動画 積分するアイドル見つけました

YouTube 「積分するアイドル見つけました」

2021年　YouTube　予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」

定積分の計算

アイドルグループ「乃木坂46」の林瑠奈が黒板に定積分の計算を書き，答が884になって，その語呂合わせが姓の「ハヤシ」になるという動画です．まず次の計算をします．$$\displaystyle\int_0^{\frac{-1+\sqrt{1769}}{2}}(4x+2)dx$$式変形は丸覚えという感じで，鼻歌を歌いながらすらすらと書いていきます．動画の通り，高校数学Ⅱの知識で884を導きました．この問題は数学の先生に教わったそうです．

この後にもう1問，今度は「100倍難しい」という三角関数を含む定積分の計算を書きます．その問題がこちらです．$$\displaystyle\int_{-1768}^{1768}\frac{\sin^2(46\pi x)}{1+e^x}dx\tag{1}$$

（2問目）三角関数を含む計算

書かれた計算はこの図の通りで答えは884なんですが，いきなり式(1)と次の式(2)が等しいことを当然のように話を進めています．$$\displaystyle\int_{-1768}^{1768}\frac{\sin^2(46\pi x)}{2}dx\tag{2}$$これが成り立つのならその理由が必要です．式(2)で良いなら，動画の通りに高校数学Ⅲの方法で計算できますが，式(1)をそのまま計算するのは難しいですね．

(1)の不定積分をWolframAlphaで確かめようとしたところ，このままではエラーになってしまったので，$x$の係数を$\pi$にしてみたら，次のような結果になりました．

$_2F_1(a , b ; c ; x)$は超幾何関数

このように，不定積分は超幾何関数や虚数単位 $i$ を含む難しい式になります．超幾何関数の定義は，$$_pF_q(a_1,…,a_p;b_1,…,b_q;x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(a_1)_n(a_2)_n⋯(a_p)_n x^n}{(b_1)_n(b_2)_n⋯(b_q)_n n!}$$$$ここで，(a)_0=1, \quad (a)_n=a(a+1)(a+2)⋯(a+n-1)$$という式なので，xの係数が$\pi$のとき，上の式の中の超幾何関数は，次の式になります．$$_2F_1(1, -2\pi i; 1-2\pi i; -e^x)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{(1)_n(-2\pi i)_n (-e^x)^n}{(1-2\pi i)_n n!}$$これをこのまま計算するのは困難なので，WolframAlphaに(1)の積分計算をしてもらったら，確かに884になりました．

次はグラフで(1)と(2)が等しいことを確かめてみます．

緑が $y=\displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}$…①，赤が $y=\displaystyle\frac{\sin^2(\pi x)}{2}$…②，青が $y=\displaystyle\frac{1}{1+e^x}$…③です．xの係数を46πにすると周期が短すぎて密になって波が見えないので，xの係数はπにしています．x<0のとき①は②の2倍に近く，x>0のとき①は0に近いことと，③が(0, $\frac{1}{2}$)に関して点対称であることを考えると，①の下と②の下の面積は等しいということが分かります．

とりあえずグラフを考えて式(1)と(2)が等しいことは分かりましたが，この動画ではその証明がないのですっきりしません．初めから式(2)を計算したほうが良かったと思います．

[2022/03/26追記]

｢YAHOO!知恵袋｣にこの話題があり，式(1)と(2)が等しいことの証明がありました．

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14247755234

[Reference]

積分するアイドル見つけました【乃木坂46×ヨビノリ】
https://www.youtube.com/watch?v=xsoroPOe9gk&t=915s

hypergeometric function
https://ncatlab.org/nlab/show/hypergeometric%20function

映画 X+Y 僕と世界の方程式

2015年　英国

2進数

他人とのコミュニケーションを苦手とする少年が，ずば抜けた数学の才能によって国際数学オリンピックの英国代表になったという実際にあった話をモデルにしたドラマです．その中の数学の授業での一コマです．

問題
Teacher : Twenty random cards are placed in a row, all face down. A move consists of turning a face down card, face up and turning over the card immediately to the right. Show that no matter what the choice of card to turn, this sequence of moves must terminate.

(筆者訳) 教師：20枚のカードが一列ですべて裏向きに置かれている．いずれかの裏向きのカードを表向きにして，すぐ右のカードをひっくり返すという動作を繰り返す．どのようにカードを選んでも，この一連の動作は必ず終わることを示しなさい．

教師に指名され，黒板の前に立った主人公の少年 Nathan は，話しにくそうにしながらも次のように説明していました．

(英語略･筆者訳) カードではなく数字だとして考える．裏向きを1，表向きを0とすると，最初は全部1が並んでいる．その後，例えば次のようになったとすると，これは2進数と考えられる．

10011010

この動作をすると，例えば11は00になり，

10000010

10は01になる．

10000001

上から下へ，この2進数の値は狭義単調減少になる（減っていく）． （注：「広義単調減少」は，減っていくが同じ値を繰り返すこともある）
これはこの一連の動作が必ず終わることを意味する．なぜなら，正の整数から整数がずっと減り続けて負の数にならないようにすることはできないから．

2進数表記にして考えるのは分かり易いですね．この後 Nathan は教師から褒められ，教室にいた生徒たちから賞賛の拍手を浴びていました．

さてこの問題，毎回どれか裏向きのカードを表向きにしてその右のカードをひっくり返していくわけですから，次の2種類の動作しかありません．

裏裏 → 表表（上の解答では11→00）

裏表 → 表裏（上の解答では10→01）

これを繰り返すと，偶数枚の時は最後に全部表向きで終わり，奇数枚の時は最後に右端だけ裏向きで終わります．この問題でのカードの枚数は20枚ということでしたが，$n$枚の場合に，終わるまでの最少動作数minと最多動作数maxを考えてみました．

例えば，$n$=3枚の時，最少で終わるのは 111→001 の1回で，最多で終わるのは 111→100→010→001 の3回になります．また，$n$=4枚の時，最少で終わるのは 1111→0011→0000 の2回で，最多で終わるのは 1111→1100→1010→1001→0101→0011→0000 の6回になります．さらにいくつかの場合を調べてみると次の表のようになります．

これを$n$の式で表すと次式になります．　( [    ]はガウス記号 )$$\min=\left [ \frac{n}{2}\right ]$$ $$\max=\frac{1}{2}n(n-1)$$なので，この問題の$n=20$枚の場合は，$$\min=\left [ \frac{20}{2}\right ]=10$$ $$\max=\frac{1}{2}\times20\times(20-1)=190$$すなわち，少なくて10回，多くて190回の動作で全部表向きになります．

[Reference]

X+Y (Clip) - Nathan solves math problem | Pinnacle Films
https://www.youtube.com/watch?v=mYAahN1G8Y8