小説 1Q84

平均律
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　『平均律クラヴィーア曲集』は数学者にとって、まさに天上の音楽である。十二音階すべてを均律に使って、長調と短調でそれぞれに前奏曲とフーガが作られている。全部で二十四曲。第一巻と第二巻をあわせて四十八曲。完全なサイクルがそこに形成される。
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　ふかえりが天吾に聞かれて、お気に入りの音楽はバッハの『平均律クラヴィーア曲集』だと答えた場面です。ここでの「天上」とは「最高の」「この上ない」という意味だと思われます。なぜ数学者にとってそんなに良い音楽なのでしょうか。
　平均律は、1オクターヴを均等な周波数比で12等分した音律、すなわち十二平均律を意味する場合が多いようです。すると1オクターヴ上の音は周波数が2倍になるので、均等に分けると1つの半音につき周波数は「¹²√2＝12乗根2」倍になります。音階の分類が、「公比が累乗根を使って表される数である等比数列」で表されているからでしょうか。このことが数学者が歓喜するほどのことだとは思えないのですが…。それとももっと他に意味があるのでしょうか。

ドラマ すべてがFになる

16進法
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16進法でFFFFは65535になる。
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　n進法（n進表記/n進記数法）の4桁の数の表記が"abcd (n)"のとき、10進法で表すと、
a×n^3＋b×n^2＋c×n＋d×1
となります。
①例えば
10進法で使う数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9なので、
4桁の数の表記が"2345"のとき、10進法で表すと、
2×10^3＋3×10^2＋4×10＋5×1=2345
となります。
②例えば
2進法で使う数字は0,1なので、
4桁の数の表記が"1011 (2)"のとき、10進法で表すと、
1×2^3＋0×2^2＋1×2＋1×1=8+0+2+1=11
となります。
③さて
16進法で使う数字(文字)は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,Fで、この場合、F=15なので、
4桁の数の表記が"FFFF (16)"のとき、10進法で表すと、
F×16^3＋F×16^2＋F×16＋F×1=15×16^3＋15×16^2＋15×16＋15×1=65535
となります。
　ところで、色の分類も16進法で表されます。例えば黒は#000000、白は#FFFFFFとなります。これをあてはめれば、すべてがFになると、すべてが白になるということになります。
　n進法と似たような言葉にp進数（pは素数）がありますが、これは急に難しいお話になります。p進数は「小数部分が有限で、整数部分が無限に続く数」をいいます。例えば2進数の場合、
    ……111111.=-1
となります。なぜなら、2進法で1+1=10なので、両辺に1を加えるとすべてが繰り上がって、
    ……000000.=0
となるからです。

小説 お任せ！数学屋さん

台形の加重平均　他多数
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　r=(1-n)p+nq
「台形には必ず平行な2辺が存在するよね。いわゆる上底と下底。その上底と下底の間に、さらにもう1本平行線を引く場合に使う公式なんだよ。」
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　第1章（問1）では計算が丁寧だったのに、第2章（問2）ではかなり公式の導出やあとの計算が端折られていて、分かりやすい図はいつ出てくるのかと思ったら結局出てきませんでした。あのままでは分かりづらいので、図と計算をここにメモしておきましょう。
まずP.99の公式の導出。右図でAB//DFとします。△DEN∽△DFCよりn:1=EN:FCなので、
　n:1=(r-p):(q-p)
　r-p=n(q-p)
　r=p+nq-np=(1-n)p+nq
次にP.105の2次方程式の計算。
　{45+(15n+45)}×AM÷2={(15n+45)+60}×MB÷2
　{45+(15n+45)}×AM={(15n+45)+60}×MB
　{45+(15n+45)}×70n={(15n+45)+60}×70(1-n)
　{45+(15n+45)}×n={(15n+45)+60}×(1-n)
　15n^2+90n=15n+105-15n^2-105n
　30n^2+180n-105=0
　2n^2+12n-7=0
それにしても、中2の生徒に中3で習う相似、2次方程式、平方根、解の公式などの話をしたら、当然魔法のように聞こえるでしょうね。読んでいてぜひほしいと思った学校のグラウンドの図も作っておきました。

映画 真夏の方程式

放物線の水平移動距離
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「エル＝ジー分のブイ2乗サイン…。さっぱりわからん。」
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　映画のエンドロールの中で、少年の夏休みの自由研究レポートのデータを見たときの父親の台詞です。小説では登場しなかった等式が映画では登場しました。その式は、放物線が多数描かれた紙の右上にメモのように書いてありました。
　L=(v^2sin2θ)/g

