Thursday, 11 July 2013

小説 浜村渚の計算ノート

四色問題 0 フィボナッチ数列 円周率
 主人公の数学天才少女は「算法少女」という小説を想起させます。一度読んでみてください。さて、文中にいくつか説明なしのパロディ(のようなもの)がありました。
◆黒い三角定規
 「青い三角定規」は、70年代に青春ドラマの主題歌「太陽がくれた季節」を大ヒットさせたフォークグループ(数学とは関係がない)。
◆ドクター・ピタゴラス
 ピタゴラスは、古代ギリシャの数学者・哲学者。ピタゴラス教団(今でいうカルト教団)の教祖で、教団が否定していた無理数の存在を口外した者を溺死させたといわれている。
◆『稲石昇平の青春の夢』
 「クロネッカーの青春の夢」は、ドイツの数学者クロネッカーの数学予想のことで、日本の数学者高木貞治によって正しいことが証明された。
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 また、パロディではありませんが、説明がなければ分からない文章がありました。
■「またフィボナッチ数列か……自然界だけではなく、殺人事件にもよく出てくる数列だ。」
 フィボナッチ数列は、このブログだけでもダビンチ・コードと探偵ガリレオに登場しています。
■「カルダノの公式です。立方完成まではなんとか自分でできたんですけど、…」
 中学数学の教科書には平方完成(2次式を(x-p)^2+qの形に変形すること)を使って二次方程式の解の公式を導く方法があります。三次方程式の解の公式を導くには、立方完成(3次式を(x-p)^3+qx+rの形に変形すること)という方法を使います(導出は他のサイトで簡単に見つけられます)。
■「円周率が、3.05より大きい数であることを、証明せよ」
 これはこのブログの以前の投稿にも書きましたが、東大の2003年入試問題です。
■「バーゼル問題の解を使ってもいいですか」
 バーゼル問題とは、オイラーが証明した等式、
Σ(1,∞) 1/(n^2)=1+1/(2^2)+1/(3^2)+1/(4^2)+・・・・=(π^2)/6
のことで、ゼータ関数ζ(s)のs=2のときの値になります。
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 ところで、この小説は数学の話題がたくさん出てきてその部分は面白いのですが、設定があまりにも荒唐無稽なので、小説なのに漫画を読んでいるみたいでした(実際漫画化されましたが…)。フィクションなのでそれでもいいのですが、自分は整合性のあるものの方がが好きです。これは個人の好みの問題ですね。表紙は可愛いですが、ストーリーは殺人が多すぎるので、あまりお勧めできないです。

Sunday, 7 July 2013

映画 容疑者Xの献身

定積分の公式
 以前観たことはあったのですが、テレビで久しぶりに観たところ、数学の授業での板書が気になったので、動画サイトで確かめてみました。ある問題を苦労して解いた後に、実はこんな公式が使えるよという流れだと思われます。数学Ⅱの範囲ですが、教科書には載っていない定積分の公式です。(注)ここでは積分区間を(α,β)で表すことにします。
∫(α,β) (x-α)^(n-1)(x-β)dx =∫(α,β) (x-α)^(n-1)(x-α+α-β)dx =∫(α,β) ((x-α)^n+(α-β)(x-α)^(n-1))dx
=-1/(n(n+1))(β-α)^(n+1)
という公式ですが、n=2のときは、教科書にも載っていてよく使われる公式
∫(α,β) (x-α)(x-β)dx=-1/6(β-α)^3
になります。この説明の直前に解いた問題は、
=∫(1,2) (x-1)^3(x+2)dx
=∫(1,2) ((x-1)^4+3(x-1)^3)dx
=19/20
でした。が、上の公式を使うには、①1行目の(x+2)を(x-2)にする(すなわち2行目の(x-1)^3の係数がα-β=-1になるようにする)か、または、②積分区間の終点を-2に変えるか、のどちらかをしなければだめです。つまり、公式を紹介する直前の問題が、公式を使える例ではなかったということです。
①の場合なら
∫(1,2) (x-1)^3(x-2)dx=∫(1,2) ((x-1)^4-(x-1)^3)dx=-1/20
公式を使うと
-1/(4・5)・(2-1)^5=-1/20
②の場合なら
∫(1,-2) (x-1)^3(x+2)dx=∫(1,-2) ((x-1)^4+3(x-1)^3)dx=243/20
公式を使うと
-1/(4・5)・(-2-1)^5=243/20
になります。