小説 未来方程式 -fate equation-

2011年　講談社BOX　単行本　神世希(著), mebae (イラスト)

英数字　三次元空間座標　緯度　経度

予知能力があるとされる少女初音未来を中心に起こる数々の事件が描かれた話です．

▼皇（すめらぎ）警部 「違う……そもそも8桁のパスワードが適当に打って当たるハズがないだろう．全部で218兆3401億0558万4896通りあるんだぞ」
波多野巡査 「そんなにあるんすか！？」

英数字（alphanumeric）8桁ということは，英字（alphabetic）26文字と数字（numeric）10文字で合計36文字が8桁なので，重複順列36Π8＝36^8＝2兆8211億0990万7456通りのはずです．しかし値が違うので，逆に218兆3401億0558万4896の8乗根を計算してみると62になりました．62＝26×2+10なので，ここでは大文字と小文字を区別しているということが分かりました．それにしてもこんな数字を覚えているはずがないのにすらすらと言えるのが不思議ですね．

▼所長 「20XX年に打ち上げられた人工衛星"おまわり参号（仮称）"は，明日―――世界時において6月6日正午には，地球を中心とする3次元空間上の座標，(x,y,z)＝(171,1789,6841)．緯度経度では，北緯75.3度，東経146.1度の，高度およそ7000メートルに存在することになる．これも立派な未来情報の一つだ」

この座標で実際に計算してみましたが一部一致しませんでした．原点をO，点(171,0,0)をX0，点(171,1789,0)をP0，点(171,1789,6841)をPとすると，東経はarctan(X0P0/OX0)＝arctan(1789/171)≒84.5度になって一致しません．一方，OP0＝√(171^2+1789^2)≒1797なので，北緯はarctan(P0P/OP0)＝arctan(6841/1797)≒75.3度で一致しました．このときOP＝√(171^2+1789^2+6841^2)≒7073だから，地球の半径約6378kmを引くと695kmなので，高度およそ700kmということになります．国際線の飛行機の平均高度が約10000mなので，「高度およそ7000メートル」だと人工衛星が飛行機より低いということになってしまいます．

因みに人工衛星の高度，速度，周期を調べてみたところ，重力加速度をg，地球の赤道半径をRとし，高度h（km）で回っている円軌道の場合，その速度v（km/sec）は次の式で計算できることがわかりました．

$$v=\sqrt{\frac{gR^2}{R+h}}$$

従って人工衛星の速度は、高度だけで決まり，高いところほど遅いということになります．この速度vで軌道の円周2π(R+h)を割れば周期t（秒）が計算できます．

$$t=\frac{2\pi(R+h)}{v}$$

高度　速度　周期
200km 7.8km/sec 1時間28分
500km 7.6km/sec 1時間34分
1,000km 7.4km/sec 1時間45分
36,000km 3.1km/sec 23時間56分　（静止軌道）
380,000km 約1.0km/sec 約27日間

問題
上に出てきた高度700kmの人工衛星の速度，周期を求めよ．

（答）約7.5km/sec, 約1時間39分

参考
「人工衛星の高度と速度」宇宙航空研究開発機構（JAXA）