小説 成瀬は信じた道をいく

宮島未奈　2024年　新潮社

線形代数学　ケイリー・ハミルトンの定理

｢成瀬は天下を取りにいく｣の続編です．｢大きい数を見ると素因数分解したくなる｣主人公の成瀬あかりが大学生になって勉強の大切さを語ります．

｢そもそも今は大学生なのだから、勉強に打ち込んだらいいのではないか?  わたしは最近、線形代数学の授業でケイリー・ハミルトンの定理を習って感銘を受けた｣

成瀬が華麗な正論を打ち返してきた。

P137

参拝を済ませたあとはのんびり歩いて湖岸に出た。冷たく張り詰めた空気の下、青い湖面が光っている。今年もいい年になりそうだ。

｢2026は2×1013だな｣

｢1013って素数なんだ｣

P199

線形代数学は，大学の教養科目として必修のところが多いですね．基本としては行列，ベクトルを扱いますが，発展して線形空間の話になると難しくなってきます．過去には高校数学に行列があったりなかったりしたので，なかった時代に高校生だった人は行列を知らない人が多いことと思います．

｢習って感銘を受けた｣とありますが，京大ぐらいのレベルだと｢習って｣ではなく，｢(自分で)学んで感銘を受けた｣のではないでしょうか．私もテーラーの定理を初めて知ったときに感銘を受けたのを思い出しました．

さて，ケイリー・ハミルトンの定理は，｢正方行列$A$の固有多項式 $\mathrm{ det }(A-\lambda I)$ の$\lambda$を$A$に変えた式は零行列になる｣という定理なんですが，この表現ではちょっと難しいので，最も簡単な2行2列の行列$A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$を用いて言い換えると，次の式が成り立つことと同じ意味になります．

$A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=O \tag{1}$

$I$は単位行列$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$O$は零行列$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

例えば，$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$として計算すると，確かに式 (1) が成り立つことが分かります． $$A^2-5A-2I=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ^{2}-5\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=O$$ $$A^2-5A-2I=O \tag{1'}$$ これがわかると何がいいのかというと， $$A^2=5A+2I$$ となるので，$A^2$をまともに掛け算せずに足し算で求められ，次数を下げることができるので，そこからさらに$A^3$, $A^4$…と楽に計算できるからです．

では$A^n$の計算ができると何がいいのかというと，例えばn元連立一次方程式を解くことや，ある現象が１年後に$A$を掛けた状態になるときにn年後の状態を求めることができるからです．行列のn乗をまともにn回掛けずに求める方法は他にもいくつかありますが，それが線形代学の基本といってもいいかも知れません．

[参考]

ケイリー・ハミルトンの定理