初速度v、水平面との角度θで飛ばされた物体のt秒後の垂直方向の位置（高さ）hは、重力加速度をgとすると、
　h=vsinθ･t-1/2gt^2
水平方向の位置（飛距離）Lは
　L=vcosθ･t
と表せます。飛行後の着地点は、再びh=0となるのでこれを解くと、
　t=(2vsinθ)/g
この時刻をLに代入すると、
　L=vcosθ･(2vsinθ)/g=(v^2･2sinθcosθ)/g=(v^2sin2θ)/g
これが登場した等式です。さて、物体を水平方向に200m以上飛ばそうとすると、これにL=200を代入した
　200=(v^2sin2θ)/g
を満たすvよりも大きな速度で飛ばさなければいけません。空気の抵抗を無視しているので、θ=45°で最も遠くへ飛ばせると考えれば、sin2θ=1なので、
　200=v^2/g
重力加速度g=9.8m/sec^2なので、
　200=v^2/9.8
を解くと、
　v^2=1960
　v=√1960≒44.2718…
となり、初速度45m/secは必要ということになります。
　ところで、小説にはこの等式は登場しなかったので、タイトルの「真夏の方程式」が意味する方程式はこの式ではないでしょう。少年が「これからいろいろなことを学習し、成長していくことで、今疑問に思っていることがいつかは解決する」ということを「方程式」という言葉で比喩しているものと思われます。

アニメ 金田一少年の事件簿R 第23話

無理数の語呂合わせ　立方体の展開図
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第3問　人並みにおごれやオナゴ　ではオウムがなく山麓はどこ？
第6問　サイコロの展開図です　2重マス（図の水色の部分）の数字を順に並べよ
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廃墟からの脱出をかけた殺人ゲームの中に出てきた問題で、すべて4ケタの数で答えます。
　＜第3問＞ √3の語呂合わせは「人並みにおごれや」の後に「オナゴ」までつけるのは珍しいですね。√5は「富士山麓オウム鳴く」なので正解は2236です。日本で最も有名な語呂合わせといえるでしょう。円周率πは「産医師異国に向かう…」でかなり長いものが知られています。
　ちなみに私が考えた語呂合わせをひとつ紹介しましょう。三角関数の三倍角の公式
　sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3　ミシマヨシミ
　cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ　ヨコミマサコ
　英語の教科書では、日本の中3で習う平方根の単元が"Radicals and Surds"とか""Radicals(or Surds)"とか表されています。根号√＝radical symbolで表示された実数をradicalsといい、その中の無理数をsurdsといいます。例えば、√3は根号表示された実数radicalでもあり、根号表示された無理数irrational radicals＝surdでもあります。一方、√4は根号表示された実数radicalですが、根号表示された無理数surdではありません。πは根号表示されない無理数なので、radicalでもsurdでもありません。
　＜第6問＞（図をクリックして拡大して見てください） サイコロの表裏の数の和は7なので、正解は6532になります。ところで、立方体の展開図(Nets of a Cube)は対称移動や回転移動で同じになるものをひとつとして考えると11種類あることが知られています。こちらは日本の中1の教科書で紹介されますが、11種類あることは2011年に証明されたそうです。ちなみに正四面体の展開図は2種類、正八面体は11種類、正12面体と正20面体では43380種類も存在するそうです。

NEWS 日米解けるか“4次方程式“12日からTPP首席交渉官会合

連立方程式　4次方程式
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2014/5/11産経新聞
■（１）関税率（２）期間（３）緊急制限（４）特別枠
　日米など１２カ国が参加する環太平洋戦略的経済連携協定（ＴＰＰ）交渉の首席交渉官会合が１２～１５日、ベトナム・ホーチミンで開かれる。続く１９～２０日にはシンガポールで閣僚会合が予定されており、交渉は大きな山場を迎える。牛・豚肉など重要農産品５分野の関税の扱いで対立してきた日米両政府は、関税率などの４条件を同時決着させる方針。一方、新興国も参加する今回交渉は知的財産権の問題なども焦点で、複雑な“連立方程式”を解くような協議となりそうだ。
（中略）
　交渉筋によると、重要５分野について（１）関税率をどこまで下げるか（２）引き下げにかける期間（３）輸入が急増した際に関税率引き上げを可能にする「特別緊急輸入制限（セーフガード）」の設定（４）低関税率の特別輸入枠の設定－という“４次方程式”から１つの解を導き、両国の妥結を図る方針で一致したという。
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　始めに「連立方程式」といっておいて最後に「4次方程式」というのはおかしいですね。内容から考えると、関連する4つの問題を解決しようとしているので、「4次方程式」ではなく「4元連立方程式」のほうが適すると思います。
　代数方程式の解法にはおもしろい歴史があります。
・2次方程式の解の公式発見  9世紀　フワリズミー（アラビヤ）
・3次方程式の解の公式発見　16世紀　フォンタナ（イタリア）
・3次方程式の解の公式公表　16世紀　カルダノ（イタリア）
・4次方程式の解の公式発見　16世紀　フェラーリ（イタリア）
・5次以上の方程式に解の公式がないことを証明　19世紀　アーベル（ノルウェー）
・5次以上の方程式が解を持つ条件　19世紀　ガロア（フランス）
　カルダノはフォンタナをだまして3次方程式の解法を聞きだし、自分の著書で公表しました。フォンタナには可哀そうですが、3次方程式の解の公式は「カルダノの公式」と呼ばれています。
　アーベルが5次以上の方程式は一般に代数的には解けない（冪根と四則演算だけで書ける解の公式が存在しない）ことを証明した後、ガロアはどんな場合に与えられた方程式が代数的な解を持つのかを明らかにしました。内容が難しすぎて、死後14年も経ってからその業績が注目されたそうです。

