小説 天地明察

和算/算術/算学　関孝和　勾股弦

作品中に問題が3問あり、その都度先を読まずに解いてみました。

①辺の長さがが9, 12, 15の直角三角形に2点で内接する半径の等しい二つの円が互いに外接しているとき、円の直径を求める問題。

これは半径をr、一方の円の接線の長さをxとでもおいて連立方程式をつくれば正解の30/7はすぐに出たのですが、他サイトに他の解法がいろいろ紹介されていました。

②大正方形と小正方形が図のように重なっていて、2つの正方形の対角線の長さの比が30/7のとき、それぞれに内接する小円と大円が重なっている部分を図のように二等分する線分の長さを求める問題。

これは一見して2つの正方形の対角線の長さの比は√(2):1のはずなのでおかしいと思ったら、やはりその後に問題が間違っていたことが書かれていました。因みに√(2):1で計算すると、この長さは小円の半径を1とした場合、√(2)-1になります。ただこれは算術の名人に出すにはあまりにも簡単です。

③15個の大きさの異なる円があり、それらの周の長さはある数列になっていて、小さい順にa(1)からa(15)としたとき、a(1)+a(2)=10, a(5)+a(6)+a(7)=27.5, a(11)+…+a(15)=40のとき、a(1)を求める問題。

これは等差数列か等比数列かと思って解こうとしましたが正解が出ないので他サイトを検索してみたところ、この数列の一般項をnの2次式と置いて行列を用いて解いていました。ただし、この出典はある神社の算額に実際に書かれていた問題で、小説ではこの値を変えたものでした。ところがオリジナルの問題ではきちんと解が得られるのに、この小説で変えられた値で解くとうまくいかないようです。詳細はこちら。

映画では間違いがなければいいのですが。

韓国ドラマ「雪の女王」第1話

数学オリンピック　Ψ(n)　ζ(n)　
　韓国のエリート高校「韓国科学高校」の図書館。数学書にこれまで聞いたことのない"Kobrodsy Function"というのが出てきたので検索してみたところ、このドラマの監修を担当したソウル大学研究員の文章が見つかり、実はこのドラマの中だけで名付けられたものだと分かりました。その由来はKobrodsy＝KBS(Korea Broadcasting System)。以前「古畑任三郎」にも「ファルコンの定理」という架空の用語が出てきたことを思い出しました。
　余談ですが、韓国の人はフルネームで呼び合うことが多いようです。

ドラマ 水戸黄門「難問ぞろいの算術対決」

和算・算学・算術　相似　油分け算　魔方陣　七方陣　算木・算盤　関孝和

①まず相似を利用して火の見やぐらの高さを求める場面がありました。中学校の教科書に載っているような問題でした。

②次に油分け算がありました。10升ますと7升ますと3升ますがあり、10升ますに水がいっぱい入っている。すなわち（10升ます, 7升ます, 3升ます）=(10,0,0)である。これを(5升, 5升, 0升)=(5,5,0)に分けます。ドラマでは「先に7升入れるからだめなんだ。」と言って(10,0,0)→(7,0,3)→(7,3,0)→(4,3,3)→(4,6,0)→(1,6,3)→(1,7,2)→(8,0,2)→(8,2,0)→(5,2,3)→(5,5,0)と移して、「できた、できた。」といって喜ぶのですが、先に7升入れてもできるし、その方がこのように一手早くできます。(10,0,0)→(3,7,0)→(3,4,3)→(6,4,0)→(6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1)→(2,7,1)→(2,5,3)→(5,5,0)。監修の方はご存じなかったのでしょうか。

③算術対決の1問目は7*7魔方陣でした。他のサイトを検索すればすぐに正解が分かります。

④算術対決の2問目は図の小円の円径（直径）を1寸とするとき、黒く塗りつぶされた部分の面積を求める問題です。
小円の半径は1/2、大円の半径をr、すなわち正方形の一辺をrとすると、三平方の定理で、
(r-1/2)^2+(r/2)^2=(r+1/2)^2
これを解いてr=8
求める面積Sは、
S=πr^2･(1/12)+2{πr^2･(1/6)-(1/2)･r･(√(3)/2)r}=(r^2)/12･(5π-6√(3))
となるので、r=8を代入すると、
S=16/3･(5π-6√(3))=28.3501......
すなわち、ドラマの中の解答「弐拾八歩参分有奇（にじゅうはちぶとさんぶあまりわずか）」となります。

⑤算術対決の3問目は図の大中小10個の円の直径の和が149寸のとき、中央の側円（楕円）の短径を求める問題。
正方形の一辺を2aとし、大円の半径をxとすると、
x^2=a^2+(2a-x)^2
これを解いて、x=5/4*a
小円の半径をzとすると、
3/5*x+2z=x
これを解いて、z=1/5*x
計算を簡単にするため、a=4, x=5, z=1としてかなり計算すると、中円の半径yは、
y=8/5
正方形の中央を原点とし、楕円と右上の中円との接点をPとしてこれもかなり計算すると、その座標は、
P=(2,  √(12/5))
この点を通る楕円の(短径/2)をbとして、その方程式を、
(x^2)/(4^2)+(y^2)/(b^2)=1
とし、Pの座標を代入してbを求めると、
b=4/5*√(5)=1.7888......
x=5, y=8/5, z=1としたときの10個の円の半径の和は108/5なので、直径の和は216/5。出題の直径の和が149だったのでそうなるように拡大すると、
b'=6.1698......
よって楕円の短径は
2b'=12.3397......
となり、ドラマの中の解答「九寸有奇（きゅうすんあまりわずか）」になりませんでした。どなたか計算してみた方、ご連絡ください。

(2012年1月14日追記)
　今日出典の問題を見つけました。「和算で遊ぼう」佐藤健一著(かんき出版)121ページです。オリジナルの問題は10個の円の直径とさらに正方形の一辺と楕円の長径も加えて149寸でした。それでもう一度計算したところ、149/37*√(5)=9.0047......となり、確かに「九寸有奇（きゅうすんあまりわずか）」になりました。
　ということで、ドラマの中の出題は正方形の一辺と楕円の長径が不足していたということが分かりました。監修の方はしっかり確認してほしいものです。放送後1ヶ月半たってようやくすっきりしました。