁄7（約3.1429）＜π＜223⁄71（約3.1408）であることを発見したことが有名です。海外では7月22日は円周率近似値の日と呼ばれていますが、もちろん3月14日の方が円周率の日(PI Day)として更に広く認知されています。
　因みにこの本の帯には、「東大、京大で一番読まれた本」と書かれてありましたが、阪大の生協書籍部では「阪大で一番読まれた本」と書かれてあったそうです。