小説 陽気なギャングの日常と襲撃

仕事（ベクトルの内積）
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　力が働いて物体が移動したときに、物体の移動した向きの力と移動した距離との積を、力が物体になした仕事という。
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物理でいう仕事(単位N・m=J)というのはベクトルの内積にあたります。ベクトルaとベクトルbの内積はa･b＝|a||b|cosθで定義されます。物体にかけた力を表すベクトルaと移動を表すベクトルbが同じ方向の場合はθ=0なのでcosθ=1ですから、仕事＝内積はa･b＝|a||b|となりますが、同じ方向でない場合、移動方向にかかる力は|a|cosθとなりますから、仕事＝内積はa･b＝|a||b|cosθとなります。私が高校のときの数学の教科書には定義式以外に説明がなかったので、それが何を意味するのか長い間分かりませんでした。
　ベクトルの掛け算には内積と外積があります。内積はベクトル・ベクトル＝スカラー（定数）になりますが、3次元での外積はベクトル×ベクトル＝ベクトルになります。ベクトルの外積が表す物理量のひとつとして力のモーメントがあります。力のモーメントは回転運動を与える力の能率のことで、回転軸から力を加える点を結ぶベクトルをa、加える力を表すベクトルをbとするとき、その大きさは|a×b|=|a||b|sinθで、その方向はaがbに向かって近づく回転で右ネジが進む方向です。N・mという単位は仕事と同じですが、異なるものです。
　ちなみに広義の外積は2次元でも定義できて、2つの平行でないベクトルが作る平行四辺形の面積になります。成分で見てみると、a=(a1, a2), b=(b1, b2)のとき、外積は
|a×b|=|a1b2-a2b1|
になります。これを使うと3点を結ぶ三角形の面積が簡単に求められることはよく知られてます。

ドラマ 浅見光彦シリーズ「不等辺三角形」

不等辺三角形　重心
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浅見「それが作る不等辺三角形の重心は…、この四阿（あずまや）！」
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　不等辺三角形とは、二等辺三角形でも正三角形でもない、普通の三角形のことですね。三角形の五心のうち、重心は3中線の交点であると習います。実際に地図上の三角形の重心を求めてみましたが、「この四阿（あずまや）」と重心は少しだけずれていました。
　実は重心には3種類あります。
①幾何的重心…重みのある均質な薄い板と考えたときの重心
②物理的重心…各頂点に同じ重みがあると考えて他は無視したときの重心
③フレーム重心…各辺を重みのある均質なフレームと考えて他は無視したときの重心（ここでは言及しません）
　三角形ABC（各点の位置ベクトルをa,b,cとする）の場合、①②は一致して、その位置ベクトルは(a+b+c)/3になります。ところが四角形の重心の場合、①②は一致しません（一致するときもあります）。四角形ABCDの物理的重心の位置ベクトルは(a+b+c+d)/4になりますが、幾何的重心は、四角形を2つの三角形に分割した場合にそれらの重心を結ぶ線分上にあり、分割の仕方は2通りありますから、2本の線分ができ、これらの交点が幾何的重心ということになります。
　実際にその位置ベクトルを求めてみました。計算を簡単にするため、図のように、四角形OACBとし、それら4点の位置ベクトルを0,a,pa+qb,b（p,qは実数）としています。
以下、g1～g4,x1,x2はベクトル、s,tは実数です。
物理的重心
　(0+a+b+pa+qb)/4={(1+p)a+(1+q)b}/4
幾何的重心
　線分OCで分割された2つの三角形の重心の位置ベクトルは、g1=(a+pa+qb)/3, g2=(pa+qb+b)/3
　この2点を通る直線のベクトル方程式は、x1=(1-s)(a+pa+qb)/3+s(pa+qb+b)/3…(A)
　線分ABで分割された2つの三角形の重心の位置ベクトルは、g3=(a+b)/3, g4=(a+pa+qb+b)/3
　この2点を通る直線のベクトル方程式は、x2=(1-t)(a+b)/3+t(a+pa+qb+b)/3…(B)
　(A)(B)の交点を求めるので、連立させます。
　(A)(B)より{(1-s)(1+p)+sp}a+{(1-s)q+s(1+q)}b={(1-t)+t(1+p)}a+{(1-t)+t(1+q)}b
　係数比較して
　(1-s)(1+p)+sp=(1-t)+t(1+p), (1-s)q+s(1+q)=(1-t)+t(1+q)
　整理すると
　p-s=tp,  q+s=1+tp
　この連立方程式を解いて
　s=p/(p+q), 1-s=q/(p+q)
　これらを(A)に代入すると、
　x1=(q/(p+q))(a+pa+qb)/3+(p/(p+q))(pa+qb+b)/3
　  ={1/(3(p+q))}{(p^2+pq+q)a+(q^2+pq+p)b}
　となりますので、物理的重心とは特別な場合を除いて一致しません。
　図の赤い平行四辺形の対角線の交点が物理的重心、青い短い2本の線分の交点が幾何的重心です。
(2014年10月6日追記)
　曲線で囲まれた図形の重心を積分を使って求める公式を導出なしに掲載しているサイトが多いので、なぜその公式が成り立つのかをこちらにまとめてみました。

