ドラマ 高校入試 第3話

表面積　体積　相似　証明

ドラマに出てきた高校入試数学の問題です。
　AB=CD=√(69)cm, AD=BC=10cmの長方形ABCDがある。この辺ABを辺CDを軸として時計回りに60°ずらし、立体を作ったとき、次の問いに答えよ。なお点Aと点Bが移動した後の点をA', B'とする。
[問1] ① 四角形ABCDが通ってできた立体の表面積を求めよ。
② 四角形ABCDが通ってできた立体の体積を求めよ。
[問2] △BDA'と相似となる三角形を次のア～エから選び、証明せよ。
　　　　ア 底辺と高さの比が5:6の二等辺三角形
　　　　イ 底辺が5で底角が75°の二等辺三角形
　　　　ウ 7:7:4の二等辺三角形
　　　　エ 5:5:√(10)の二等辺三角形
　ドラマの中では問2が「超難問」となっていましたが、三平方の定理を使えばそう難しくない問題です。60°回転で△ADA'は正三角形になるので、AD=AA'=10です。よって三平方の定理より、BD=BA'=√(100+69)=√(169)=13となります。なので△BDA'は、13:13:10の二等辺三角形となり、高さは12です。底辺と高さの比は10:12=5:6になるので、これと相似なアが正解ということになります。問題の中の√(69)は整数の値13を得るためにわざわざ設定した数ということになります。
　この話題を検索してみたら、YAHOO知恵袋で「あれは本当に解ける問題でしょうか？」という問いに対する回答がすでに「解決済み」で、「ただ平方根が辺の長さになっているので面倒な数になりそうですけど。」となっていましたが、実はその逆でしたね。
　

映画 プロメテウス

熱力学温度
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「対気速度100ノットに落とせ」
「大気は」
「窒素71％」
「酸素21％」
「未知のガスの痕跡あり」
「動力システム停止」
「温度2.724K」
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　摂氏温度（セルシウスCelsius温度=単位°C）は、水の氷点を0度、沸点を100度とする温度で、日本での気温はこちらがよく使われます。華氏温度（ファーレンハイトFahrenheit's温度=単位°F）は、水の氷点を32度、沸点を212度とする温度です。アメリカのテレビを見ていると気温77°Fとか出てきますが、これは日本では
C=5/9F-160/9=5/9･77-160/9=25°C
に相当します。逆に日本で気温30°Cなら、アメリカでの表示は
F=9/5C+32=9/5･30+32=86°F
となります。このようにFとCはお互いに一次関数となっています。
　熱力学温度（Thermodynamic Temperature 絶対温度=単位K=ケルビン）は摂氏温度に273.15を加えるだけ、すなわち
K=C+273.15
となります。したがって、映画の中に出てきた星の温度2.724Kは、
C=K-273.15=2.724-273.15=-270.426°C
ということになります。

映画 武士の家計簿

俵杉算　塵劫記　円周法　鶴亀算
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おばばさま「タケノコは積んである。下の段は13個。2段目は12個。段々減って一番上は1個だと全部で何個かな。」
猪山直之「俵杉算ですな。至極簡単です。91です。」
おばばさま「おっほほほほほほ、ご名算。」
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　これは俵を杉の木の形に積んでいくので俵杉算といいます。
1+2+3+……+13=91
という計算ですが、高校数学では等差数列の和の公式

Σk=n(n+1)/2

を使いますね。あとで原作を読んで知りましたが、映画の中で和算の問題を出題していたおばばさまの父は御算用者（ごさんようもの）の小頭、弟は加賀藩で屈指の数学者だったそうです。
　ところで同じ計算ですが、世界3大数学者の一人であるガウスが少年の時、

1+2+3+....+100=5050

を即座に計算して出題した先生を驚かせたという逸話は有名です。
　さて、これが無限個の和になると∞になるはずですが、ζ関数では、

ζ(−1)=1+2+3+……= −1/12

となります。不思議ですね。（これを解説するサイトがありますので検索してみてください）
　私がこれまでに最も驚いた無限和は次の式（バーゼル問題）です。なぜ成り立つのかその理由を知った時の感動は今も忘れません。

