映画 Hidden Figures （邦題「ドリーム」）本編

2016年　米国　Directed by Theodore Melfi, Distributed by 20th Century Fox

Euler's Method

日本では2017年9月公開予定の映画です．主役のキャサリン・ジョンソンは、宇宙船を軌道から戻すための計算にオイラーの方法（Euler's Method）を使います．これは常微分方程式 ordinary differential equations (ODEs)の厳密解（解析解）が求められないときに近似解（数値解）を求める方法の一つです．

解こうとする微分方程式が $y'=f(t, y(t))$，初期値が$y(t_0)=y_0$のとき，まずtを幅hで区切って$t_0=0, t_1=h, t_2=2h, t_3=3h,$ …とし，最初はt=0における接線で近似，その後は，$y_{n+1}=y_n+h･f(t_n,y_n)$として，2点$(t_n, y_n)$, $(t_{n+1},y_{n+1})$を結ぶ直線で近似していくという方法です．

簡単な例として，厳密解（解析解）が$y=e^t$になる微分方程式$y'=y$を見てみましょう．初期値は$y_0=1$になります．この例では$f(t_n,y_n)=y_n$なので，$y_{n+1}=y_n+h･y_n$として$(t_n,y_n)$を次々に求めて行き，折れ線グラフを作っていくというイメージです．

$y_1=y_0+h\cdot y_0=1+h\cdot 1=1+h$
$y_2=y_1+h\cdot y_1=(1+h)+h\cdot(1+h)=(1+h)^2$
$y_3+h\cdot y_3=(1+h)^2+h\cdot(1+h)^2=(1+h)^3$

例えば，h=0.5なら，$y_1=1.5$，$y_2=2.25$，$y_3=3.375$，$y_4=5.0625$，…となって，右図のようになります．
（オレンジ色がEuler's methodによる近似解，青色が$y=e^x$）

hの値（分割の幅）が小さいほどより良い近似になりますが，その分，計算は煩雑になります．hの値を変えたらどうなるかわかるものをGeoGebraで作ってみましたので，試してみてください．

因みにEuler's Methodは，世界中最も多くの国で普及している高校カリキュラム「国際バカロレアディプロマプログラム(IB Diploma Program)」のMathematics Higher Level（主に理系向き）のOption科目"Calculus"に登場します。

余談ですが，日本語の方のWikipediaで，1か所間違いを見つけたので訂正しておきました．これでWikipediaの記事を訂正したのは4～5回目ぐらいになのですが，以前に訂正した内容を記録してなくて思い出せないので，今後履歴が残るように今回初めてWikipediaにアカウント登録してみました．

＜reference＞
Euler method
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_method
オイラー法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%B3%95