漫画 数学女子 第1巻

2次形式　係数行列　直交行列　対角化
　K大学理学部数学科の女子学生が主人公の漫画です。このKは鹿児島大学だそうですが、私も異なるK大学理学部数学科出身なので、初めは「オッ、これは？！」と思ってしまいました。
　いきなり表紙に線形代数の主軸変換の問題が描かれています。主軸変換とは、例えばax^2+bxy+cy^2をa'x^2+c'y^2に変形すること、つまり2次形式の一般形を標準形に変形することをいいます。グラフでは、ax^2+bxy+cy^2=dという2次曲線を回転させてa'x^2+c'y^2=d'という2次曲線にすることを意味します。
　この表紙に載っている問題の第3問は途中で見えなくなっていましたが、たぶん「標準形を求めよ」ということでしょう。この問題を別紙で解いてみました。
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理学部　数学科　後期試験　線形代数
学籍番号　1032　　氏名　内山まな
演習1
2次形式F(X,Y)=X^2-2√3XY-Y^2について
(1) 係数行列Aを求めよ
(2) Aを直交行列で対角化せよ
(3) F(X,Y)に適当な変換を行い標準形を求めよ
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　他サイトに裏表紙の数式の間違いを指摘するブログを見つけたので紹介しておきます。

ドラマ ドラゴン桜

置換積分
　偏差値の低い生徒の東大受験がテーマのドラマです。早速第1話の冒頭から数学の授業シーンがありました。定積分の問題
∫₁²x√(2-x)dx
で、2-x=tと置換し
∫₁⁰(2-t)√(t)(-1)dt
として解く、高校の数学Ⅲの教科書にあるような基本的な問題でした。
 　数学Ⅲの教科書で置換積分の例題としてよく登場するものに
y=±1/√(1-x^2), y=1/(1+x^2)
があります。前者はx=sintまたはx=cost、後者はx=tantで置換しますが、これらは実は逆三角関数（Inverse Trigonometric Function）の導関数、すなわち、
d/dx(arcsinx)=1/√(1-x^2)，d/dx(arccosx)=-1/√(1-x^2)，d/dx(arctanx)=1/(1+x^2)
なので、このことを知っていれば、これらの積分が置換積分を用いることなしにできます。例えば、
∫₀¹1/(1+x^2)dx=[arctanx]₀¹=arctan1-arctan0=π/4
というように容易に計算することができます。
 　逆三角関数は世界中最も多くの国で普及している高校カリキュラム「国際バカロレアディプロマプログラム(IB Diploma Program)」のMathematics Higher Level（主に理系向き）で扱われています。日本でも高校の数学Ⅲあたりで扱えばいいのではないかと思います。

映画 ルパン三世（実写版）

petaminx（正12面体パズル）
　立方体パズルのルービックキューブ(Rubik's cube)よりもさらに複雑な正12面体(dodecahedron)パズルを、峰不二子があっという間に仕上げてしまいます。正12面体パズルには、易しい順にmegaminx, gigaminx, teraminx, petaminxと4種類ありますが、この映画に登場したものは最も難しいpetaminxでした。因みにmega=10^6, giga=10^9, tara=10^12, peta=10^15を意味しますが、それぞれのパズルの組合せの数を調べてみたら以下の通りでした。
Rubik's cube (3*3*3 original) 4.33*10^19
megaminx 1.01*10^68
gigaminx 3.65*10^263
teraminx 1.15*10^573
petaminx 3.16*10^996
とてもこの映画のように数分で仕上げられるものではありません。他にも正4面体(tetrahedron)やサッカーボールのような32面体（切頂20面体=truncated icosahedron）のパズルもありますが、複雑すぎてとてもやる気が起こりませんね。
　因みに正多面体(regular polyhedron)は正4, 6, 8, 12, 20面体と5種類あって、プラトンの立体(Platonic Solid)と呼ばれています。凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものは、半正多面体(semi-regular polyhedron)またはアルキメデスの立体(Archimedean solid)といって13種類あり、前述の切頂20面体もこれに含まれます。この形のサッカーボールは日本のモルテン社がアルキメデスの立体をヒントに開発したものだそうですが、2006年ワールドカップからは新しいボールが使われているようです。