ζ(2)=1/1^2+1/2^2+1/3^2+……=π^2/6

もうひとつ印象的だったのが、調和級数は

ζ(1)=1/1+1/2+1/3+……=∞

なのですが、n項までの和からln(n)を引いて極限をとると、
lim[n→∞](Σ(1/k)-ln(n))=0.57721…

という定数（オイラーのガンマ=Euler's γ）になるということです。
　あとひとつおばばさまが出題するシーンがあったのですがよく聞き取れませんでした。ご存知の方はご一報ください。この部分です。

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おばばさま「円の中の○○○○」
猪山直之「円周法ですか。難題ですなあ。」
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2016年10月28日追記
　先日テレビで再放送があったので，録画してこの台詞を何度も聞きなおしてみました．すると次のように聞こえました．
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おばばさま「円の中の正八角形は…」
猪山直之「円周法ですか。難題ですなあ。」
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　初期の和算書では「円周法」は円周率を意味し，その近似値を円に内接する正多角形の周長から求めていたそうなので，この場合は正八角形の周長を問うているのだと思われます．半径1の円に内接する正八角形の周長を計算してみましょう．円を8等分して分点を結ぶと頂角45度の2等辺三角形が8個できます．分点を結んでできた正八角形の1辺をaとすると，余弦定理より，a^2=1+1-2cos45°=2-√(2)なので，a=√(2-√(2))となり，周長8a=8√(2-√(2))≒6.12となります．因みに円周は2π≒6.28ですね．

ドラマ リッチマン、プアウーマン 4話

標本調査　

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なるほど。300人にアンケートをとればおよそ信頼できる結果になると…。
うちの区の人口がだいたい54万人だから抽出標本数は300で誤差6％か。
よし300！やりましょう！
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　これは統計学の標本調査について述べたものです。全体を対象に行う全数調査に比べて、一部を抽出して行う標本調査は結果に誤差が生じます。一般に、全体とくらべて標本数が少ないほど誤差は大きくなります。この場合、54万人の中から300人を調べるだけでも真の値との違いは6%以内ですむということを意味しています。その誤差については、Nを母集団、nを標本数、pを母比率とするとき、以下の式で計算されます。
①信頼区間95.44％のとき、2√((N-n)/(N-1))√(p(1-p)/n)　（上図）
または
②信頼区間95％のとき、1.96√((N-n)/(N-1))√(p(1-p)/n)　（下図）
または
③信頼区間95％のとき、2√((N-n)/(N-1))√(p(1-p)/n)
として計算する場合もあります。
　ただ、この式でN=54万、n=300、p=0.5とすれば、√((N-n)/(N-1))はほぼ1になります。
√((540000-300)/(540000-1))=0.9997231093
なので、√((N-n)/(N-1))の部分を無視して、誤差を1.96√(p(1-p)/n)または2√(p(1-p)/n)で計算しても良いわけです。
①1.96√(p(1-p)/n)を計算すると、
1.96√(p(1-p)/n)=0.0565803264
なので上図の300-50%の値±5.66になり、誤差は約6%となります。
または、
②2√(p(1-p)/n)を計算すると、
2√(p(1-p)/n)=0.0577350269
なので下図の300-50%の値5.8になり、どちらにしても誤差は約6%となります。
　因みに画面に登場した数学の書籍を紹介しておきましょう。
◆ゼロからわかる確率･統計　深川和久著
◆意味が分かる統計学　石井俊全著
◆入門はじめての統計解析　石村貞夫著

小説 左京区七夕通東入ル

ピタゴラスの定理

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　新しい定理を発見した場合はその本人の名前がつけられることが多いという話を聞いた。ピタゴラスの定理とかオームの法則とか、いくつかそれらしいものは思い当たる。
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　理学部数学科の学生が準主役の話なのに、数学の用語がほとんど出てきませんでした。主役が文学部の学生だからかも知れません。ピタゴラスの定理は、ピタゴラスが発見したのではないという説が有力です。もっと以前から知られていたとか、ピタゴラスの弟子が発見したとか言われています。
　私も自分でちょっとした結果を得たことがあるのですが、他に同じ内容を見たことがないので勝手に自分の名前を付けて○○の定理と呼んで悦に入っています。
○○の定理
　zがexp(-θcosθ/sinθ)(cosθ+isinθ)という形の虚数のときにz^zは実数になり、その値はexp((-θ/sinθexp(-θcosθ/sinθ))である。
　もし、同じ結果をどこかで見られたことがある方はお知らせください。

