漫画 陰陽師 - 第6巻

正五角形の作図　正十二面体
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外側の一番大きな円が一、すなわち太極を意味する。
中の二つの円は陰と陽の両極。
一である太極は二である両極を生じ、二である両極から三である物体が生じ、三である物体が万物を生ずる。
一によりて点であるもの、天が生じ、二によりて平なる面、地が生じ、三によりて立ち上がる体、人が生じる。
太極の中心を通る垂線を引くことで、四、すなわち四時（しいじ）（循環する季節）、つまり時間が生じる。
垂線と太極の下の接点を中心に、両極の二つの円の上下の線に等しく接する弧を描く。
この二つの弧と太極との接点と、垂線と、太極の上の接点は、太極を性格に五等分する。
それらの接点を結ぶと、正五角形、つまりこれは五行、万物の形体の先たる五程の性格を持つ気、木火土金水（もっかどごんすい）になる。
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この話の中に出てくる作図の方法とその理由はこちらにあります。
他に以下の場合も考えました。
①正五角形ABCDEの一辺が1のとき、対角線は黄金比の値(1+√(5))/2
(理由) 対角線をφとおく。対角線ADとCEの交点をFとすると△ACD∽△CDFだから、
1:φ＝(φ-1):1
φ(φ-1)=1
φ^2-φ-1=0
φ=(1+√(5))/2
②正五角形ABCDEの外接円の半径が1のとき、一辺の長さの2乗は(5-√(5))/2
(理由) 辺CDの中点をM、外接円の中心をOとし、一辺をxとおくと、①よりAC=φx
△ACMで三平方の定理より、
AM^2=AC^2-CM^2
AM=√((φx)^2-(x/2)^2)
△OCMで三平方の定理より、
OM^2=OC^2-CM^2
OM=√(1-(x/2)^2)
OM+1=AMだから、
√(1-(x/2)^2)+1=√((φx)^2-(x/2)^2)
これを解くと、
x^2=(4φ^2-1)/φ^4
となり、φ=(1+√(5))/2を代入すれば、
x^2=(5-√(5))/2
(別解)三角関数を学習済みならx=2sin36°から求められます。
③(ついでに)正十角形の一辺は1/φ
(理由) 正十角形の一辺をyとする。AMの延長と円との交点をPとすると、
△APC∽△ACMだから、
AP:CP=AC:MC
2:y=φx:x/2
φy=1
y=1/φ=(-1+√(5))/2
(別解)三角関数を学習済みならy=2sin18°から求められます。