関数の極限
直訳すると「意地悪な女の子たち」というタイトルの学園コメディで，2004年に公開された同名映画のリメイク版です．前作で主役だったリンジー・ローハンが学校対抗の数学コンテストの司会役でカメオ出演（特別出演）しています．このコンテストの最後，あと1問で勝敗が決まるという場面で，2004年の作品とまったく同じ次の問題が使われていました．$$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)-\sin x}{1-\cos^2 x}$$
（ただし，$\ln x=\log_{e} x$）
相手校の生徒が「$-1$」と答えて不正解だった後，主人公のケイディが「極限は存在しない」と答えて勝利します．（前作と全く同じストーリーです）
なぜその答になるのか見てみましょう．まず上式を少し変形して，\begin{eqnarray}&=&\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)-\sin x}{\sin^2 x}\\&=&\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)-\sin x}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\sin^2 x}\\ &=&\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)-\sin x}{x^2}\end{eqnarray}このままでは極限を求め難いので，分母も分子も微分可能で$\frac{0}{0}$（不定形）であることからロピタルの定理を使います．この分母子を微分すると，$$\lim_{x\to 0} \frac{\frac{-1}{1-x}-\cos x}{2x}$$定理より，これに極限があれば元の式の極限と一致するのですが，$$\lim_{x\to +0} \frac{\frac{-1}{1-x}-\cos x}{2x}=\frac{-2}{+0}=-\infty$$$$\lim_{x\to -0} \frac{\frac{-1}{1-x}-\cos x}{2x}=\frac{-2}{-0}=\infty$$となり，右極限と左極限が一致せず，極限が存在しないので，元の式も極限が存在しません．
因みに，グラフ描画アプリGeoGebraで確認するとこうなります．
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