小説 マスカレード･ホテル

緯度　経度
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「三番目の数字で検索していただけますか」尚美の声は震えた。
地図の真ん中には、ホテル・コルテシア東京の文字があった。
「次の犯行現場がこちらのホテルだということは明白でしょう？」
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　犯人は次の犯行現場を緯度･経度で予告しました。実際に小説に出てきた数字で場所(35.678738, 139.788585)を調べたら、東京都首都高速9号深川線と隅田川の交差している地点でした。もちろんフィクションですから実際にホテルはありません。
　地球はほぼ球であるとして考えましょう。下図の点Pの緯度(Latitude)は、「球の中心とPを結ぶ線分」と赤道面とのなす角（図のφ）で[-90,90]。経度(Longitude)はグリニッジ子午線とPを通る子午線とのなす角（図のλ）で[-180,180]。
　ただし、子午線とは北極と南極を球面上で結ぶ半円のことで、北＝子（ねずみ）と南＝午（うま）が語源です。

＜座標（緯度,経度）の例＞
◇座標(51.477222, 0)=グリニッジ天文台(Royal Greenwich Observatory)
◇座標(0, 0)=アフリカのガーナ南約500kmの大西洋上、グリニッジ子午線（本初子午線）と赤道の交点。
◇座標(0, 180)=ハワイの南西約3000kmの太平洋上、日付変更線と赤道の交点。
◇座標(34.649395, 135)=明石市立天文科学館
◇座標(-34.649395, -45)=日本（明石市立天文科学館）と正反対の地球の裏側で、南米ウルグアイの西約1000kmの大西洋上。
　球座標(Spherical Polar Coordinates)または3次元極座標(3D Polar Coordinates)は、普通は左図のように(r,θ,φ)で表します。xy平面は赤道面にあたります。θは極角といいますが、θ=90°-緯度 なので余緯度とも呼ばれます。φは方位角といい、経度にあたります。直交座標との関係は x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθとなります。
　数学でよく使う直交座標は、1637年に発表された『方法序説』において平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルト(René Descartes)の名をとってデカルト座標 (Cartesian coordinates) ともいいます。

小説 φは壊れたね

相関係数　空集合

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「ちょっと寄り道していっても、良いですか？」
「どこへ？」

「いえ、通り道ですけれど、途中で、ちょっとだけ」

「どこ？　言いなさい。なにか後ろめたいんだ」
「あれ、どうして、わかるんですか？」
「貴女の顔、見ていたらわかる」
「顔、見てないじゃないですか」西之園は言った。国枝はずっと前を向いたままだ。
「声で、顔がわかる」
「へえ……、相関係数がかなり落ちそうですね。それは」
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　相関係数は、2つのベクトルの内積をそれらの大きさの積で割ったものですから、2つのベクトルのなす角の余弦（cosθ）になります。-1≦cosθ≦1なので、1に近ければ相関係数は高く、-1に近ければ低いということになります。もう少し前後を読まないと分かりにくいかもしれませんが、ここでの「相関係数」という言葉の使い方はちょっとおかしいと思いました。「かなり落ちる」といっても-1より小さくはなりません。ここでは
「へえ……、私の声と顔は相関係数が高いんですね」
のほうが適切ではないでしょうか。
　φという文字がよく使われる例として、黄金比の値φ、オイラーのφ関数があります。大文字のΦは標準正規分布の累積分布関数としてよく使われます。酷似していますが、ロジスティック分布の累積分布関数はロジスティック関数になります。画像検索してみてください。
　また、"Phi"は米米CLUBの10枚目のアルバムのタイトルでもありますね。
　それにしてもこの小説の登場人物は、戸川（あさかわ）とか、加部谷（かべや）とか、海月（くらげ）とかで読みにくいです。

ドラマ 梅ちゃん先生 #30 もつべきものは、友(6)

