ドラマ 高校入試 第3話

表面積　体積　相似　証明

ドラマに出てきた高校入試数学の問題です。
　AB=CD=√(69)cm, AD=BC=10cmの長方形ABCDがある。この辺ABを辺CDを軸として時計回りに60°ずらし、立体を作ったとき、次の問いに答えよ。なお点Aと点Bが移動した後の点をA', B'とする。
[問1] ① 四角形ABCDが通ってできた立体の表面積を求めよ。
② 四角形ABCDが通ってできた立体の体積を求めよ。
[問2] △BDA'と相似となる三角形を次のア～エから選び、証明せよ。
　　　　ア 底辺と高さの比が5:6の二等辺三角形
　　　　イ 底辺が5で底角が75°の二等辺三角形
　　　　ウ 7:7:4の二等辺三角形
　　　　エ 5:5:√(10)の二等辺三角形
　ドラマの中では問2が「超難問」となっていましたが、三平方の定理を使えばそう難しくない問題です。60°回転で△ADA'は正三角形になるので、AD=AA'=10です。よって三平方の定理より、BD=BA'=√(100+69)=√(169)=13となります。なので△BDA'は、13:13:10の二等辺三角形となり、高さは12です。底辺と高さの比は10:12=5:6になるので、これと相似なアが正解ということになります。問題の中の√(69)は整数の値13を得るためにわざわざ設定した数ということになります。
　この話題を検索してみたら、YAHOO知恵袋で「あれは本当に解ける問題でしょうか？」という問いに対する回答がすでに「解決済み」で、「ただ平方根が辺の長さになっているので面倒な数になりそうですけど。」となっていましたが、実はその逆でしたね。