ドラマ 名探偵・神津恭介 ～影なき女～

ロジスティック回帰分析
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神津「今日は、埼玉県所沢市で溺死体で発見された男性の件について、配偶者による保険金目当ての殺人なのか、ただの事故なのか、ロジスティック回帰分析を使って検討してみたいと思います。」
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　ロジスティック関数とは、y=c/(1+a･e^(-bx))で表されるS字型のグラフになる関数で、生物の成長やヒット商品の累積売り上げなどのモデルに応用されています。「回帰(regression)」とは、もともと「元に戻る」というような意味ですが、数学では、あるいくつかのデータ(x, y)を元に最小2乗法を用いて、xとyの関係を関数y=f(x)で近似することをいいます。その式を回帰方程式または回帰モデル、そのグラフを回帰曲線といいます。

具体的に、5組のデータ(1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 4), (5, 6)から、それらの点にもっとも近いところを通るグラフを、グラフ電卓を使っていくつか求めてみました。右の画像（新規タブで開いて拡大して見てください）のように、線形（1次関数）回帰 Linear Regression、2次関数回帰　Quadratic Regression、3次関数回帰 Cubic Regression、4次関数回帰 Quartic Regression、冪(べき)乗関数回帰 Power Regression、指数関数回帰 Exponential Regression、対数関数回帰 Logarithmic Regression、正弦関数回帰 Sinusoidal Regression、ロジスティック関数回帰 Logistic Regressionなどあります。全く同じデータであっても、それらの関係をどう推測するかによって、得られるグラフが違ってくるということが分かります。
　ただ、このドラマに出てきたロジスティック回帰分析は、多変量解析の手法なので、y=f(x1, x2, x3, ......, xn)を考えることになります。事件に関する情報x1, x2, x3, ......, xnから、保険金殺人である可能性yを算出しています。

ドラマ ハードナッツ

ポアソン･クランピング　カイ2乗分布

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「クイーンのフォーカード。時にはこんないい手札が揃うこともある。」
「ポアソン･クランピングという現象だ。」
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　トランプをアトランダムに配っても時にはいい手が来ることがあります。なぜかある1日だけ悪いことが度重なって起こることもあります。このように同じ確率でも、一定の現象がたまたま続くことをポアソン･クランピングといいます。
　円周率は762桁目から9が6個続けて現れるところがあり、これはファインマン･ポイントと呼ばれています。同じ数字が6桁で6回連続する確率は1/10^5で、そのチャンスが762回あるので、1/10^5×762＝0.00762となりますから、762+5桁目までに同じ数字が6回続く確率は約0.8％ということになります。
　1999年には2061億5843万桁まで計算され、最長連続数は3が13回でした。この桁までに同じ数字が13回続く確率を計算すると、1/10^12×(2061億5843万-12)＝0.20615843となり約20％となるので、実はこの現象はかなり起こりやすいことが分かります。
　さらに、2009年には2兆5769億8037万桁まで計算され、3の他に4が2回、8が1回やはり13回連続で現れることが分かりました。同じく確率を計算すると、1/10^12×(2兆5769億8037万-12)＝2.57698037で約257％となりますから、この桁までに2～3回は必ずこの現象が起こっているということになります。実際は4回ですけどね。
　円周率は2011年現在、100兆桁まで計算されています。50兆桁までに0～9の数字が現れる回数はそれぞれ5億回前後とほぼ同じ確率になっています。この桁までに同じ数字が14回以上連続しているところをご存知の方は教えてください。