分数関数　二次関数　三次関数
　梅子が受けた城南女子医学専門学校の数学再試験の問題です。
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問1.（グラフの概形から推測して）y=(-3x+12)/(x-3)のグラフを書け。また、その漸近線を書け。
問2. f(x)=x^2-7x-12になるとき、次を求めよ。
f(45), f(2x), f(?)
（梅子の解答）
f(45)=45^2-7×45…?
f(2x)=2x^3-14x^2（解答中）
問3. 次の冪関数の変化を考え、…?（不明）
(1)y=-x^3　　(2)?
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問1はたぶん正解でしょう。
問2のf(2x)は間違っていますね。正解はf(2x)=4x^2-14x-12になります。
問3は未解答でした。
　たまたま「梅ちゃん先生　数学」で検索したところ、この試験の問2についてYahoo!知恵袋で「梅ちゃん先生の数学の答案間違っていませんか？」というのを見つけたので解答したら、ベストアンサーに選ばれました。

小説 永遠の0（ゼロ）

0　皇紀2600年

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なぜ「零戦」と呼ばれたか、ですか。
零戦が正式採用となった皇紀2600年の末尾のゼロをつけたのですよ。
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　「皇紀」は「神武天皇即位紀元」の略称で、神武天皇が即位したとされる年を元年とする年号であり、西暦＋660年となります。したがって、皇紀2600年は西暦1940年（昭和15年）にあたります。
　数としての0の概念はインドで確立され、アラビアからヨーロッパに広まりました。日本では普通、自然数というと正の整数を意味し、0を含みませんが、0を含めて自然数とする場合もあります。0のもう一つの重要な役割は、位取り記数法で空位を示す記号として使われることです。このおかげで計算がずいぶん楽になっています。

小説 陽気なギャングが地球を回す

6÷3  　a=b⇒2=1
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「6万円を3人の強盗で分けると2万円になる」
「割り算というのはギャングの分け前を計算するためのものなんだよ」
a=b
a^2=ab
a^2+a^2-2ab=ab+a^2-2ab
2a^2-2ab=a^2-ab
2(a^2-ab)=a^2-ab
2=1
「ゼロで割るってことはどういうことか」
「盗んだお金を誰も手に入れられないってことね」
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　「0で割ってはいけない」理由として、極限を考えるとか、解が存在すると矛盾がおこるとか、いろいろと形式的な解説はよくありますが素直に納得しにくいものです。実はこれらはすべて一貫した考えに基づけば簡単に説明できます。それは「何かを求めるために意味があるから計算をする」ということです。
　割り算には「等分除」と「包含除」2つの意味があります。「等分除」は、例えば6個の物を2人で分けるとか3人で分けるなど、文字通り「等分すること」です。ただしこれは割る数が自然数（正の整数）に限られます。一方「包含除」は、例えば6の中に1/2はどれだけ含まれているかというように、割る数がどれだけ割られる数に含まれているかという意味で、この場合は割る数が自然数とは限りません。
　0で割るということはこれら2つの意味の両方ともあてはまりません。0人で分けることもしないし、0がどれだけ含まれているかなど考える必要はないのです。だから「0で割れない、または割ってはいけない」のではなく、何かを求めるために意味のある計算として「0で割るということはしない」のです。

ドラマ 数学女子学園 第9話

複素関数　複素積分　ラプラス変換

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（先生）これが複素指数関数と三角関数の関係です。よし、じゃあ今日はここまで。
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　この台詞はオイラーの公式

