ドラマ 数学女子学園 第9話

複素関数　複素積分　ラプラス変換

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（先生）これが複素指数関数と三角関数の関係です。よし、じゃあ今日はここまで。
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　この台詞はオイラーの公式

e^(iθ)=cosθ+isinθ

を意味しているようですが、板書が映らなかったので確認できませんでした。この公式は、e^x, cosx, sinxのテーラー展開から導くことができます。右辺は高校でもよく出てきますが、英語の教科書の中にはcisθと表す方法もあります。
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（先生）eのax乗のラプラス変換は？
（生徒1）p^3ですか。
（生徒2）いいえ、全然違います。p-a分の1。
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　f(x)=e^(ax)をラプラス変換する式は、
∫0∞(e^(-st))･f(t)dt=∫0∞(e^(-st))･(e^(ax))dt=∫0∞(e^((-s+a)t))dt=∫0∞(e^(-(s-a)t))dt=[-e^(-(s-a)t)/(s-a)]0∞=(-e^∞-(-e^0)/(s-a)=(0-(-1))/(s-a)=1/(s-a)
ここでs-a<0なら発散してしまってこの極限値が存在しないのでs-a>0としています。なので、生徒2の答え1/(s-a)が正解になります（pよりsで表すことが多いです）。この場面のバックの黒板に∫0∞(e^(st))･y(t)dtと書くべきところを∫0∞dt(e^(st))･y(t)と書いてあったのが気になりました。
　廊下の黒板には、閉曲線上の複素積分∲(1/(z-a))dz=2πiとかゼータ関数ζ(2)=(π^2)/6（バーゼル問題）とか、けっこう高校生には難しい数式が書いてありますね。