小説 天地明察

和算/算術/算学　関孝和　勾股弦

作品中に問題が3問あり、その都度先を読まずに解いてみました。

①辺の長さがが9, 12, 15の直角三角形に2点で内接する半径の等しい二つの円が互いに外接しているとき、円の直径を求める問題。

これは半径をr、一方の円の接線の長さをxとでもおいて連立方程式をつくれば正解の30/7はすぐに出たのですが、他サイトに他の解法がいろいろ紹介されていました。

②大正方形と小正方形が図のように重なっていて、2つの正方形の対角線の長さの比が30/7のとき、それぞれに内接する小円と大円が重なっている部分を図のように二等分する線分の長さを求める問題。

これは一見して2つの正方形の対角線の長さの比は√(2):1のはずなのでおかしいと思ったら、やはりその後に問題が間違っていたことが書かれていました。因みに√(2):1で計算すると、この長さは小円の半径を1とした場合、√(2)-1になります。ただこれは算術の名人に出すにはあまりにも簡単です。

③15個の大きさの異なる円があり、それらの周の長さはある数列になっていて、小さい順にa(1)からa(15)としたとき、a(1)+a(2)=10, a(5)+a(6)+a(7)=27.5, a(11)+…+a(15)=40のとき、a(1)を求める問題。

これは等差数列か等比数列かと思って解こうとしましたが正解が出ないので他サイトを検索してみたところ、この数列の一般項をnの2次式と置いて行列を用いて解いていました。ただし、この出典はある神社の算額に実際に書かれていた問題で、小説ではこの値を変えたものでした。ところがオリジナルの問題ではきちんと解が得られるのに、この小説で変えられた値で解くとうまくいかないようです。詳細はこちら。

映画では間違いがなければいいのですが。

小説 神様のカルテ

一＋止＝正 1+4=5
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（主人公の名前について）「一に止まると書いて、正しいという意味だなんて、この年になるまで知りませんでした。でもなんだかわかるような気がします。人は生きていると、前へ前へという気持ちばかり急いて、どんどん大切なものを置き去りにしていくものでしょう。本当に正しいことというのは、一番初めの場所にあるのかもしれませんね。」
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この意味についてとは断っていませんが、「一度止まって考えよ。そうすれば正しい答えが得られる。」という意味の内容を述べている部分もありました。
またこう考えることもできます。
1+4=5
漢字を使用する国で5ずつ数えるのに、「正」という字を書いていく方法はよく使われますが、これが画線法（かくせんほう）"Tally Marks"と呼ばれることはあまり知られていないようです。欧米ではI, II, III, IIIIの次に全体に斜線を入れて5を表し、南米ではまず口（四角）を書いてその中に斜線を入れて5を表すそうです。

小説 数学的にありえない ｱﾀﾞﾑ･ﾌｧｳﾌｧｰ

確率論　誕生日問題

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「（60人の）このクラスに同じ誕生日の者が少なくとも2人以上いる確率は、99.4％ということになります」
「10人だったとしたら、…」「約12％です」
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n人の中に同じ誕生日の者が少なくとも2人以上いる確率Pは、

P=1-365!/(365^n*(365-n)!)

という式で求められますが、これを電卓に計算させようとするとOverFlowというエラーになるので、グラフ電卓でプログラムを作成して計算させました。

この講義の先生は「自分は60人のクラスに同じ誕生日の者が少なくとも2人以上いるほうに5ドル賭けようじゃないか。受けて立つかね？」といって自分は99.4％のほうに賭け、学生には0.6％のほうに賭けさせ、まんまと金を手にします。正解を知らない学生を相手にこんなことをするとはずるい先生です。

小説 パラドックス13 東野圭吾

パラドックス
　パラドックス（paradox）はよく「逆理」と訳されますが、ここでは「数学的矛盾」と表されています。「数学的連続性」「論理数学的」という言葉も出てきますが、この話を読んでいる限りでは、「物理学的」とか「宇宙学的」と言った方が当てはまるような感じがしました。
　有名なもので、ラッセルの逆理(Russell's paradox)というものがあります。
　「『自分自身を含まない集合』全体の集まり」をSとする。Sも集合と考えると『自分自身を含まない集合』か『自分自身を含む集合』のいずれかである。
　①Sが『自分自身を含まない集合』であるとする。自分自身を含まないのだからSはSを含まないはずである。しかし元々Sは「『自分自身を含まない集合』全体の集まり」だから『自分自身を含まない集合』Sを含むはずである。よって矛盾。
　②Sが『自分自身を含む集合』であるとする。自分自身を含むのだからSはSを含むはずである。しかし元々Sは「『自分自身を含まない集合』全体の集まり」だから『自分自身を含む集合』Sを含まないはずである。よって矛盾。
　①②のどちらを仮定しても以上のような矛盾が生じるので、「『自分自身を含まない集合』全体の集まり」Sを集合と考えることはできません。このような集まりはproper class（真類）と呼ばれています。

小説 暗号解読 ｻｲﾓﾝ･ｼﾝ

素数　素因数分解　因数分解

現代社会でよく使われているRSA暗号は、大変大きな素数が使われています。例えば221は素数だと思いますか。実は合成数です。では何と何の素数の積でしょうか。正解は13×17です。このことは、素数2, 3, 5, 7, 11で割りきれないことを確かめ、13で割り切れることを確かめてからようやくわかることです。13×17＝221は簡単に計算できますが、221が13×17であることはすぐに分かりません。このように大きい合成数の素因数分解がとても時間がかかるということを利用して暗号が作られているわけです。もちろん実際はもっとはるかに大きな素数の積が使われています。
　素因数分解や因数分解など、教科書で習う時に「こんなのどこで役に立つんだろう」と思いますね。実際、買い物をするときの計算では役に立たないわけですが、このおかげで私たちの個人情報などさまざまなものがセキュリティで守られているわけです。素因数分解や因数分解も実は実社会では有り難い存在なのですね。