小説 スピノザの診察室

夏川草介　2023年　水鈴社

幾何学　三角形　内角

妹が若くして亡くなり，残された甥の龍之介を育てながら町中の病院で終末医療に取り組む優秀な内科医雄町哲郎の話です．

哲郎は軽く額に指を当てた。

｢どんなに意志が強い人でも、幾何学平面上の三角形の内角の和を、200度にすることはできない｣

突拍子もない話に龍之介は目を丸くする。(P216)

ユーックリッド幾何，すなわち常識的な空間の幾何学では三角形の内角の和は180°と決まっているので，｢どんなに意志が強い人でも｣ 200°にすることはできませんが，非ユーックリッド幾何学のひとつである球面幾何学では，三角形の内角の和は180°より大きくなります．例えば球面三角形の3頂点が，地球の赤道上で$\frac{1}{4}$周離れた2点と北極点だとすれば，角A=B=C=90°になるので内角の和は270°になります．

半径を$r$とすれば球面全体の面積は$4\pi r^2$なので，それに$\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$を掛けると，スイカを食べた後の皮の形（球面二角形とか球面月形とかいいます）

の面積は$\pi r^2$になり，さらにこれの真ん中を切ると球面三角形になって，その面積は$\frac{1}{2}\pi r^2$になります．

この方法で内角の和が200°の球面三角形の面積を求めてみましょう．上の球面三角形で角A=20°とすれば内角の和が200°になりますから，その面積Sは次のようになります． $$S=4\pi r^2\times\frac{20}{360}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{9}\pi r^2$$

実は球面三角形の面積を求める公式があって，その面積Sは次式になります (角度の単位はラジアン(=rad))． $$S=\{ (A+B+C)-\pi \} r^2$$ 内角の和が$200°=\frac{10}{9}\pi$ (rad) の場合，この公式では次の値になります．確かに上の計算結果と一致しますね． $$S=\left( \frac{10}{9}\pi-\pi \right) r^2=\frac{1}{9}\pi r^2$$

小説 探偵の探偵

松岡圭祐　2014年　講談社

正多面体　確率

ストーカーとそれに協力した悪徳探偵のために命を落としてしまった妹のために，探偵の探偵を目指す主人公の紗崎玲奈が，探偵学校「スマPIスクール」経営責任者の須磨康臣から講義を聞く場面です．

｢正多面体といえば無限に存在するように思えるが、実際には四面体、六面体、八面体、十二面体、二十面体の五つしかない。これ以上には存在しないことも証明されている。探偵業も同じだ。際限なく可能性があると考えられる場合でも、きっと絞り込める｣ (P26)

正多面体が5つしかないことの証明は，漫画「はじめアルゴリズム」で紹介しましたのでそちらを読んでください．もうひとつ，玲奈が悪徳｢藪沼探偵事務所｣のペテンを暴く場面です．

｢別れさせ屋を謳ってるけど業務の実態はない。工作員なんてひとりもいない。依頼を受けて二、三ヵ月後に工作完了の連絡を寄こし、請求書を送りつけるだけ。どうせカップルが別れるかどうかなんて五分五分だし｣

｢あいにくだな。いまお客さんにも説明してたとこだ。うちは依頼料の十万円に対し、工作が不成功に終わったら十五万円をかえす契約でね。健全そのものなんだ｣ (P216)

玲奈は女性客に目を向けた。｢お名前は?｣

女性客がびくつきながら応じた。｢希美｣

｢希美さん。男女がほっといても自然に別れる確率は二分の一。あなたのほか、別の人からも藪沼に依頼があったとして、両方のカップルとも別れる確率は四分の一。藪沼は二十万の儲けになる。どちらか一方だけでも別れれば、藪沼は五万円の儲け。損をするのは両方別れなかった場合のみ、十万のマイナスになるけど、確率は四分の一。藪沼は二分の一どころじゃなく、四分の三の確率で利益を出してる。なにもせずに｣ (P217)

｢男女がほっといても自然に別れる確率は二分の一｣ という前提が正しいのかどうか議論の余地はありそうですね．期間にしても1か月以内なのか，1年以内なのかでも大きく結果が異なりそうです．

とりあえず｢別れる確率は二分の一｣ と仮定した場合，2組のうち別れさせるのに成功した場合を〇，失敗した場合を×とすると，その確率と利益は次のようになります．

　　　〇〇　　　　　   1/4　　　　10+10=20万円

　　　〇×または×〇　 2/4=1/2　    10+10－15=5万円

　　　××　　　　　　 1/4　　　　10+10－15－15=－10万円

なので，1/4の確率で利益は20万円，1/2の確率で利益は5万円となり，確かに｢四分の三の確率で利益を出してる｣ことになります．このときの期待値（1組当たりの利益の平均）は，(利益)×(その確率)の総和になるので，20×1/4+5×1/2+(－10)×1/4=5万円になります．