e^(iθ)=cosθ+isinθ

を意味しているようですが、板書が映らなかったので確認できませんでした。この公式は、e^x, cosx, sinxのテーラー展開から導くことができます。右辺は高校でもよく出てきますが、英語の教科書の中にはcisθと表す方法もあります。
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（先生）eのax乗のラプラス変換は？
（生徒1）p^3ですか。
（生徒2）いいえ、全然違います。p-a分の1。
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　f(x)=e^(ax)をラプラス変換する式は、
∫0∞(e^(-st))･f(t)dt=∫0∞(e^(-st))･(e^(ax))dt=∫0∞(e^((-s+a)t))dt=∫0∞(e^(-(s-a)t))dt=[-e^(-(s-a)t)/(s-a)]0∞=(-e^∞-(-e^0)/(s-a)=(0-(-1))/(s-a)=1/(s-a)
ここでs-a<0なら発散してしまってこの極限値が存在しないのでs-a>0としています。なので、生徒2の答え1/(s-a)が正解になります（pよりsで表すことが多いです）。この場面のバックの黒板に∫0∞(e^(st))･y(t)dtと書くべきところを∫0∞dt(e^(st))･y(t)と書いてあったのが気になりました。
　廊下の黒板には、閉曲線上の複素積分∲(1/(z-a))dz=2πiとかゼータ関数ζ(2)=(π^2)/6（バーゼル問題）とか、けっこう高校生には難しい数式が書いてありますね。

韓国ドラマ「イタズラなKiss」第2話

対数　2進数
主人公の男子が女子に数学を教える場面です。
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x=2^30*10^(-7)
両辺にlogを当て
logx=log(2^30*10^(-7))
logx=30log2-7log10
logx=30*0.3-7 だから、
logx=2 つまり
x=100だ。
これを2進数で答えると?
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log2=0.3を代入するのは少しアバウト過ぎますね。これでは誤差が大きくなってしまいます。日本の教科書ではlog2=0.3010を使うことが多いです。log2=0.3010で計算すると、
logx=30*0.3010-7 だから、
logx=2.03 つまり
x=10^2.03=107.15....だ。
実際に最初の式を電卓に入力すると、
x=2^30*10^(-7)=107.37......
となりますから、x=100とするよりもこの値の方が許せる気がします。
ドラマでは解答はありませんでしたが、2進数で表すと、
100=2^6+2^5+2^1=1100100
107=2^6+2^5+2^3+2^1+2^0=1101011
となります。
日本ドラマ「イタズラなKiss」についてはこちら。
台湾ドラマ「イタズラなKiss」についてはこちら。

ドラマ 数学女子学園 第7話

誕生日が同じ確率

今回の数学バトルは次の3問でした。
①大きな数の足し算
②50人の中に同じ誕生日の人がいる確率
③20分で燃え尽きる蚊取り線香を2つ使って15分を計る方法

①は単純計算。③は分かりやすいのでドラマの中で解説がありましたが、②だけは解答のみで解説はありませんでした。②の60人の場合は2011年5月のこのブログにも登場しましたが、n人の中に同じ誕生日の者が少なくとも2人以上いる確率Pは、
          P=1-365!/(365^n*(365-n)!)               [A]
和の記号はΣですが、積の記号Π（πの大文字）を使うと、
          P=1-Π[k=1 to n](365-k+1)/365         [B]
という式で表せます（理由は多数のサイトにありますのでそちらを見てください）。
n=50の場合、式[A]では分子と分母が膨大な数になり、式[B]では(366-n)/365の掛け算を50回もすることになるので普通の電卓では困難です。前回はグラフ電卓のプログラム機能を利用して計算しましたが、今回はWolframAlphaといういろいろな問題を解いてくれるサイトで計算してもらいました。入力式を
          product[1 to 50](365-k+1)/365
とすれば長い分数の答が表示されます。その右上のApproximate formをクリックすると0.0296264という値が出るので、1からその値を引けば97.04%という答になります。試してみてください。

COOL JAPAN 発掘! かっこいいニッポン 「数字」

FOIL Method
　日本では使われる数字が複数あり、アラビア数字、漢数字、ローマ数字があります。暗算の速さやご祝儀の金額から神社のお賽銭まで、数字にこだわる日本人はcoolなのでしょうか。この場合の"cool"は「冷たい」とか「涼しい」という意味ではなく、「すごい」とか「かっこいい」とかいうような意味で、外国人から見て日本の良いところをあらためて注目しようという番組です。
　この中に、"FOIL"という言葉が出てきました。日本の数学の教科書には見られませんが、英語圏の教科書にはよく見られます。式の展開をするときに、例えば、(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6としますが、x^2は最初の積(First)、3xは外側どうしの積(Outer)、2xは内側どうしの積(Inner)、6は最後の積(Last)なのでそれらの頭文字をとって"FOIL"というわけです。他にも日本では聞きなれない数学の言葉として、九九を表にしたもの=Times Table、円周率=Rudolf Number、二次方程式の解の公式=Midnight Formula、たすきがけの因数分解≒Diamond Problems or Box Methodなどがあります。

