小説 千里眼の教室

2009年　松岡圭祐著　角川文庫 

整数問題　ベルヌーイの法則

新｢千里眼｣シリーズ第5弾．航空自衛官をやめて臨床心理士になった，抜群の知識と身体能力を持つヒロイン岬美由紀が，次々と大きな問題を解決していきます．

｢得意教科はなんだ」
｢数学とか…」
｢ほう，数学か．末尾の4を頭に移動すると元の4倍になる整数は？」
｢ええと, 102564」
｢よろしい、まずまず使えそうだ。おまえを統治官補佐に任命する。舞台にあがれ。」

この問題，こんなに容易に解けるのでしょうか．まず掛け算をして解いてみました．(click to enlarge)

このような手間のかかる計算になるので，とても即答するのは難しいですよね．

次に代数的に解いてみました．この整数を(n+1)桁と仮定し，1の位を4，10の位より上を$x$（$x$はn桁）とすると，元の数は$10x+4$と表されます．末尾の4を頭に移動したものは$4×10^n+x$となるので，
\begin{align}
4(10x+4)&=4×10^n+x \\
40x+16&=4×10^n+x \\
39x&=4×10^n-16 \\
x&=\frac{4(10^n-4)}{39} \\
\end{align}n=1, 2, 3…と計算していくと，$x$が整数になる最小のnは5になります．$$x=\frac{4(10^5-4)}{39}=10256$$よって，求める最小の整数は$$10x+4=102564$$どちらにしても即答するのは困難でしょう．

この数の他に，102564102564，102564102564102564，…も条件を満たすので，最小のものが102564になります．従って，上の台詞は｢末尾の4を頭に移動すると元の4倍になる最小の整数は？｣にするほうがいいと思います．

ついでに｢末尾のkを頭に移動すると元のk倍になる整数｣を，k=4以外にいくつか計算してみました．
k=2 :  105263157894736842
k=3 :  1034482758620689655172413793
k=5 :  102040816326530612244897959183673469387755
k=6 :  1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966

このように，小説に登場したk=4のとき以外は，非常に大きな数になってしまいました．因みに次のk=7のときは，少し短くなって，1014492753623188405797になります．ご自分で確認してみてください．