映画 落ちこぼれの天使たち Stand and Deliver

1987年　米国

部分積分

荒れた高校の生徒たちと，そこへ赴任してきた教師がだんだん信頼し合っていくという話です．1987年の映画ですが，部分積分が登場することを最近知りました．生徒が黒板に書いた数式は，

$\int{x^2 \sin x}dx$
$u=\sin x$           $dv=x^2dx$
$du=\cos xdx$     $v=\frac{1}{3}x^3$
$\frac{1}{3}x^3\sin x-\int{\frac{1}{3}x^3\cos x}dx$

生徒は$du=\sin xdx$，$v=x^2$にすれば良かったのですが，逆にしてしまいました．教師が書いた解き方は，日本ではあまり見ない方法です．

これは表を使う方法（tabuler method）で解いています．この方法を使うと，繰り返しの必要な部分積分の計算が速くできます．

表をじっくり見てみましょう．左の列は$x^2$を次々に微分したもの，中央の列は$\sin x$を次々に積分したもの，右の列は符号です．折れ線でつながるものを与式の右辺に書き出せば正解が得られます．$$\int{x^2 \sin x}dx=-x^2 \cos x+2x \sin x+2 \cos x+C$$