1組の場合の期待値は，10×1/2+(10－15)×1/2=2.5万円なので，$n$組の場合だと$2.5n$万円になるでしょうか．検証してみましょう．まずその準備として$_nC_r=\binom{n}{r}$と書くと，次の2式が成り立つことを確認しましょう． $$\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n \tag{1}$$ $$\sum_{r=0}^n r\binom{n}{r}=n2^{n-1} \tag{2}$$

等式(1)は$(1+x)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r} x^r$に$x=1$を代入すると求まります．等式(2)は(1)を$x$で微分して同じことをすると求まります．よって，期待値は次のように求められます． $$\begin{eqnarray}\displaystyle\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}\left(\frac{1}{2}\right)^n (10n-15r) &=& \frac{1}{2^n}\displaystyle\{10n\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}-15\sum_{r=0}^{n} r \binom{n}{r}\} \\&=& \frac{1}{2^n}\displaystyle\{10n\cdot2^n-15\cdot n2^{n-1}\}\\&=& 10n-\frac{15}{2}n\\&=&\frac{5}{2}n\end{eqnarray}$$ ということで，$n$組の場合の期待値は$2.5n$万円になることが分かりました．

小説 葉桜の季節に君を想うということ

歌野晶午（うたのしょうご）　2017年　文春文庫

利息　年利

元私立探偵の成瀬将虎が，悪質な霊感商法業者の保険金詐欺について調査を依頼され奮闘する話です．高額な布団や健康食品を売りつける悪徳商法に騙された節子の借金が膨大になっていく様子を語る場面です．

トイチとは、融資の条件が十日で一割の利息ということである。百万円を借りると、十日後に返済するにしても百十万円。年利に換算すると三〇〇パーセント超。法定金利の上限は約四〇パーセントである。

このような超高利貸しを利用すれば結果は目に見えている。利子さえ払えず、借金はみるみる膨らみ、ますます返済が難しくなる。すると、別の金融業者から金を借りてくることで、最初の金融業者への借金を見かけ上返済するよう強要される。この新しい金融業者が輪をかけての悪徳で、トイチならぬ、トニ、トサンで貸し付ける。十日で二割、三割の利息を取るのだ。節子が一千万単位の借金を背負うのにそう時間はかからなかった。

トイチを「年利に換算すると三〇〇パーセント超」とありますが，10日で1割の利息なので365日なら，
　●単利の場合，年利は0.1×36.5=3.65=365%
　●10日ごとの複利の場合，1.1倍の36.5乗は32.42倍になって年利は31.42=3142%
なので，ここでは単利の方の年利のことを言っていると思われます．

金利の上限は法律で決まっていて，元金が10万円未満の場合，2000(H12)年までは40%，それから2010(H22)年までは29%，それ以降は20%になっています．ここでは「約四〇パーセントである」とありますが，この小説の初版発行が2003年なので，執筆中はまだ2000年までの情報(40%)だったのではないかと思われます．どちらにしろ，トイチの金利は法定上限金利を大幅に上回っていますから，公序良俗違反として無効になるそうです．

法律上，借金の元利合計が期日までに返済できないと，遅延損害金も追加されます．その計算式は次式になりますが，

（返済期日の元利合計）×（遅延損害金の利率）×（遅れた日数）÷ 365日

法定上限金利を守らないような悪徳金融業者が，法を守れといって遅延損害金まで請求するなんてことはしないと思われます．

ではその前提で「節子が一千万単位の借金を背負う」のにかかった時間を推測してみましょう．仮に100万円借りたとします．単利のトイチで1年後返済の契約で借りると，

100万×3.65=365万

｢最初の金融業者への借金を見かけ上返済する｣ ため，「輪をかけて悪徳な新しい金融業者」からトニで365万円を1年借りると

365万×3.65×2=2664.5万

1000万を超えるのはこの間なので，期間4か月と5か月を計算すれば，

365万×3.65×2×4/12≒888万  
365万×3.65×2×5/12≒1110万

となりますから，1年半立たずして100万円の借金が1000万円を超えるということになります．

これをもし10日ごとの複利で計算したら，

1.1倍の24乗で約9.8倍  
1.1倍の25乗で約10.8倍

つまり1年目の250日までに10倍の1000万円を超えてしまいます．恐ろしいですね．

単利（青）と複利（緑）増え方の違い

[参考]

出資法及び利息制限法が許容する上限金利の推移

遅延損害金とは？