ドラマ 数学女子学園 第2話

積分　三角関数　正八面体　空間ベクトル
　関西では関東より放送日が遅いのですが、関西での放送の前に動画サイトにアップされていたので見てみました。第1話ではtanが少し出てきた程度でしたが。第2話ではいろいろな話題が出てきました。
①0＜x＜π/4のとき、∫[0→x]costdt＞2∫[0→x]sintdtを証明せよ。（数学Ⅲ）
②一辺aの正八面体の体積Vを求めよ。（中3）
③ﾍﾞｸﾄﾙa=(5,7,3),ﾍﾞｸﾄﾙb=(7,6,5)の両方に直交する長さ1のﾍﾞｸﾄﾙcを求めよ。（数学B）
④AB=5, BC=7, CA=3（3辺の長さが5,7,3）である△ABCの内接円の半径を求めよ。（数学Ⅰ）
⑤765nが平方数になるような正の整数nのうち最小のものを求めよ。（中3）
⑥連立方程式5x+7y=3,7x-6y=5を解け。（中2）
⑦3時から4時までの間、長針と短針がぴったり重なり合うのは3時何分何秒か。（小6）
　ここに解答を載せようと思いましたが、検索したらすでに2チャンネル掲示板にありました。正直言って、ストーリーはあまり興味を持てないのですが、どんな問題が出てくるのかは楽しみです。
　ちなみにエンドロールを見ていたら，このドラマは数学オリンピック財団の方が数学指導をしていたようです．

ドラマ 古畑任三郎「笑うカンガルー」

Finger Calculator French Style, Crocodile Dilemma, Nim Game
　1995年に初放送されたドラマです。見たことはあったのですが、最近機会があってもう一度ゆっくり見てみました。ドラマの冒頭に Finger Calculator French Style（フランス式指電卓）が紹介されています。途中、Crocodile Dilemma（ワニのジレンマ）が、ワニをライオンに変えて「ライオンのパラドックス」として紹介されています。いずれも検索すれば解説が多数見つかります。
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二本松：好きな数字を決めて、お互いに1から順に数えるんです。そして最後にその数字を言った方の負け。じゃあ、お好きな数字を。
古畑　：えー、それじゃあ、16。
二本松：いいですよ。あ、それから、一度に言っていい数字は3つまでです。
古畑　：3つまで。わかりました。
二本松：では僕の方から。「1，2，3」
古畑　：うーん、「4，5，6」
二本松：「7」
古畑　：「8, 9, 10」
二本松：「11」
古畑　：「12」
二本松：「13, 14, 15」
古畑　：じゅうろ…、負けだ。
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　これは2人で対戦する数字のゲームです。必勝法は次の通り。相手にxを言わせるには自分がx-1で終わる。そのためにはその前に自分がx-5で終わる。そのためにはその前に自分がx-9で終わる。……。これでは覚えにくいので、まずxを4で割った余りrを考え、自分は常に4で割った余りがr-1となる数で終わるようにする。すなわち、x≡r(mod4)（xを4で割った余りはrという意味）を考え、自分は常にy≡r-1(mod4)となる数yで終わるようにします。
＜例1＞x=16の場合
　16≡0(mod4)だから、自分は常にy≡-1≡3(mod4)となる数、すなわち「4の倍数-1」で終わるようにする。上のセリフでは、二本松は常に「4の倍数-1」で終われば勝てるということを分かっていて答えています。x=16の場合は先手必勝です。
　これはNim Game というゲームの一種で、The 21 game とか Not 21 などと呼ばれるゲームです。上のx=21の場合に当たります。
＜例2＞x=21の場合
　21≡1(mod4)だから、自分は常にy≡0(mod4)となる数、すなわち「4の倍数」で終わるようにすれば勝てます。最初に4の倍数を言うことはできませんから、x=21の場合は後手必勝です。
　あと、ドラマの中に出てきたアーバックル賞とファルコンの定理は、フィールズ賞とフェルマーの定理がモデルになっているようです。